刚体的转动.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 刚体的转动,教学基本要求,一,理解,描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系,.,二,理解,力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理,.,三,理解,角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题,.,能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题,.,四 理解,刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律,刚体,：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体,.,（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）,刚体的运动形式：平动、转动,.,刚体平动 质点运动,平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线,.,转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动,.,转动又分定轴转动和非定轴转动,.,刚体的平面运动,.,刚体的一般运动,质心的平动,绕质心的转动,+,一 刚体转动的角速度和角加速度,参考平面,角位移,角坐标,q,约定,沿逆时针方向转动,沿顺时针方向转动,角速度矢量,方向,:,右手,螺旋方向,参考轴,角加速度,1,）,每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；,2,）,任一质点运动 均相同，但 不同；,3,）,运动描述仅需一个坐标,.,定轴转动的,特点,刚体,定轴,转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示,.,二 匀变速转动公式,刚体,绕,定轴作匀变速转动,质点,匀变速直线运动,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做,匀变速转动,.,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,三 角量与线量的关系,飞轮,30 s,内转过的角度,例,1,一飞轮半径为,0.2m,、,转速为,150r,min,-1,，,因受制动而均匀减速，经,30 s,停止转动,.,试求：,（,1,）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（,2,）制动开始后,t,=6 s,时飞轮的角速度；（,3,）,t,=6 s,时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度,.,解,（,1,）,t,=30 s,时，,设,.,飞轮做匀减速运动,时，,t,=0 s,（,2,）,时，飞轮的角速度,（,3,）,时，飞轮边缘上一点的线速度大小,该点的切向加速度和法向加速度,转过的圈数,例,2,在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动,.,开始时，它的角速度 ，经,300s,后，其转速达到,18000rmin,-1,.,已知转子的角加速度与时间成正比,.,问在这段时间内，转子转过多少转？,解,由题意，令 ，即 ，积分,得,当,t=300s,时,所以,转子的角速度,由,角速度的定义,得,有,在,300 s,内转子转过的转数,P,*,O,:,力臂,刚体绕,O z,轴旋转,力 作用在刚体上点,P,且在转动平面内,为由点,O,到力的作用点,P,的径矢,.,对转轴,Z,的力矩,一 力矩,O,讨论,1,）,若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,2,）合,力矩等于各分力矩的,矢量和,其中 对转轴的力,矩为零，故 对转轴的力矩,3,）,刚体内作用力和,反,作用力的力矩互相,抵消,O,例,1,有一大型水坝高,110 m,、,长,1000m,，,水深,100m,，,水面与大坝表面垂直，如图所示,.,求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点,Q,且与,x,轴平行的轴的力矩,.,解,设水深,h,，,坝长,L,，,在坝面上取面积元 作用在此面积元上的力,y,O,h,y,x,Q,y,O,x,令,大气压为 ，则,代入数据，得,y,O,h,y,x,代入数据，得,对通过点,Q,的,轴的力矩,y,Q,O,h,y,O,二 转动定律,2,）,刚体,质量元受,外,力 ，,内,力,1,）,单个质点 与转轴刚性连接,外,力矩,内,力矩,O,刚体定轴转动的角加速度与它所受的,合外力矩,成正比,，与刚体的,转动惯量,成反比,.,转动定律,定义转动惯量,O,三 转动惯量,物理,意义,：转动惯性的量度,.,质量离散分布的刚体的转动惯量,转动惯性的计算方法,质量连续分布的刚体的转动惯量,：质量元,对质量线分布的刚体：,：质量线密度,对质量面分布的刚体：,：质量面密度,对质量体分布的刚体：,：质量体密度,：质量元,质量连续分布刚体的转动惯量,O,O,解,设棒的线密度为 ，取一距离转轴,OO,为 处的质量元,例,2,一,质量为,、,长为,的,均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量,.,O,O,如转轴过端点并与棒垂直,如转轴过,棒上距中心为,d,的一点,并与棒垂直，,O,R,O,例,3,一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心,O,并与盘面垂直的轴的转动惯量,.,解,设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的薄圆环,而,薄,圆环质量,所以,薄,圆环对轴的转动惯量,例,4,一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链,O,相接，并可绕其转动,.,由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链,O,转动,.,试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度,.,解,细杆受重力和,铰链对细杆的约束力,作用，由转动定律得,式中,得,由,角加速度的定义,代入,初始条件积分 得,力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理,.,一 质点的角动量定理和角动量守恒定律,质点,运动状态的描述,力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理,.,刚体,定轴转动运动状态的描述,1,质点的角动量,质点以角速度 作半径为,的圆运动，相对圆心的角动量,质量为,的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点,O,的位矢为 ，质点相对于原点的角动量,大小,的方向符合右手法则,.,作用于质点的合力对,参考点,O,的力矩，等于质点对该点,O,的,角动量,随时间的,变化率,.,2,质点的角动量定理,质点所受对参考点,O,的合力矩为零时，质点对该参考点,O,的角动量为一恒矢量,.,恒矢量,冲量矩,质点的角动量定理,：对同一参考点,O,，,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量,.,3,质点的角动量守恒定律,二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,1,刚体定轴转动的角动量,2,刚体定轴转动的角动量定理,非刚体定轴转动的角动量定理,O,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,.,内力矩不改变系统的角动量,.,守 恒条件,若 不变，不变；若 变，也变，但 不变,.,刚体定轴转动的角动量定理,3,刚体定轴转动的角动量守恒定律,，则,若,讨论,在,冲击,等问题中,常量,例,1,一半径为,R,的光滑圆环置于竖直平面内,.,一质量为,m,的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动,.,小球开始时静止于圆环上的点,A,(,该点在通过环心,O,的水平面上,),然后从,A,点开始下滑,.,设小球与圆环间的摩擦略去不计,.,求小球滑到点,B,时对环心,O,的角动量和角速度,.,解,小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,考虑到,得,由,题设条件积分上式,例,2,质量很小长度为,l,的均匀细杆,可绕过其中心,O,并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,.,当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率,垂直落在距点,O,为,l,/4,处,并背离点,O,向细杆的端点,A,爬行,.,设小虫与细杆的质量均为,m,.,问,:,欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行,?,解,小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒,由角动量定理,即,考虑到,例,3,一杂技演员,M,由距水平跷板高为,h,处自由下落到跷板的一端,A,并把跷板另一端的演员,N,弹了起来,.,设跷板是匀质的,长度为,l,质量为,跷板可绕中部支撑点,C,在竖直平面内转动,演员的质量均为,m,.,假定演员,M,落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,.,问演员,N,可弹起多高,?,l,l,/2,C,A,B,M,N,h,解,碰撞前,M,落在,A,点的速度,碰撞后的瞬间,M,、,N,具有相同的线速度,把,M,、,N,和跷板作为一个系统,角动量守恒,解得,演员,N,以,u,起跳,达到的高度,l,l,/2,C,A,B,M,N,h,力矩的功,一 力矩作功,力的空间累积效应,力的功,动能,动能定理,.,力矩的空间累积效应 力矩的功,转动动能,动能定理,.,二 力矩的,功率,三 转动动能,四 刚体绕定轴转动的动能定理,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量,.,例,1,一长为,l,质量为,的竿可绕支点,O,自由转动,.,一质量为 、速率为,的子弹射入竿内距支点为 处，使竿的偏转角为,30,.,问子弹的初速率为多少,?,解,把子弹和竿看作一个系统,.,子弹射入竿的过程系统角动量守恒,射入竿后，以子弹、细杆和,地球为系统，机械能守恒,.,复习,1,、刚体,：,在外力作用下，其大小和形状都不发生变化的物体，,或指,根本不发生形变,的物体。,刚体是一个,理想模型。,实际物体,受力时都要形变，,只是在有些问题中形变是可以忽略的，这时可以把物体看作刚体，从而,使研究得到简化。例如,桌子，桥梁，火车车箱,2,、刚体力学的研究方法,（,1,）,把刚体看成由许多,小质元,(,m,i,0),组成，对每个小质元应用牛顿力学，得出和个别质元相关的结果；,（,2,）,再对组成刚体的,所有小质元（无穷多）,整体进行叠加，归纳总结出刚体整体的力学规律。,3,、刚体的运动,刚体的运动平动转动,平动,刚体上任意一条直线在各个时刻的,位置始终彼此平行，即,其方位不变。,平动物体各点,位移、速度和加速度,都相同。,这时物体可以作为质点处理。,如,直线行驶的汽车，擦黑板，,脚蹬,转动,刚体上,各点绕同一直线,（,称为,转轴,）,作,圆周运动。,如,齿轮，车轮，地球自转。,注意,转轴固定的转动称为,定轴转动,。,注意,1,、,角量,是指角位移、角速度、角加速,度等物理量。,2,、,线量,是指作曲线运动时的位移、速,度和加速度等物理量。,3,、描述刚体的运动可以用线量也可以用,角量。但要注意二者之间的转换关系。,4,、这种关系源于,弧度的定义,于是,s,R,线量与角量的关系,刚体匀变速运动公式,其中,为角速度，,为角加速度,为角位移，,0,为初角速度,