小学数学思想方法解析及教学实施.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小学数学思想方法解析及教学实施,秀山县东风路小学 杨春海,数学思想方法的认识,数学思想是对数学知识的本质认识、理性认识。数学基本思想有三个：抽象思想、推理思想、模型思想。数学思想方法是数学的灵魂，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。教学也如此。,数学思想方法的分类,基本思想,抽象思想,模型思想,推理思想,符号化思想,、分类思想、集合思想、对应思想、有限与无限思想、变中有不变思想,公理化思想、,归纳思想、类比思想、演绎思想、,化归思想、变换思想、,数形结合思想,、代换思想、逐步逼近思想,简化思想、量化思想、方程思想、函数思想、优化思想、随机思想、统计思想,数学知识一般指数学的各个分支的具体内容，以及相应的概念、性质、法则、公式、公理、定理等。如义务教育阶段的数学分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法是对数学知识的进一步提炼概括。,数学知识与数学思想方法,抽象思想,数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程。数学抽象思想是一般化的思想方法，对于培养人的抽象思维能力和理性精神具有重要的意义。,抽象思想,比如：学生在学习,0-10,的认识时就开始与抽象思想打交道了，虽然学生并不完全理解,0-10,是经过对客观事物的数量多少进行抽象而得到的，但是能够体会到一个人、一个苹果、一支铅笔等都可以用,1,表示。当学生学习,11-20,的认识的时候，抽象的层次又提高了，实际上从,10,开始已经发生了微妙的但是却是根本的变化，就是,10,虽然只是,9,加上,1,，但是它已经没有用新的符号表示了，而是用了前边的符号,1,和,0.,符号化思想,数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用，因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点。符号表示也是一种数学抽象，数学符号是抽象的结果，学生在学习数学的过程中，用符号去表示、推理及运算等是数学思考的重要形式，也使结论更具有一般性。,推理思想,推理是从一个或几个已有的命题得出另一个新命题的思维形式。推理所依据的命题叫前提，根据前提所得到的命题叫结论。推理分为演绎推理和合情推理。演绎推理的特征是当前提为真时，结论必然为真。常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理的特征是当前提为真时，所得到的结论可能是真也可能是假。常用形式有：归纳推理和类比推理。,推理思想,就学好数学或者培养人的智力而言，逻辑推理和合情推理都是不可缺的。,课程标准,指出“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。在解决问题中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性”。,归纳推理,是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳法分为完全归纳和不完全归纳。完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的。不完全归纳得到的结论可以为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。,归纳推理,举例：归纳法有助于发现并提出问题，进行大胆猜想，数学史上有很多著名的问题都是这样被提出来的，如哥德巴赫猜想等。哥德巴赫通过观察几组加法算式，发现这些大于或等于,6,的偶数等于两个奇素数之和：,6=3+3,，,8=3+5,，,10=3+7,，,12=5+7,尤其在小学数学，一些公式、法则、性质、规律等的获得往往是通过几个特殊例子归纳的，如：找数列和图形的规律、运算定律、长方形面积公式的推导、小数的性质等。,归纳推理,小学数学归纳推理的教学，主要体现在以下几个方面：,1.,法则的归纳；如多位数乘一位数的法则的归纳总结，学生在已经掌握乘法口决、口算乘法、笔算加法的基础上，通过利用竖式计算,12 3,、,16 3,、,24 9,，来探索、交流、归纳计算法则。,2.,性质的归纳；如商不变的性质，让学生计算并观察一组算式，探索并归纳规律。,3.,公式的归纳；如长方形面积的计算公式，是通过让学生在给定的长方形上密铺小正方形，初步猜想长乘宽等于面积，再进一步任取几个单位的面积的正方形拼长方形，发现长方形的面积等于长乘宽。,4.,定律的归纳；如根据,40+56=56+40,，,28+37=37+28,，,120+80=80+120,等几个有限的例子，得出加法交换律。,5.,规律的归纳；如乘法中，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的多少倍，积就相应地扩大到原来的多少倍。这一规律的发现也是运用归纳法得到的。,类比推理,类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法，也叫类比法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。如：根据整数的运算律，小数可以与整数进行类比，得出小数具有同样的运算性质。再如：除法商不变的规律、分数的基本性质和比的基本性质进行类比，包括有关问题解决方法的类比。类比法是从特殊到特殊的推理，归纳法是从特殊到一般的推理，两者共同之处是：正确与否都是不确定的，有待证明。,类比推理,小学数学类比推理的教学，可分成以下几个方面：,1.,概念的类比；如小学数学中很多概念因为学生理解起来困难，而没有严格定义，采取了描述或者直接给出的方式，这种情况下可运用类比法，来初步认识概念。圆的周长、面积等概念即是如此。,2.,性质的类比；如百分数的意义与分数的比的意义是一致的。因此，运用类比法进行教学，能够起到事半功倍的效果，也就是老师们经常说的迁移类推。,3.,法则的类比；如小数乘法，除了注意两个因数小数点的位数、点准小数点外，其他法则与整数乘法是一样的。,4.,定律的类比；,5.,代数与算术的类比；,6.,立体与平面的类比；,7.,曲与直的类比。,演绎推理,演绎推理分为三段论、选言推理、假言推理、关系推理四类。,有两个前提（直言命题）和一个结论（直言命题）的演绎推理，叫做直言三段论，简称三段论。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提,已知的一般原理，小前提,所研究的特殊情况，结论,根据一般原理，对特殊情况作出的判断。例如：,4,的倍数都是偶数，,8,的倍数都是,4,的倍数，所以,8,的倍数都是偶数。,选言推,理,分为相容选言推理和不相容选言推理。例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。,假言推,理,充分条件假言推理是其中一种，是指：前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一个数的末位是,0,，那么这个数能被,5,整除；,20,的立方的末位是,0,，所以,20,的立方能被,5,整,除。,关系推,理,是前提中至少有一个是关系命题的推理。关系推理分为三种,：,1.,对称性关系推理，如,1,米,=100,厘米，所以,100,厘米,=1,米；,2.,反对称性关系推理，,a,大于,b,，所以,b,不大于,a,；,3.,传递性关系推理，,a,大,于,b,，,b,大于,c,所以,a,大于,c.,演绎推理,演绎推理的教学在小学数学教学中要注意把握以下几点,:,一、推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。推理思想从一年级起就要开始渗透和应用，是一个长期的培养过程；培养一年级的孩子有根据、有条理地思考问题，也是一种演绎推理思想的熏陶。,二、合情推理和演绎推理二者不可偏废。如小学数学常用的法则、性质、公式、定律等常常是经过归纳法得出结论，然后再利用这些结论进行计算，运用规定的规则计算，实际上就是演绎推理。,三、推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机结合。在教学过程中要给学生提供各个领域的丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，去发现结论，培养推理能力。,四、把握好推理思想教学的层次性和差异性。,数形结合思想,是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等。这里的形主要是指几何图形和函数图象等。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。包括两个方面：以形助数和以数解形。,模型思想,是用数学语言概括地或近似地描述现实世界的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。数学的概念、定理、法则、公式、性质、数量关系等都是数学模型。数学模型更注重数学的应用性，即把数学模型描述为特定的事物系统的数量关系结构。,建立模型是数学应用和解决问题的核心。,数学思想方法的综合运用,数学思想方法不是彼此完全独立的，相互之间有联系、有渗透，而且就同一个问题而言，可能用到多个思想方法。,例如：,PISA,数学测试题,爸爸匀速开车从甲地到乙地，当行驶了全程的,2/3,时，油箱里的油只剩,1/4,箱。只用这些油能到乙地吗？,模,型思想：（,1-1/4,）,2/3=9/8,（箱）,推,理、数形结合思想：当行驶到了全程的,2/3,时，用了,1,箱油的,3/4,（,1-1/4,），,2/33/4,，即把路程和一箱油都看成,1,，行驶的路程的比例不能小于使用的油的比例，才能保证一箱油够用，因此到不了乙地。用数形结合思想来表示比的过程会更清晰（如下）。,23,34,