大学数学(高数微积分)第六章线性空间第二节(课堂讲义).ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,主要内容,引入,第二节,定义,线性空间的简单性质,线性空间的定义与简单性质,一、引入,线性空间是线性代数最基本的概念之一,.,这一,节我们来介绍它的定义，并讨论它的一些最简单的,性质,.,线性空间也是我们碰到的第一个抽象的概念,为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟,知的例子,.,例,1,在解析几何中，我们讨论过三维空间,中的向量,.,向量的基本属性是可以按平行四边形规,律,相加,，也可以与实数作,数量乘法,.,我们知道，不,少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种,运算来描述的,.,例,2,为了解线性方程组，我们讨论过以,n,元,有序数组,(,a,1,a,2,a,n,),作为元素的,n,维向量空,间,.,对于它们，也有,加法,和,数量乘法,，那就是,(,a,1,a,2,a,n,)+(,b,1,b,2,b,n,),=(,a,1,+,b,1,a,2,+,b,2,a,n,+,b,n,),k,(,a,1,a,2,a,n,)=(,k,a,1,k,a,2,k,a,n,).,例,3,对于函数，也可以定义,加法,和函数与实,数的,数量乘法,.,譬如说，考虑全体定义在区间,a,b,上的连续函数,.,我们知道，连续函数的和是连续,函数，连续函数与实数的数量乘积还是连续函数,.,从这些例子中我们看到，所考虑的对象虽然完,全不同，但是它们有一个,共同点,，那就是,它们都有,加法和数量乘法这两种运算,.,当然，随着对象不同,这两种运算的定义也是不同的,.,为了抓住它们的共,同点，把它们统一起来加以研究，我们引入线性空,间的概念,.,当我们引入抽象的线性空间的概念时，,必须选定一个确定的数域作为基础,.,二、定义,定义,6,设,V,是一个非空集合,P,是一个数域,.,在集合,V,的元素之间定义了一种代数运算，叫做,加法,；,这就是说，给出了一个法则，对于,V,中任,意两个元素,与,，在,V,中都有唯一的一个元素,与它们对应，称为,与,的,和,，记为,=,+,.,在数域,P,与集合,V,的元素之间还定义了一种运算,叫做,数量乘法,；,这就是说，对于数域,P,中任一,数,k,与,V,中任一元素,，在,V,中都有唯一的一个,元素,与它们对应，称为,k,与,的,数量乘积,，记,=,k,.,如果加法与数量乘法满足下述规则，那,么,V,称为数域,P,上的,线性空间,.,加法满足下面四条规则：,1),；,2),(,),(,),；,3),在,V,中有一个元素,0,，对于,V,中任一元素,都有,+0=,(,具有这个性质的元素,0,称为,V,的,零元素,),；,4),对于,V,中每一个元素,，都有,V,中的元素,，使得,+=,0,(,称为,的,负元素,).,数量乘法满足下面两条规则：,5),1,=,；,6),k,(,l,)=(,kl,),.,数量乘法与加法满足下面两条规则：,7),(,k,+,l,),=,k,+l,;,8),k,(,+,),=,k,+,k,.,在以上规则中，,k,l,等表示数域,P,中的任意数,;,等表示集合,V,中任意元素,.,由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一,个实数域上的线性空间,.,分量属于数域,P,的全体,n,元数组构成数域,P,上的一个线性空间，这个线性,空间我们用,P,n,来表示,.,下面再来举几个例子,.,例,4,数域,P,上一元多项式环,P,x,，按通常,的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域,P,上的线性空间,.,如果只考虑其中次数小于,n,的多,项式，再添上零多项式也构成数域,P,上的一个线性,空间，用,P,x,n,表示,.,但是，数域,P,上的多项式,集合,p,(,x,)|,p,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,n,x,n,a,n,0,对同样的运算不构成线性空间，因为两个,n,次多,项式的和可能不是,n,次多项式,.,例,5,元素属于数域,P,的,m,n,矩阵，按矩阵,的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域,P,上的一,个线性空间，用,P,m,n,表示,.,例,6,全体实函数，按函数的加法和数与函数,的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间,.,例,7,数域,P,按照本身的加法与乘法，即构成,一个自身上的线性空间,.,线性空间的元素也称为,向量,.,当然，这里所谓,向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多,.,线性空,间有时也称为,向量空间,.,一般用小写的希腊字母,表示线性空间,V,中的元素，用小写的,拉丁字母,a,b,c,表示数域,P,中的数,.,下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简,单性质,.,三、线性空间的简单性质,1.,零元素是唯一的,.,证明,假设,0,1,，,0,2,是线性空间,V,中的两个零,元素,.,只要证明,0,1,=0,2,即可,.,考虑和,0,1,+0,2,由于,0,1,是零元素，所以,0,1,+0,2,=0,2,.,又由于,0,2,也,是零元素，所以,0,1,+0,2,=0,2,+0,1,=0,1,，,于是,0,1,=0,1,+0,2,=0,2,.,证毕,2.,负元素是唯一的,.,这就是说，适合条件,+=,0,的元素,是被,元素,唯一决定的,.,假设,有两个负元素,与,，,+=,0,，,+=,0.,那么,=,+0=,+(,+,)=(,+,),+,=0+,=,.,证毕,向量,的负元素记为,-,.,利用负元素，我们定义减法如下：,-,=,+,(-,).,3.0,=0;,k,0=0;(-1),=-,.,证明,+,0,=1,+0,=(1+0),=1,=,.,0,=0.,+(-1),=1,+(-1),=1+(-1),=0,=0,所以,(-1),=-,.,所以,k,0,=0,=0.,所以,k,0=0.,=,k,+(-1),=,k,+(-,k,),=,k,+(-,k,),证毕,4.,如果,k,=0,，那么,k,=0,或者,=0.,证明,假设,k,0,，于是一方面,k,-1,(,k,)=,k,-1,0=0.,而另一方面,k,-1,(,k,)=(,k,-1,k,),=1,=,.,于是,=0.,证毕,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,