线性代数_schmidt正交化_方程组求解.do.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,几何与代数,主讲,:,王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,线性代数的相关资料：,1 Introduction to Linear Algebra,，,Gilbert Strang,著，麻省理工开放课程链接：,Linear algebra and its applications/,线性代数及其应用,/,美,David C.Lay,著,3 Linear algebra with applications/,线性代数,/Steven J.Leon.,著,4,东南大学线代精品课程网站,高等代数,.,定理,问题,方法,/,胡适耕，刘先忠编著,O15/36,7 ,线性代数学习指导,/,樊恽,郑延履,刘合国编,O151.2-42/18,8 ,高等代数,，北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 王萼芳 石生明 著，高等教育出版社（较难，数学系教材）,第四章,n,维向量,第,4,节,向量的内积,二,.,正交向量组和,Schmidt,正交化方法,正交,向量组,标准正交,向量组,正交基,标准正交基,1.,概念,第四章,n,维向量,4.4,向量的内积,发现的结论,设,1,2,s,是标准正交向量组,且,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,则,k,i,=,i,=1,2,s,.,2.,结论,定理,4.10,.,1,2,s,正交,线性无关,.,定理,4.11,每个非零的向量空间,V,都有标准,正交基,.,第四章,n,维向量,4.4,向量的内积,1,=,1,Schmidt,正交化方法,(,务必掌握,),：,2,=,2,1,s,=,s,1,s,1,再将,1,2,s,单位化得,:,1,=,1,|,1,|,2,=,2,|,2,|,s,=,s,|,s,|,.,第四章,n,维向量,4.4,向量的内积,另外，从上述构造可总结：,设,1,2,s,线性无关,(,s,2,),则存,在一个正交向量组,1,2,s,使得,1,2,t,与,1,2,t,等价,(1,t,s,).,第四章,n,维向量,4.4,向量的内积,第二章,n,维列向量,2.6,内积与正交矩阵,三,.,正交矩阵,(orthogonal matrix),定义,满足,Q,T,Q,=,E,或,QQ,T,=,E,(,即,Q,1,=,Q,T,),的实方阵,Q,称为,正交矩阵,简称为,正交阵,.,定理,4.12,.,设,Q,为,n,阶,实方阵,则下列条件等价,:,性质,.(1),Q,为正交阵,|,Q,|=,1,;,(2),Q,的行,(,列,),向量组构成,R,n,的一组,标准正交基,;,(1),Q,是,正交阵,;,(3),Q,T,是,正交阵,;(4),Q,1,是,正交阵,.,(2),A,B,为正交阵,AB,为正交阵,.,例,设,是,n,维列向量,Q,为,n,n,的正交矩阵,则,|,Q,|,=,|,|,=.,Q,Q,的长度和夹角与,的长度和,夹角相等,第四章,n,维向量,4.4,向量的内积,例如,:,Q,=,cos,sin,sin,cos,Q,T,=,cos,sin,sin,cos,Q,T,Q,=,cos,2,+,sin,2,sin,2,+,cos,2,0,0,=,E,.,Q,O,x,cos,sin,sin,cos,Q,=,对应的正交变换,y,第四章,n,维向量,4.4,向量的内积,O,y,x,1,0,0,1,Q,=,对应的正交变换,1,0,0,1,Q,=,对应的正交变换,Q,O,y,x,Q,第四章,n,维向量,第,5,节,线性方程组解的结构,行变换,4.5,线性方程组解的结构,一,.,线性方程组的相容性,回忆：,A,R,s,n,b,R,s,对于线性方程组,Ax,=,b,例,1,A,b,阶梯形,A,b,(1),Ax,=,b,有解,A,与,(,A,b,),的非零行数相等,；,(2),当,A,与,(,A,b,),的非零行数都等于,n,时,Ax,=,b,有唯一解；,(3),当,A,与,(,A,b,),的非零行数,(,记为,r,),相等且小于,n,时,Ax,=,b,有无穷多解,通解中含有,n,r,个自由未知量,.,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,行变换,4.5,线性方程组解的结构,一,.,线性方程组的相容性,回忆：,A,R,s,n,b,R,s,对于线性方程组,Ax,=,b,例,1,A,b,阶梯形,A,b,A,的非零行数,=r(,A,)=r(,A,),；,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,(,A,b,),的非零行数,=r(,A,b,)=r(,A,b,).,4.5,线性方程组解的结构,一,.,线性方程组的相容性,定理,4.13,.,设,A,R,s,n,b,R,s,则,(1),Ax,=,b,有解,r(,A,b,)=r(,A,);,(2),当,r(,A,b,)=r(,A,),=,n,时,Ax,=,b,有,唯一解,;,(3),当,r(,A,b,)=r(,A,),n,时,Ax,=,b,有,无穷多解,且通解中含有,n,r(,A,),个自由未知量,.,例,1,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,注,：对于矩阵方程,AX=B,有以下结论。,AX=B,有解,r(A,B)=r(A),记,B,=(,b,1,b,2,b,t,).,则,AX=B,有解,A,(,x,1,x,2,x,t,)=(,b,1,b,2,b,t,),有解,Ax,j,=,b,j,有解，,j,=1,2,t,.,r(,A,b,j,)=r(,A,),j,=1,2,t,.,r(,A,b,1,b,2,b,t,)=r(,A,).(,思考,),第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,二,.,齐次线性方程组的解的结构,另外,A,=,A,(,k,)=,k,(,A,)=,.,事实上,A,=,A,=,A,(,+,)=,A,+,A,=,.,1.,设,A,R,s,n,下列集合构成,R,n,的一个子空间,.,R,n,|,A,=,:=,K(A),称其为,Ax=,的,解空间,或矩阵,A,的,核空间,(,零空间,),.,设,A,R,s,n,称向量空间,K(A),的基为,齐次线性方程组,Ax=,的,基础解系,.,定义,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,Ax,=,的解集,|,A,=,1,2,s,线性无关,Ax,=,的,基础解系,可以由,1,2,s,线性表示,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,2.,Ax,=,的一个基础解系,1,2,s,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,任意数,Ax,=,的,一般解,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,例,1,设矩阵,A,经过一系列初等行变换可化为,1 0 1 3,0 0 1 0 -2,0 0 0 0 0,求方程组,Ax=,的基础解系,.,定理,4.14,.,设,A,R,s,n,秩,(,A,)=,r,.,(1),若,r,=,n,则,Ax,=,没,有基础解系,;,(2),若,r,n,则,Ax,=,有基础解系,且,dim,K(A)=n r,.,x,1,=,c,1,r,+1,x,r,+1,+,c,1,r,+2,x,r,+2,+,c,1,n,x,n,x,2,=,c,2,r,+1,x,r,+1,+,c,2,r,+2,x,r,+2,+,c,2,n,x,n,x,r,=,c,r,r,+1,x,r,+1,+,c,r,r,+2,x,r,+2,+,c,rn,x,n,x,r,+1,=,x,r,+1,x,r,+2,=,x,r,+2,x,n,=,x,n,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,注解,=,x,r,+1,+,x,r,+2,+,x,n,x,1,x,2,x,r,x,r,+1,x,r,+2,x,n,c,1,r,+1,c,2,r,+1,c,r,r,+1,1,0,0,c,1,r,+2,c,2,r,+2,c,r,r,+2,0,1,0,c,1,n,c,2,n,c,rn,0,0,1,定理,4.14,.,设,A,R,s,n,秩,(,A,)=,r,.,(1),若,r,=,n,则,Ax,=,没,有基础解系,;,(2),若,r,n,则,Ax,=,有基础解系,且,dim,K(A)=n r,.,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,1,=,c,1,r,+1,c,2,r,+1,c,r,r,+1,1,0,0,c,1,r,+2,c,2,r,+2,c,r,r,+2,0,1,0,c,1,n,c,2,n,c,rn,0,0,1,2,=,n,r,=.,定理,4.14,.,设,A,R,s,n,秩,(,A,)=,r,.,(1),若,r,=,n,则,Ax,=,没,有基础解系,;,(2),若,r,n,则,Ax,=,有基础解系,且,dim,K(A)=n r,.,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,求解齐次线性方程组,Ax,=,的基础解系的,一般步骤：,A,初等,行,变换,行,阶,梯,形,秩,(,A,),n,?,简,化,阶,梯,形,求得,通解,只有零解,N,初等,行,变换,Y,求得基,础解系,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,例,2,设矩阵,A,经初等行变换化为,0 2 0 3,0 1 1 0 -2,0 0 0 1 0,求,Ax=,的基础解系,.,例,3,设矩阵,A,经初等行变换化为,-1 0 -1,0 0 1 1,求核空间,K(,A,),的基及维数,.,(,注意区别值域,R(,A,),例,4,.,证明,r,(,A,T,A,)=,r,(,A,).,证明,:,设,A,为,m,n,的矩阵,x,为,n,维列向量,.,注意到,A,x,=,(,A,T,A,),x,=,同时，由,(,A,T,A,),x,=,x,T,(,A,T,A,),x,=,0,(,A,x,),T,(,A,x,),=,0,A,x,=,.,故,A,x,=,与,(,A,T,A,),x,=,同解,因此,n,r,(,A,T,A,)=,n,r,(,A,).,进而得,r,(,A,T,A,)=,r,(,A,).,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,K(,A,)=K(,A,T,A,),A,可以是一个向量,例,5,设,A,B,分别是,sn,nt,矩阵,证明：若,AB=O,则,r(A)+r(B)n,.,(,即为推论,2.8),第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,三,.,非齐次线性方程组的一般解,1.,A,x,=,b,的,导出组,:,A,x,=,.,性质,1,.,设,1,2,都是,A,x,=,b,的解,则,1,2,是,A,x,=,的解,.,性质,2,.,是,A,x,=,b,的解,是,A,x,=,的解,则,+,是,A,x,=,b,的解,.,2.,非齐次线性方程组的解向量的性质,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,定理,4.15,.,*,是,Ax,=,b,的一个特解,1,n,r,Ax,=,的,基础解系,Ax,=,b,的,通解,为,x,=,*,+,k,1,1,+,k,n,r,n,r,.,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,Ax,=,b,的,一般解,3.,解非齐次线性方程组,A,m,n,x,=,b,的一般步骤,A b,初等,行,变换,行,阶,梯,形,秩,(,A,)=,秩,(,A b,),?,简,化,阶,梯,形,求得,Ax=b,的特解和,Ax,=,的基础解系,无解,N,初等,行,变换,Y,求得,Ax=b,的一般解,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,例,6,.,求方程组,的一般解,.,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,3 2 1 1 -2,1 3 -2 4 1 7,4 11 8 0 5 3,初等行变换,3 2 1 1 -2,0 -1 0 -4 1 11,0 0 -4 3 0 9,初等行变换,0 0 -19/2 4 71/2,0 1 0 4 -1 -11,0 0 1 -3/4 0 -9/4,四,.,在解析几何中的应用,1.,两直线的相对位置,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,=0,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,=0,L,1,:,L,2,:,A,3,x,+,B,3,y,+,C,3,z,+,D,3,=0,A,4,x,+,B,4,y,+,C,4,z,+,D,4,=0,记,A,=,A,1,B,1,C,1,A,2,B,2,C,2,A,3,B,3,C,3,A,4,B,4,C,4,D,=,D,1,D,2,D,3,D,4,.,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,1.,两直线的相对位置,A,D,=,A,1,B,1,C,1,D,1,A,2,B,2,C,2,D,2,A,3,B,3,C,3,D,3,A,4,B,4,C,4,D,4,.,重 合,相 交,平 行,异 面,无穷多解,唯一解,无 解,位置关系,Ax=D,秩,无 解,r(,A,)=r(,A,D,)=2,r(,A,)=r(,A,D,)=3,r(,A,)=2,r(,A,D,)=3,r(,A,)=3,r(,A,D,)=4,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,有其它判断方法,例,7,.,当参数,k,取什么值时，直线,L,1,:=,y-1,-3,x-1,2,z-4,-4,L,2,:=,y+1,-1,x-1,2,z-1,k,相交？,L,1,L,2,P,1,P,2,s,1,Q,2,Q,1,s,2,Q,2,注：改例子在第三章出现过,。,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,2.,三平面的相对位置,1,:,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,=0,2,:,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,=0,3,:,A,3,x,+,B,3,y,+,C,3,z,+,D,3,=0,记,A,=,A,1,B,1,C,1,A,2,B,2,C,2,A,3,B,3,C,3,A,D,=,A,1,B,1,C,1,D,1,A,2,B,2,C,2,D,2,A,3,B,3,C,3,D,3,.,D,=,D,1,D,2,D,3,.,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,重 合,交于一线,交于一点,无交点,无穷多解,位置关系,Ax=D,秩,无 解,r(,A,)=r(,A,D,)=1,r(,A,)=r(,A,D,)=2,r(,A,)=r(,A,D,)=3,r(,A,)+1=r(,A,D,),2.,三平面的相对位置,A,D,=,A,1,B,1,C,1,D,1,A,2,B,2,C,2,D,2,A,3,B,3,C,3,D,3,.,唯一解,无穷多解,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,例,8,讨论下列三个平面的相对位置,.,1,:,x+y+bz=3,;,2,:,2x+(a+1)y+(b+1)z=7;,3,:,(1-a)y+(2b-1)z=0.,其中，,a,b,是参数,.,第四章,n,维向量,4.5,方程组解的结构,课后注释：,一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到,a,b,的一个范围；在剩下的范围内，,a,b,是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系,.,第四章,n,维向量,4.6,最小二乘解,4.6,线性方程组的最小二乘解,大东股份公司股票最近十天的收市价如下表所示,1 2 3 4 5 6 7,18.5 19.6 20.3 20.5 19.8 20.6 21.5,假定天数,x,与股票价格,y,服从三次关系,y,=,a,x,3,+,b,x,2,+,c,x,+,d,将上述数据代入假定的方程中，得到七个以,a,b,c,d,为未知数的方程组,其未必有解！,x,y,y,=,ax,3,+,bx,2,+,cx,+,d,第四章,n,维向量,4.6,最小二乘解,Ax,=,b,没有解，即,Ax,-,b,=,没有解,寻求最佳近似解,x,0,，使得：,|,Ax,0,b,|=min|,Ax,b,|,x,R,n,即寻找,x,0,使得,|,Ax,0,b,|=min|,a,b,|,a,R(,A,),b,假定,A,sn,第四章,n,维向量,4.6,最小二乘解,第四章,n,维向量,定理,4.16,假设,V,是,R,s,的子空间，,b,R,s,V,则,|,-,b,|=min|,a,b,|,当且仅当,a,V,-,b,与,V,中每个向量都正交,.,b,V,4.6,最小二乘解,Ax,=,b,没有解，即,Ax,-,b,=,没有解,寻求最佳近似解,x,0,，使得：,|,Ax,0,b,|=min|,Ax,b,|,x,R,n,即寻找,x,0,使得,|,Ax,0,b,|=min|,a,b,|,a,R(,A,),b,R(,A,),第四章,n,维向量,4.6,最小二乘解,即寻找,x,0,使得,|,Ax,0,b,|=min|,a,b,|,a,R(,A,),第四章,n,维向量,4.6,最小二乘解,即寻找,x,0,使得,Ax,0,b,与,R(,A,),中的每个向量都正交,R(,A,)=L(,1,2,n,),定理,4.16,即寻找,x,0,使得,Ax,0,b,与,1,2,n,都正交,i.e.,=,i,T,(,Ax,0,b,),=0,i=1,2,n.,即寻找,x,0,使得,|,Ax,0,b,|=min|,a,b,|,a,R(,A,),第四章,n,维向量,4.6,最小二乘解,第四章,n,维向量,A,T,Ax,0,=,A,T,b,.,该方程一定有解,x,0,（见习题四,(B)42,）,称其为,Ax,=,b,的,正规方程,，,称其解为,Ax,=,b,的,最小二乘解,.,4.6,最小二乘解,作 业,习题四,(B)25(1),26,27,29;,30(1),31;32,35;,36 40,上交时间,：,11,月,29,日（周二）,本门课程的内容体系,本门课程：研究矩阵的理论,第二章,矩阵,矩阵的定义和运算,；,可逆矩阵,:,特殊矩阵,;,分块矩阵,:,为了更方便的运算,;,初等变换,:,矩阵之间的一种变换；,第五章,：相似变换,(,方阵,),第六章,：可逆变换,(,实对称阵,),特征值,惯性指数,矩阵世界，,纷繁复杂，,如何找到不变的永恒,秩,第四章,：,向量,空间是一种特殊的矩阵空间,寻找向量空间的极小生成元,(,基,),寻找向量组的极大无关组,研究向量组中向量间的关系（线性相关性）,有了基,就有了坐标；,定义内积,引入正交的概念,构造一组标准正交生成元,两个应用,刻画矩阵,A,的列空间,(,列向量生成的子空间,),刻画,Ax=b,的解空间，即寻找基础解系等,第三章,几何空间,(R,3,):,可看作是第四章的铺垫，也可看作一种特殊的向量空间,。,第一章,行列式和方程组,:,它们是研究矩阵的工具。很多问题会被转化为求行列式,(,特别是遇到方阵时,),或求方程组解的问题。,定理的,4.14,证明,(,注解,),：这样的设法是假定增广矩阵,(,A,b,),化成了阶梯形矩阵之后，,r,个非零首元出现在了前,r,列。这样的设法是合理的。,