复变课件4-2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 幂级数,一、幂级数的概念,二、幂级数的敛散性,三、幂级数的运算和性质,四、典型例题,五、小结与思考,1,一、幂级数的概念,1.复变函数项级数,定义,其中各项在区域,D,内有定义,.,表达式,称为复变函数项级数,记作,2,称为这级数的,部分和,.,级数最前面,n,项的和,和函数,3,称为该级数在区域,D,上的,和函数,.,如果级数在,D,内处处收敛,那末它的和一定,4,2.幂级数,当,或,函数项级数的特殊情形,或,这种级数称为,幂级数,.,5,二、幂级数的敛散性,1.,收敛定理,(阿贝尔,Abel,定理),如果级数,在,收敛,那末对,的,级数必绝对收敛,如果,在,级数发散,那末对满足,的,级数必发散,.,满足,阿贝尔介绍,6,证,由收敛的必要条件,有,因而存在正数,M,使对所有的,n,7,而,由正项级数的比较判别法知:,收敛.,另一部分的证明请课后完成.,证毕,8,2.,收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:,(1)对所有的正实数都收敛.,由阿贝尔定理知:,级数在复平面内处处绝对收敛.,9,例如,级数,对任意固定的,z,从某个,n,开始,总有,于是有,故该级数对任意的,z,均收敛.,10,(2)对所有的正实数除,z,=0,外都发散.,此时,级数在复平面内除原点外处处发散,.,(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收,敛的正实数.,例如,级数,通项不趋于零,如图:,故级数发散.,11,.,.,收敛圆,收敛半径,幂级数,的收敛范围是以原点为中心的圆域.,12,答案:,幂级数,的收敛范围是何区域?,问题1,:,在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.,注意,问题2,:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,13,例如,级数:,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,14,3.,收敛半径的求法,方法,1,:,比值法,(定理二),:,那末收敛半径,证,由于,收敛.,15,据阿贝尔定理,根据上节定理三,16,所以收敛半径为,证毕,即假设不成立.,17,如果:,即,注意,:,存在且不为零.,定理中极限,(极限不存在),即,18,答案,课堂练习,试求幂级数,的收敛半径.,19,方法2:,根值法,(,定理三,),那末收敛半径,说明:,(与比值法相同),如果,20,三、幂级数的运算和性质,1.幂级数的有理运算,21,2.,幂级数的代换(复合)运算,如果当,时,又设在,内,解析且满足,那末当,时,说明,:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.,22,定理四,设幂级数,的收敛半径为,那末,(2),在收敛圆,内的导数可将其幂,级数逐项求导得到,是收敛圆,内的解析函数,.,(1),3.,复变幂级数在收敛圆内的性质,23,(3),在收敛圆内可以逐项积分,简言之,:,在收敛圆内,幂级数的和函数解析,;,幂级数可逐项求导,逐项积分.,(常用于求和函数),即,24,四、典型例题,例1,求幂级数,的收敛范围与和函数.,解,级数的部分和为,25,级数,收敛,级数,发散.,且有,收敛范围为一单位圆域,由阿贝尔定理知:,在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,26,例2,求下列幂级数的收敛半径:,(1),(并讨论在收敛圆周上的情形),(2),(并讨论,时的情形),或,解,(1),因为,27,所以收敛半径,即原级数在圆,内收敛,在圆外发散,收敛的,级数,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,在圆周,上,级数,28,说明,：,在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有,级数的发散点.,原级数成为,交错级数,收敛.,发散.,原级数成为,调和级数，,(2),29,故收敛半径,例3,求幂级数 的收敛半径:,解,30,解,所以,例,4,求 的收敛半径.,31,例5,把函数,表成形如,的幂,级数,其中,是不相等的复常数.,解,把函数,写成如下的形式:,代数变形,使其分母中出现,凑出,32,级数收敛,且其和为,33,例,6 求级数,的收敛半径与和函数.,解,利用逐项积分,得:,所以,34,例,7 求级数,的收敛半径与和函数.,解,35,例,8 计算,解,36,五、小结与思考,这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定,理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级,数的运算性质.,37,思考题,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?,38,由于在收敛圆周上,确定,可以依复数项级,数敛散性讨论.,思考题答案,放映结束，按,Esc,退出.,39,阿贝尔资料,Born:,5 Aug 1802 in,Frindoe,(near,Stavanger,),Norway,Died:,6 April 1829 in,Froland,Norway,Niels,Abel,40,