第二章--整数问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 整数问题,主要内容,:,一、数的整除,二、余数问题,三、奇数与偶数,四、约数与倍数,五、质数与合数,第一节 数的整数,对于整数,a,与,b,（,b0,），若存在整数,q,，使等式,a=,bq,成立，则称,b,整除,a,，或,a,能被,b,整除,.,这时称,a,是,b,的倍数，,b,是,a,的约数，并记作,整数的整除性质：,1.,如果整数,a,、,b,都能被整数,c,整除，那么（,a,b,）与（,a-b,）也能被,c,整除,.,2.,几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除,.,3.,如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除,.,反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整除,.,数的整除特征：,1.,末位数字是偶数的整数能被,2,整除；末位数字是,0,或,5,的整数能被,5,整除；末两位数是,4,（或,25,）的倍数的整数能被,4,（或,25,）整除；末三位数是,8,（或,125,）的倍数的整数能被,8,（或,125,）整除,.,2.,各位数字之和能被,3,（或,9,）整除的整数，能被,3,（或,9,整除）,.,3.,若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被,11,整除，则这个数能被,11,整除,.,问题,2.1.1,四位数,57A1,能被,9,整除，求,A.,分析：,四位数,57A1,的各位数字的和应是,9,的倍数,.,解：,5,7,A,1=A,13.,四位数,57A1,能被,9,整除，,A,13,应是,9,的倍数，,0A9,，,13A+1322.,故,A,13=18,，,A=18-13=5.,问题,2.1.2,六位数,a8919b,能被,33,整除，求,a,与,b.,分析：,此六位数应同时是,3,与,11,的倍数,.,解：,33=311.a8919b,能被,33,整除，,a8919b,同时是,3,与,11,的倍数,.,故,a+8+9+1+9+b=27+a+b,应是,3,的倍数，,且（,a+9+9,）,-,（,8+1+b,）,=9+a-b,应是,11,的倍数,.,a-b=2.,故,a-b,是偶数,.,a+b,与,a-b,同为奇数或同为偶数，,a+b,为偶数,.,27+a+b,是,3,的倍数，,a+b,是,3,的倍数,.,a0,，,a,b0.,a,b=2,，,a+b18.,故,a,b=6,或,12.,又,a-b=2,，,a=4,，,b=2,或,a=7,，,b=5.,问题,21.3,在,568,后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被,3,、,4,、,5,整除，且使这个数值尽可能小,.,求这个六位数,.,分析：,根据一个整数分别被,3,、,4,、,5,整除的特征，通过分析推理，探求应补上的三个数字,.,解：设所求的六位数为,568abc.,568abc,能被,5,整除，,c=0,或,5.,568abc,能被,4,整除，,c=0.,要使,568abc,的数值尽可能地小，则二位数,bc,=20.,568abc,能被,3,整除，,5+6+8+a+b+c=21+a,是,3,的倍数,.,要使,568abc,尽可能地小，故,a=0.,所以，所求的六位数为,568020.,问题,2.1.4,从,0,、,3,、,5,、,7,四个数字中任选三个，排成能同时被,2,、,3,、,5,整除的三位数,.,这样的三位数共有几个？,分析：,能同时被,2,、,3,、,5,整除的自然数，其个位数字应为,0,，各位数字之和应是,3,的倍数,.,解：因为所求的三位数能同时被,2,、,5,整除，所以这个三位数的个位数字为,0.,因为所求的三位数能被,3,整除，所以这个三位数的各位数字之和应是,3,的倍数,.,故所求的三位数为,570,或,750,，共,2,个,.,问题,2.1.5,有,72,名学生，共交课间餐费,a527b,分，每人交了多少元？,分析：,先求,a,和,b,代表的数字,.,解：显然,a527b,为,72,的倍数,.,因为,72=89,，所以,a527b,应同为,8,和,9,的倍数,.,因为,a527b,为,8,的倍数，所以,27b,为,8,的倍数，故,b=2.,因为,a527b,为,9,的倍数，所以,a+5+2+7+b=16+a,为,9,的倍数，故,a=2.,因此，,a527b=25272.2527272=351,（分）,.,答：每人交了,3.51,元,.,思考题,1.,用,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,、,7,、,8,、,9,（每个数字用一次）组成三个能被,9,整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？,2.,小红买了,7,支铅笔、,5,支圆珠笔、,8,本笔记本和,12,块橡皮，总共用去,4,元,5,角,.,已知铅笔,8,分一支，圆珠笔,3,角,6,分一支,.,问售货员同志的帐有没有算错？,3.,六位数,1803a6,能被,12,整除，求数字,a,是多少,.3.,已知一个六位数,6a6a6a,能被,11,整除，求这样的六位数有几个？,4.,有一个四位数,3AA1,，它能被,9,整除，请问数字,A,代表几？,第二节 余数问题,两个整数在作除法运算时，被除数和除数之间的关系不全是整除的关系,.,如果,a,是整数，,b,是一个自然数，那么一定有两个整数,q,和,r,，使得,a=,bq+r,（,0r,b,）,.,当,r=0,时，则称,a,被,b,整除,.,当,r0,时，,r,叫做,a,除以,b,的余数，,q,叫做,a,除以,b,的不完全商，,r/b,叫做,a,除以,b,的尾数,.,如果,a,、,b,两个整数除以自然数,m,后所得的余数相同，就称,a,、,b,对于模,m,同余,.,记作,ab,（,mod m,）,.,同余有下面的一些性质：设,a,、,b,Z,，,m,N.,1.,如果,ab,（,mod m,），则,m,（,a-b,）,.,2.,aa,（,mod,，,m,）,.,3.,如果,ab,（,mod m,），则,ba,（,mod m,）,.,4.,如果,ab,（,mod m,），,bc,（,mod m,），则,ac,（,mod m,）,.,5.,如果,ab,（,mod m,），,cd,（,mod m,），,则,a,cb,d,（,mod m,）,a,cb,d,（,mod m,）,.,6.,如果,ab,（,mod m,），,cd,（,mod m,），,则,acbd,（,mod m,）,.,7.,如果,ab,（,mod m,），则,anbn,（,mod m,）,.,根据余数相同，可以对整数分类,.,例如一个整数,a,被,3,除时，余数只能有,0,、,1,、,2,这三种可能，因此所有整数可以分为,3k,、,3k+1,、,3k+2,（,k,为整数）这三种类型,.,问题,2.2.1,一个两位数除,310,，余数是,37,，求这样的两位数,.,分析：,用被除数减去余数,.,然后将其差分解质因数,.,解：,310-37=273.,273=3713.,考虑到所求的两位数（除数）要比,37,（余数）大，而,313=39,，,713=91,，因此所求的两位数为,39,或,91.,问题,2.2.2,填空,41,（）,=,（）,5,分析：,被除数减去余数的差能被商整除。即,41,5=36=136=218=312=49=66.,又知除数必须大于余数,5.,因此除数可能是,36,18,12,9,6.,问题,2.2.3,一个大于,1,的自然数去除,300,243,205,时得到相同的余数,则这个自然数是多少,?,分析：,由同余的性质知,300-243=57=319,243-205=38=219,因为这两个差的公约数为,19,且,19,1,因此所自然数为,19.,问题,2.2.3,求,被,4,除的余数,.,分析：,利用同余的性质,.,问题,2.2.4,今天是星期日，再过 天是星期几？再过 天又是星期几？,分析：,就是求 、分别被,7,除的余数,.,因此，如果今天是星期日，那么再过 天是星期日，再过 天是星期一,.,第三节 奇数与偶数,奇、偶数有下面一些重要性质：,1.,奇数,奇数,=,偶数,奇数,偶数,=,奇数,偶数,偶数,=,偶数,.,2.,两个奇数之积为奇数,;,一个偶数与一个整数之积为偶数,.,3.,偶数的平方能被,4,整除,奇数的平方被,4,除余,1.,4.,相邻两个整数之积必为偶数,其和必为奇数,.,5.,奇数个奇数的和,(,或差,),为奇数,;,偶数个奇数的和,(,或差,),为偶数,.,任意多个偶数的和,(,或差,),总是偶数,.,6.,如果若干个整数的积是偶数，那么乘数中至少有一个是偶数；如果若干个整数的积是奇数，那么所有的乘数都是奇数,.,问题,2.3.1,若,m,、,n,为整数，则,m+n,与,m-n,必同为偶数或同为奇数,.,为什么,?,分析：,分,m,、,n,为奇数或偶数的情况进行讨论,.,解：若,m,、,n,同为奇数（或同为偶数），,则,m,n,与,m-n,同为偶数,.,若,m,、,n,中一个为奇数，另一个为偶数，,则,m+n,与,m-n,同为奇数,.,因此，,m,n,与,m-n,同为偶数或同为奇数,.,问题,2.3.2,老师组织一群学生做互相握手的游戏,.,当游戏结束后，大家把自己握手的次数告诉老师，经统计发现，握过奇数次手的学生人数是偶数,.,为什么？,分析：,由于两个人每握一次手，每人都记握了一次手，那么两个人握手次数的和是,2.,因此，这一群学生握手的总次数是偶数,.,解：由于两个人每握一次手，每人都记握了一次手，因此这一群学生握手的总次数是偶数,.,从而握手的次数是奇数的学生握手的总次数也应是偶数,.,即握过奇数次手的学生人数是偶数,.,问题,2.3.3,某班同学参加学校的数学竞赛，共,30,道试题,.,评分标准是：答对一题给,3,分，答错倒扣,1,分，不答给,1,分,.,请你说明：该班同学得分总和一定是偶数,.,分析：,每个学生的得分数都是偶数，是解答此题的关键所在,.,解：对每个学生来说，,30,道题都答对可得,90,分，是个偶数,.,如答错一题，就相差,4,分，不管答错几题，,4,的倍数都是偶数，,90,减去偶数还是偶数,.,同样，如不答一题，就相差,2,分，不管不答几题，,2,的倍数都是偶数，偶数减去偶数还是偶数,.,因此，每个学生的得分数都是偶数,.,而偶数的和仍是偶数，故全班同学得分数的总和一定是偶数,.,问题,2.3.4,两个质数之和是,999,，求这两个质数之积,.,分析：,这两个质数中必有一个为奇数，一个为偶数,.,解：因为两个质数之和为奇数,999,，所以其中必有一个为奇数，一个为偶数,.,而偶数质数只有,2,，因此，奇数质数为,997.,2997=1994.,故所求两个质数之积为,1994.,问题,20.5 100,个自然数的和是,10000,，在这些数里奇数的个数比偶数多，那么偶数最多会有多少个？,分析：,先求奇数最少有多少个,.,解：因为,100,个自然数的总和是偶数，所以奇数的个数必须是偶数,.,又这些数里，奇数的个数比偶数多，故奇数的个数大于或等于,52,，即最少是,52,，因此偶数最多是,48,个,.,思考题,:,1.,是否存在整数,.m,、,n,使得,(,m+n)(m-n,)=1994.,2.,游艺室里的座位是,9,行,9,列，坐满了学生,.,现在做一项游戏，当铃声响后，每个同学都要与自己前后或左右相邻的某个同学交换座位一次,.,问这项游戏实现得了吗？说明道理,.,3.,有,29,人参加乒乓球单打比赛，若每人都要比赛,3,场，可能吗？为什么？,第四节 约数与倍数,几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数,.,几个自然数的公倍数有无限多个，所以不存在最大公倍数，除零外，其中最小的只有一个，这个数就叫做这几个数的最小公倍数,.,自然数,a,和,b,的最小公倍数记作,，,b.,几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数,.,几个自然数的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数,.,自然数,a,和,b,的最大公约数记作,(,，,b).,如果两个自然数的最大公约数是,1,，那么就称这两个数互质,.,问题,2.4.1,甲数是,24,，甲、乙两数的最小公倍数是,168,，最大公约数是,4,，求乙数,.,分析：,法一,因甲、乙两数的最大公约数是,4,甲数,46,设乙数,4x,则,x,与,6,互质,.,因甲、乙两数的最小公倍数是,168,，所以 是整数。,故,x,是,42,的约数,.,又,x,与,6,互质,所以,x,1,或,x,7.,当,x,1,时,乙数,41,4,不合题意,舍去,.,当,x,7,时,乙数,47,28,符合题意,.,法二,因,1684=24,乙数,所以乙数,=,问题,2.4.2,有两个容器，一个容量为,27,升，一个容量为,15,升，怎样利用它们从一桶油中倒出,6,升油来？,分析：,（,27,，,15,）,3.,215,27,3,，,3,215,27,，,6,415,227.,所以，向小容器里倒,4,次油，每倒满后就向大容器里倒，大容器注满了就往桶里倒,.,当大容器第二次倒满时，小容器里剩下的就是,6,升油,问题,2.4.3,一块长方形的纸，长,75,厘米，宽,60,厘米，要把这张纸裁成面积相等的小正方形的纸而无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？,分析：,要使这些面积相等的小正方形纸的边长最长，就是要求,75,与,60,的最大公约数,.,解,:,因（,75,，,60,）,15.,（,7515,）,（,6015,）,54,20.,故,可裁成,20,张,.,问题,2.4.4,甲、乙、丙三个班的学生人数分别是,54,、,48,、,72.,现要在各班分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同,.,问锻炼小组的人数最多是多少？这时甲、乙、丙三班共有多少个小组？,分析：先求,54,、,48,、,72,的最大公约数,.,（,54,，,48,，,72,）,6.,（,54,48,72,）,6,29.,故,锻炼小组的人数最多是,6,，这时甲、乙、丙三班共有,29,个小组,.,问题,2.4.5,工人加工零件，第一批毛坯,1788,个，第二批毛坯,1680,个，第三批毛坯,2098,个,.,现平均分给工人，分别剩,7,个、,3,个、,5,个,.,问加工的工人最多有多少？,问题,2.4.6,有,320,个苹果、,240,个桔子、,200,个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？,分析：,（,320,，,240,，,200,）,=40.,32040=8,，,24040=6,，,20040=5.,故,用这些果品最多可分成,40,份,.,在每份礼物中，有,8,个苹果、,6,个桔子、,5,个梨,.,问题,2.4.7,排练团体操时，要求队伍变成,10,行、,15,行、,18,行、,24,行时，队形都能成为长方形，问最少需要多少人参加团体操的排练？,分析：,由于队形要成为长方形，因此，人数必须是行数的倍数,.,求最少的人数就是求各行数的最小公倍数,.,10,，,15,，,18,，,24,360.,答：最少需要,360,人参加团体操的排练,问题,2.4.8,一筐苹果（在,100,个以内），按每份,3,个分多,1,个，每份,5,个分多,3,个，每份,7,个分多,2,个,.,问这筐苹果有多少个？,分析：,这个问题实质是：,100,以内的一个数除 以,3,余,l,，除以,5,余,3,，除以,7,余,2,，问这个数是多少？若将所求的数加上,2,，所得的数应是,3,与,5,的公倍数,.,3,，,5,15.,3,与,5,的公倍数：,15,，,30,，,45,，,60,，,75,，,90.,故原数可能是：,13,，,28,，,43,，,58,，,73,，,88.,其中除以,7,余,2,的只有,58.,问题,2.4.9,从运动场一端到另一端全长,96,米，每隔,4,米插一面红旗，现在要改成每隔,6,米插一面红旗,.,问有多少面红旗不必拔出来？,分析：,由于,4,和,6,的最小公倍数是,12,，所以从第一面红旗开始，每隔,12,米的那一面红旗就不必拔出来，第一面红旗也不必拔出来,.,4,，,6,12.,9612,1,9.,即共有,9,面红旗不必拔出来,.,问题,2.4.10,一些三位数能同时被,2,、,5,、,7,整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一行，中间的一个数是多少？,分析：,2,，,5,，,7,70.,这样的三位数有,702,，,703,，,，,7014.,它们中间的一个数是,870,560.,问题,2.4.11,一个四位数被,2,除余,1,，被,3,除余,2,，被,4,除余,3,，被,5,除余,4,，被,6,除余,5,，被,7,除余,6,，被,8,除余,7,，被,9,除余,8,，被,10,除余,9,，求这样的四位数,.,第五节 质数与合数,全体自然数可以按照约数的个数进行分类,:,1.,仅有,1,和它本身两个约数的自然数，称为质数（或素数）,.,2.,除了,1,和它本身以外，还有其它约数的自然数，称为合数,.,3.1,只有一个约数，就是它本身,.1,既不是质数也不是合数、称为单位,1.,全体自然数分成了三类：数,1,；全体质数；全体合数,.,问题,2.5.1 24,有多少个约数？这些约数的和是多少？,分析：,3,的约数：,l,，,3,共,2,个,.,根据乘法原理，,24,的约数个数为：,（,3,1,）,（,1,1,）,42,8.,这,8,个约数为：,l,、,2,、,4,、,8,、,3,、,6,、,12,、,24.,它们的和为：,1,2,4,8,3,6,12,24,（,1,2,4,8,）,3,（,1,2,4,8,）,（,1,2,4,8,）,（,1,3,）,154,60.,问题,2.5.2,将下面八个数分成两组，使这两组数各自的乘积相等,.,14,，,33,，,35,，,30,，,75,，,39,，,143,，,169.,分析,:,把八个数分成两组后，应使每组数的乘积所含的质因数一样,.,八个数分解质因数：,14,27,，,33,311.,35,57,，,30,235.,，,39,313,，,143,1113,，,.,，,，,169,，,33,，,35,，,30,与,39,，,143,，,75,，,14,或,169,，,33,，,75,，,14,与,39,，,143,，,35,，,30,问题,2.5.3,一个数是,5,个,2,、,3,个,3,、,2,个,5,、,1,个,7,的连乘积，这个数的两位数的约数中，最大的是几？,分析：,设这个数为,N,，则,N,.,两位数中的最大数为,99,，其它数依次为,98,，,97,，,.,那么可以从两位数中最大的数开始找,.,解：,N,.,99,，不是,N,的约数,.,98,，不是,N,的约数,.,97,是质数，不是,N,的约数,.,96,，是,N,的约数,.,所以，所求最大的两位数的约数是,96.,问题,2.5.4,有这样的质数，它分别加上,10,和,14,仍为质数，求这个质数,.,分析：,从最小的质数开始找，可以很快地找到,3,是符合条件的质数，还有没有符合条件的别的质数呢？,因为,3,10,13,，,3,14,17,，所以,3,是符合条件的质数,.,因为,2,10,12,，,2,14,16,，所以,2,是不符合条件的质数,.,我们将一切大于,2,的自然数按照被,3,除的余数分为,3n,、,3n,1,、,3n,2,（,n1,的整数）这三类,.,因为（,3n,1,）,14,3,（,n,5,）不是质数，（,3n,2,）,10,3,（,n,4,）不是质数，而,3n,仅当,n,1,时才是质数,.,所以，,3,是唯一符合条件的质数,.,问题,2.5.5,在乘积,1000999998321,中，末尾连续有多少个零？,分析：,从分析末尾的零是怎样产生的入手,.,因为,25,10,，所以末尾的零只能由乘积中的质因数,2,与,5,相乘得到,.,有多少个质因数,2,，有多少个质因数,5,，其中哪一个的个数少，乘积的末尾就有多少个连续的零,.,先计算中的质因数,5,的个数,.,在,1,，,2,，,，,1000,中有,200,个,5,的倍数，它们是：,5,，,10,，,，,1000.,在这,200,个数中，有,40,个能被,25,整除，它们是,25,，,50,，,，,1000.,在这,40,个数中，有,8,个能被,125,整除，它们是,125,，,250,，,，,1000.,在这,8,个数中，有,1,个能被,625,整除，它是,625.,所以，中的质因数,5,的个数等于,200,40,8,1,249.,而中的质因数,2,的个数，显然多于质因数,5,的个数,.,所以，乘积,1000999998321,中，末尾连续有,249,个零,.,问题,2.5.6,在,101,与,300,之间，只有,3,个约数的自然数有几个？,分析：只有,3,个约数的自然数必是质数的平方，反之亦然,.,解,:,在,101,至,300,之间的平方数：,、,.,其中 、是质数的平方，它们分别只有,3,个约数,.,