第8章均值-方差分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,8,章,均值方差分析,第,8,章 均值方差分析,8.1,偏好与分布,一般来说，仅仅用证券组合的预期回报率和预,期回报率的方差并不能包含经济行为主体投资行为,所需的全部信息。,但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布,作了相应假设之后证明，经济行为主体的预期效用,能够仅仅表示为证券组合的预期回报率和预期回报,率的方差的函数。,对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能,仅仅由预期收益（率）和方差这两个元素来描述。,所以均值方差分析的运用是存在限制条件的。,（一）用泰勒展开式对均值方差运用的局限性,进行说明,随机变量是经济行为主体在时期,1,的全部,收入或财富，其效用函数在的预期值周,围展开可得,其中 则表示经济行为主体的预期效用并,不能仅仅由对时期,1,财富的期望均值和方差这两个,元素完全刻画，而是应该包括泰勒展开式的高阶矩,部分。,（二）均值方差分析方法的使用条件和范围,考察未来收益分布为任意分布的情况,a,）此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值,和方差完全刻画，我们必须假定经济行为主体的效,用函数是一个二次型效用函数，即经济行为主体的,效用函数或以表达为。,此时,b,）于是经济行为主体的预期效用可以由时期,1,的财富变量的两个中心矩来定义,二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系,的刻画存在着以下两个主要的缺点：,a,）第一，二次型效用函数显示经济行为主体对,于收益或财富具有餍足性，即个体收益的总效用存,在着极大值，超过这点之后，收益增加的边际效用,为负。,b,）第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行,为主体行为存在矛盾。,（三）讨论经济行为主体的效用偏好为任意偏好,的情况,在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高,阶矩可以表示为均值和方差的函数，则我们就可以,使用均值方差分析来考察经济行为主体的效用函,数。,在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶,及三阶以上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均,值和方差）的函数。因此，就可以完全地由,均值和方差表示。,这样，如果经济行为主体的任意偏好是在正态,分布的时期,1,的财富上定义的，并且所有证券未来,收益满足多元正态分布，经济行为主体的效用函数,就都可以由时期,1,的收益的期望和方差来刻画。,这种情况下，均值和方差对个体行为描述有相,当大的局限性，主要表现在以下几个方面：,a,）第一，资产收益率服从正态分布的假定与现,实中资产未来收益往往偏向正值相矛盾。,b,）第二，对于密度函数的分布来说，均值方,差分析并没有考虑其偏斜度。,c,）最后，仅仅用均值和方差也不能刻画函数分,布中的峭度。,8.2,证券组合前沿,假定：,在一个无摩擦的经济中有支风险证券，,这些证券可以自由地卖空，并且，所有证券的未来,收益率都具有有限的方差和彼此差异的预期均值。,任何一支证券的随机收益率都不能由其他证券收,益率的线性组合来表示，即这些证券的随机收益率,是彼此线性独立的。,在这种假设的经济中，向量表示,J,种风险证券的随机收益率。矩阵,V,表示,J,种风险证,券收益率的方差和协方差矩阵。,V,是非奇异的、对称的。,矩阵,V,是正定的。,（一）前沿证券组合,前沿证券组合：如果在所有具有相同预期收益,率的证券组合中，有一支证券组合具有最小的方差,值，则这支证券组合就定义为前沿证券组合。,证券组合,p,是一支前沿证券组合的充分必要条,件是它的证券组合权重,hp,是下面二次规划问题的,解,约束条件为。,其中：,e,表示,J,支风险证券的预期均值组成的向,量，表示证券组合的预期回报率，,1,表示分量为,1,的,J,维向量。,构造一个拉格朗日函数，是以下函数式的,解：,（其中，和是两个正值的常数。）,求解可得,其中,且,B,0,，,C,0,，并且可以断定,D,0,。,我们可以得出一个预期收益率为的前沿,证券组合的唯一权重集合：,其中,从以上（,8.8,）式人们可以看出，是预期,收益率为,0,的前沿证券组合的权重向量；是,预期收益率为,1,的前沿证券组合的权重向量。,（二）证券组合前沿,证券组合前沿：经济中所有的前沿证券组合的,集合，我们称之为证券组合前沿。,命题：全部证券组合前沿上的证券组合都可以,由两个前沿证券组合和的线性组合得出。,更强的命题：整个证券组合前沿可以由任意两,支收益率不同的前沿证券组合得出。,任意两支前沿证券组合和之间的协方,差为：,（三）均值方差平面中的前沿组合,关系式（,8.11a,）也可以等价地写成,最小方差证券组合的收益率和其他任意证券组,合（不单是前沿证券组合）的收益率的协方差，总,是同最小方差证券组合收益率的方差相等。,有效证券组合：在整个证券组合前沿曲线中，,所有那些预期收益率严格大于最小方差证券组合收,益率的证券组合称之为有效证券组合；,无效证券组合：那些既不是有效证券组合，又,不是最小方差组合的证券组合称之为无效证券组合。,前沿证券的线性组合也落在证券前沿上。,任意一支有效证券组合的凸组合仍然是一支有,效证券组合。因此有效证券组合的集合是一个凸组,合。,8.3,证券组合前沿的数学构造,证券组合前沿的一个重要数学性质就是：除了,最小方差证券组合之外，对于证券组合前沿上的任,意一支证券组合，都必然存在着唯一的一支前,沿证券组合（即零协方差证券组合），它,的收益率同证券组合的协方差为,0,。,最小方差证券组合与其它任意前沿证券组合之,间的协方差等于，这也是严格正定的。从而,得到，最小方差证券组合与任意的前沿证券组合的,协方差都不为,0,。,假定是有效证券组合，就是一只无,效证券组合。将同的位置互换，则相,反的结果成立。,从几何学的角度看，的位置的确定：,在标准差预期收益率的坐标系平上,是过证券前沿组合的切线在预期收益,率坐标轴上的截距。,任意证券组合（不要求是前沿组合）的预,期收益率同一支前沿证券组合的预期收益率之间的,关系特征：,其中：是之外的任意一支前沿证券组合，,（,8.20,）式也可以写成,关系式（,8.20,）、（,8.21,）、（,8.23,）是等价的,关系式。,我们总可以将证券组合的收益率写成,其中,（二）在引入无风险证券情况下进行讨论,现假定是一支由所有,J,1,种证券组合而成的,前沿证券组合，表示这支前沿证券组合中的风,险证券权重的,J,维向量。这样，是以下规划问,题的一个解,其中仍然表示风险证券的预期收益率的,J,维,向量，表示无风险证券的收益率。,构造一个拉格朗日函数，可求得,也即是，在坐标平面上，包括无,风险证券在内的所有证券的证券组合前沿是以,为顶点，斜率分别为和的两条射线。,情形,1,：,这是图,8,4,表示的图形。（见,page21,）,a,）在图中点是射线与风,险证券的组合前沿相切的切点。,b,）线段上任意一支证券组合都是风险证,券组合和无风险证券的凸组合。,c,）在线段之外的射线上证,券组合都涉及卖空无风险证券并运用收益买入风险,证券组合的投资行为。,d,）在射线上的证券组合涉及卖,空风险证券组合，同时以其收益买入无风险证,券的投资行为。,e,）如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资,组合的有效集位于射线。,情形,2,：,这是图,8,5,表示的图形。（图见下页）,a,）射线上证券组合是通过卖空风,险证券并运用收益买入无风险证券组合而得。,b,）在射线上的证券组合涉及正,值地购买风险证券组合。,c,）如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资,组合的有效集位于射线。,情形,3,：,这是图,8,6,表示的图形。（图见下页）,a,）包括无风险证券在内的所有证券的证券组合,前沿的预期收益率方程为,b,）前沿证券组合的有效集应当是位于射线,上的前沿组合。,c,）在此情形下，连接无风险证券和风险证券组,合的切线的“切点”不存在。,引入无风险证券情况下考察任意一支证券与前沿,证券组合之间的关系（假设）：,当存在一支无风险证券时，,其中,这个关系对于除了无风险证券之外的任意证券组,合和任意前沿证券组合 均成立。,