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线性代数（同济四版）习题参考答案 Wuhan University目录第一章行列式 1第二章矩阵及其运算 17第三章矩阵的初等变换与线性方程组 33第四章向量组的线性相关性 48第五章相似矩阵及二次型 69第一章行列式课后的习题值得我们仔细研读.本章建议重点看以下习题：5.(2),(5);7;8.(2).(这几个题号建立有超级链接.)若 您发现有好的解法，请不吝告知.1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 01a b c1 4 1;b c a1 8,3cab1 1 1Xy x-ya b cy x+y xa2 b2 c2x+yx y解：2 0 11 4 1-18 3=2 x(-4)x 3+0 x(-1)x(-1)+1x1x8 0 x1x3 2 X(-1)X 8-1 x(-4)x(-1)=-24+8+16-4=4.(2)A)a b cb c a=acb+bac+cba bbb aaa ccc=3abc a3 63 c3.cab 111a b c=be2+ca2+ab2 ac2 ba2 cb2=(a b)(b c)(c a).a2 b2 c2x y x+yy x-y x=x(x+y)y+yxx+0)+(/+y)yx-7/3-(x+7/)3 一 x3x+y x y=3xy(x+y)y3 3x2y 3y2x x3 y3 x3=2(/+.3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数：1 2 3 4;(2)4 1 3 2;3 4 2 1;(4)2 4 1 3;1 3(2八一1)2 4(2)；1 3(2九一1)(2h)(2九一2)2.解逆序数为0.(2)逆序数为 4:4 1,4 3,4 2,3 2.A7)/A7 A7 13 5 6 z(/(/(z/l12第一章行列式(3)逆序数为 5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1.(4)逆序数为 3:2 1,4 1,4 3.逆序数为辿户：3 2.1 个5 2,5 4.2 个7 2,7 4,7 6.3 个(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,.,(2n-1)(2n-2).(1)个(6)逆序数为n(n-l):3 2.1 个5 2,5 4.2 个7 2,7 4,7 6.3 个(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,.,(2n-1)(2n-2).(n1)个4 2.1 个6 2,6 4.2 个(2n)2,(2n)4,(2n)6,.,(2n)(2n-2).(n-1)个3.写出四阶行列式中含有因子O11Q23的项.解：由定义知，四阶行列式的一般项为(1)Qipi0202Q3P3a4P4，其中力为Pip2P3P4的逆序数.由于Pi=1,P2=3已固定,P1P2P3P4只能形如13口口，即1324或1342.对应的逆序数t分别为0+0+1+0=1,0+0+0+2=2.所以,一。11。23。32。44 和。11。23。34。42 为所求4.计算下列各行列式:4 12 412 0 210 5 2 00 11721 4 1-1 2 12 3 20 6 2db de ae(3)bd cd de bf cf-efa1001b100-1c1001d解：4 12 412 0 211210 5 2 00 11712 0 212 0 24 12 42-4r10-7 2-410 5 2 0rs 10ri0-15 2-200 1170 117线性代数（同济四版）习题参考答案3/2一丁412 0 20 117/4+7度212 0 20 1170 0 17 850 0 9 452 14 03-12212 3 05 0 6 212 0 20 117_ 1 7 a _ n00-15 2-207 2-42 14 13-121r3+15r2C4C2X 1 7丁 4一420 0 1 5 ,0 0 152 14 03-12212 3 02 14 04一12 3 25 0 6 22 14 03-122 12 3 00 0 0 0Aab ac aebee-1 1 1bd-cd de=adfb c e=adfbee1-1 1bf cf-efb c e1 1-1-1 1 10 22 0-adfbee丁3+以0 0 2=adfbee=4abcdef.0 2 0a 1 0 00 1 ab a 0-16 10Tl+aT2-1 b 1 00-1 c 10-1 c 10 0-1 tZ0 0-Id1 aba01 abaad按第 1 列 展开1c1C3+1C21c1+ctZ01d010按第3行展开1)3+21+ab1ad1+cd=abed+ab+cd+ad+1.5.证明：a2 ab(1)2a a-b1 1证明b22b=(q b)3；1a2 ab b22a a b 2b1 1 1C2 ClC3-C1a2ab a2b2-a22ab a2b 2a100o,-j ab a2 b2 a21 J-b cl 2b 2q(b-a)(b-a)；;(“一ax+by ay+bz az+bxay+bz az+bx az+bx ax+by ax+by ay+bzx=+b3)yy zz xz x y4第一章行列式证明：ax+byay+bzaz+bxay+bz az+bx az+bx ax+by ax+by ay+bz按第i列二a 分裂开x ay+bz az+bxy ay+bz az+bxy az+bx ax+by+bz az+bx ax+byz ax+by ay+bzx ax+by ay+bzz az+bx x ax+by y ay+bz=(川+63)yy zz xX y这个解法“看上去很美”，实则是一个错解！我们强调，行列式不能作这种衫不上的加法:0iiain外1.b1nii+bu.a1n+b1n0nl0nn+bnl bnn。九1+bni,ann+bnn证明a2 b2 c2 d2(Q+l)2(I)?(c+1)2(d+l)2(q+2)2(b+2)2(。+2)2(d+2)2(Q+3)2(5：(c+3)：(d+3)222=0；a2 b2 c2 d2(Q+I)2(b+l)2(。+1产(d+l)2(q+2)2(6+2)2(。+2)2(d+2)2(Q+3)2(b+3)2(c+3)2(d+3)2Cj-ci=2,3,4a22。+14。+46。+9b22b+14b+46b+9(?2c+14c+46c+9cP2d+14d+46d+9C3-2C2C4 3C2a2 R(?d22q+12b+12c+12d+126222666两列成比例0线性代数（同济四版）习题参考答案51111a a2官心层:5 b)()(d)()(d)(d)(+b+c+办a c4 d4证明:111110 0 0abedC3C1a b a c a d aa2 b2 c2 cPJ=2,3,4a2 b2 a2 c2 a2 d2 a2a4 b4 c4 d4a4 b4-a4 c4-a4 d4-a4b ac-ad 一 CL展开rib2-a2c2-a2d2-a262(62-a2)_ 02)d2(d2-a2)1 1 1=(J)a)(c a)(d a)b a c+a d-ab2(b+a)(?(c+a)d2(d+a)12 i：(b-cl)(c 一 a)(d a)b clC3-C1b2(b+a)0c b(?c+a)庐佐+a)0 d-b d2(d+a)-62(6+a)均开 1(b a)(c a)(d a)(c b)(d b)1(c2+be+b2)+a(c+b)1(d2+bd+62)+ad+b)(a b)(a c)cl-d)(b c)(b d)(c-d)(a+b+c+d).x-1 00 x-10 0 00 00 0；：=xn+aixn-1 H J-an-ix+an.x 1n1 an2。2/+证明：方法一.设法把主对角线上的X变为0,再按第一列展开.C?2 1+力。1Dn=X10,0000X1.000000 X10000 0X1an0nlGn2.0302N+X10 0000X1000000,X10000 一001an0nlan2 03X2+a1x+。2 力+6第一章行列式x 1 0.0000 x-1.000C?2 2+=C?2 10 0 0.0100 0 0.001n-1 an2 X3+。2 力+。3 力2+。2N01 0 000 0 0Cj X Cj 100.一1 000 ,0 1xn+aixn-1+an_ix+an 3ni+d俨-2 H-F an_2x+ani-x2+a1x+。2 力+一 1,0 00 0 0=(6n+Q16nT+an-iR+Qn)(I)71-0,一 1 00,0 1=(xn+aixn-x+-+QN+Q-1 严 1(-1 广T=xn+dXn 1+dnx+dn.方法二.设法把-1全部变为0,得到一个下三角矩阵.若力=0,则Dn=an.等式成立.若力#0,则x 0 0 0 0Ox.1 0 0n c2+vciDn 0 0 0 X 1an ani+誓 an2 02 xx 00,0 00 x0,0 0丁3+720 00 一X-1an an_1+粤 On2+苗 1+翳 。2 力+x 00,0 00 x0,0 00 00,x 0an an_i+野 an_2+CLn1+翳 2 P1这里，玛二02 H-1-9X xz+.4-1-J十 十十泊-2，线性代数(同济四版)习题参考答案7得到下三角阵，所以方法三，用递归法证明.记Dn=xn-P1-x a1-1z-+X xz+an1 马=xn+aixn-1+1 +n 1力X10 一000X1 00000 一X1an0nln2 02x+ai+Qn则n 展开ci Dn-x=1+an(-l)n+1(-l)n-1=2n l+Qn-x 1 0 0i0-0 0X1,0 0+an(-ir+i0 0 x 1Qfi1 Qtl2 ,。2/+00-X 1所以，Dn=xDn_i+a.,TL由此递归式得D九 X+CLX+du-1X+Qn.方法四.按最后一行展开.先看厮一的代数余子式.因为x 1X-1X1X1X。口 On-1 an21X 1。2 力+Ql ni ,n(i+1)划掉Qni所在的行和所在的列,左上角是i X i的方块,右下角是(n-i-l)x(n-i-l)的方块,余下全为0.则ani的代数余子式为(注意到处在第八行、分+1歹U)X-1X 11X=/X1X 11Xixi(ni 1)X(ni 1)所以，。九按最后一行展开，得到Dn=c1n+anix+0n-2力2+,+aniXi+,+a22n 2+(+cii)xn 18第一章行列式=xn+/hi+an_+an.方法五.针对Q作变换.x-1 0 0 00 x-1 0 00 0 力 0 0Dn=0 0 0 X-1an n1 an2.02 6+010-1 0 0 x2 x 1 00 0 x -0000C1+/C20 0 0 x1+0?21力 0n1 n2.02x+ai0-1 0.o00 x 1.o0C1+%2c3x3 0 x.o00 0 0 X1-O-n-1 0?1-2。2N+0-1 0 0 00 X-1-0 0=0 0 x 0 00 0 0 x-1P anl On2。2 6+这里,P=an-an1 力+an2力2+Qi7n1+Xn.再按第一列展开,得Dn=xn+dXn 1+dn_x+dn.6.设九阶行列式D=det 把D上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转，依次得Di=0nl-,ann,D?=ain 一,ann,。3=0nn,ln011,a1nOil 一,aniani 一 011证明 2=5=(-1)。,&=D.证明：D=aii0ln九-1次行的相邻互换使rn换到第一行(一140ii0ln0?2n02102n线性代数（同济四版）习题参考答案9口-2 次行的相邻互换 使Tn换到第二行011=(1)1(1)一(1)：0nl同理可证011。2=(-1)4：ainaii a1n02i.一a2nni ann=31 03n0ln:=(-l)1+2+-+(n-2)+(n-1)D=(-l)n(V1)pUnnnl.、n(n 1)rp.、n(n l)：=0nnD3=(1)002=(1)(1).0=(1/51)。=D.7.计算下列各行列式皿为k阶行列式）:a 1Dn=,其中对角线上元素都是,未写出的元素都是0;1 a解：方法一.将为作八-1次列的相邻对换，移到第二列:a0 01a0 010a 0010 0a=(-1广0a 0000 a010 0a00 a0再将心作八-1次行的相邻对换,移到第二行:000a1=1a0 0 00：=(q2 l)an-2.(712)x(n 2)方法二.Dna 00 a0 01 00 10 0a 00 a展开Claa+1 X(-l)n+1(n1)X(n1)0 01a 000 a0(n 1)X(n 1)10第一章行列式a展开1 an+(-l)n+1 x 1 x(1)5D+ia(Tl 2)x(n 2)=an-0n2x a aa x a Dn=.;a a xft?：方法一.将第一行乘(-1)分别加到其余各行，得Dnx a aa x x a 0a x 0 x aa00a x 0 0 x-a再将各列都加到第一列上,得x+(n l)aaa0 x-a0Dn=00 x-a000a00=x+(n l)a(x a)n-1.x-a方法二.将各列都加到第一列得x+(n l)a a-aDn=x+(n l)a x-ax+(n l)a a-X1 a ax+(n l)a1 X a1 a-X再将第一行乘以(-1)分别加到其余各行,得1aa0 x-a0Dn=x+(n-1)q00 x-a0 0 0方法三,升阶法.1 a cl,a0 x a aDn=0 a x a，=2,3,0 a a x(n+l)x(n+l)a00=x+(n l)a(x a)n-1.x a1aa a1x a0 010 x-a-0100 x a(n+l)X(n+1)线性代数(同济四版)习题参考答案11若/=q，贝Ij=0.若力#q,贝lj将 力口至(J ci,J=2,3,n+1:1+-n xa00aa0a00 x-a0 x-ax-a000(n+l)x(n+l)_ na1 H-x-a(x a)n=x+(n l)a(x a)n-1.an0nt(a-l)n(q_ 1 严t (a n)n(a n)n-1 Dn+l=；(提示：利用范德蒙德行列式的结果.)a1a 11a n1解：从第八十 1行开始，第九十 1行经过n次相邻对换，换到第1行；第八行经(n-1)次对换换到第2 行.经九+-1)+1=如产次行交换，得(或者直接由题6的结论)111a 1aa nn(n+l)=(-1)QnT an(q_ 1)1(a-l)n(a n)n-1(a n)n此行列式为范德蒙德行列式.对照范德蒙德行列式的写法知，这里的Xi=a-(i-1),Xj=a-(j-1).所以a=Xi,a 1=X2,.,a (n 1)=xn,a n=xn+i，贝U9+i)Dn+l=(一1)2二(二+1)(1)2,一、九(八+1)(1)2-S+i)=(1)2n(-巧)n(a-E+1)-(Q-7+1)n-(一)x(i尸(-)+】x n(z-j)n(一)n+l/2lan0(4)D2n=Cn0Qi bi ci di 00dn解：方法一.将02n作筋-1次列的相邻对换，移到第二列；再将丫2n作筋-1次行的相邻对换，移到12第一章行列式第二行:Cnbn dn0n lbnlD2n=(_1 产 T(_1严1Clbi diGi1dnl又晚=1时。2=QlClbi di=Qidi-61C1,所以n=(C1ndn 710n)Z)2(nl),D2n (=忖-j得01 2 3-n 110 1 2-n 2Dn=det(ij)=21 0 1-n 3n-2n 3 n 4 n 5 1n 1n 2 n 3 n 4 一 0线性代数（同济四版）习题参考答案13=(-l)n-x(n-l)2n-2.1111111111LTi+l11111，=1,2,111X1n 1n 2n 372 40100001-20009+s1-2-200J=2,3,1-2-2-20n 12 72 一 32 72 4 2n 5n 11+11 1+。2(6)Dn=.1 1解：升阶法.111+QnDn小fl i=2,3,-，其中 On,01 i 1 1Oil-!-Qi 10；1 1+Q20 I 1 11 1 11 QI 01 0。21001111+(n+1)X(n+1)-10 0(n+1)x(n+l)ci+也ci+年 C/+17=2,3,1+L 1 1ai0 01 0。2100-1(J(J an/、/、(n+l)x(n+l)1+-F ,1 1,1ai a2 an0 0 00 0。2 o(n+1)X(n+1)14第一章行列式8.用克莱姆法则解下列方程组:+力2+力3+力4=5,力1+2力2 力3+4力4=-2,2xi-3力2 一 63 564=-2,3X1+力2+263+114=0；Di=D=1111111111111111121401-2301-2301-232-31-50-5-3-700-138001-54312110-21800-514000142=-142.5111511-10-2-2-3-511-2-3-2-2-511-3-51828-5-2-2-2-5-7-2-12-15=-426;-3-72339-3-1018281131-2-2000151-104010=230-2251113201-1900-284=-284;-142;=142.=a2110121123112501211400155511500011515111125414000138000100132115。4=12211130113120所以,幺=3 D，。4力4=方=1.Di 13=方=1,。23万=2,力3=3).1。0 0,所以An=XE+B)n=(XE)n+CXEB+CXE)n-2B2/An00/0nAn-10=0An0+00nX71-1+00AJ000/0 00 00 0C”2 00)9.设A 8为八阶矩阵，且A为对称矩阵,证明8T48也是对称矩阵.证明：即要证（8TA8）T=BtAB.已知AT=A,由公式（4B）t=BtAt知（BtAB）T=（bta）b）t=Bt（BtA）T=btatb=btab.得证btab是对称阵.10.设A 8都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证明：已知AT=A,Bt=B,要证（AB）t=AB AB=BA.i注意对一般的矩阵A B,并不能对（A+B产得到牛顿二项式展开式.比如最简单的情形（A+B）2=A2+2AB+B2,我们就知道其不一定成立.除非A,B可交换.而这里的人E,B当然是可交换的.线性代数（同济四版）习题参考答案23充分性：若A8=BA.又(AB)t=BtAt=BA,所以，（A8）T=AB.即AB是对称矩阵.必要性：（4B）T=AB.又(AB)t=BtAt=BA,所以，A8=8A.11.求下列矩阵的逆矩阵:1 22 51 22 5解由A=,14=1r0,所以A可逆.又Au=5,A2i=2 x(-1),A12=2 x(-1),得故A-1=a4*=A*=5-2-21A-1422=I.建议记住教材P.44例10的结论:a ic1ad cbd-bc a其中 ad cb 0.cos 8 sin。sin。cos 0COS 0 sin。sin 0 cos 0=1,由上述结论得cos 0 sin。sin。cos 0cos 0 sin 0sin 0 cos 02441-21135解:=2,故4T存在.又41=-4,421=2,41=0,412=-13,413=-32,422=6,人23=14,432=-1,43=2.故A-11”囱“=-2_ 132-161370_ 1124第二章矩阵及其运算02,.*0).解：由对角矩阵的性质知-102/12.解下列矩阵方程:X解:11010解:解：X=2212 51 313X=42100001XX21100001X=61321-1433222113141332-2_ 8 3251_ 2-3X011120100101000016360121-11(21-2381111-2-3-1 V1 o 1 0331-203110212140-21011021001000140-2了-1010线性代数（同济四版）习题参考答案2501 0143100100 00 1210-21000011021130410-213.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)X1+2/2+33=1,2X1+22+53=2,3xi+5x2+63=3;解：（1）方程组可表示为122235X16212351力33故力2力3)123-1112235512300所以616263=1,=0,=0.力1 力2 一力3=2,2X1-X2-33=1,3xi+2x2 53=0.解：方程组可表示为111X122132-3-5力2/3)10故X162631231121-3-5所以6263一(2=5,=3.1050314.设=O（k为正整数），证明(E-A)T=E+A+A2+Ak-证明：验证(E-A)(E+A+A2+.+AkT)=E 26第二章矩阵及其运算即可.下略.15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆，并求A-r及(4+2石尸.证明：直接求逆即可.由 A?A 2E=O今 A(A E)=2E今 A 才A E)=E今 AT=g(A E).又由 A2-A-2E=O所以今(A+2E)A-3(A+2E)=4E今(A+2E)(A 3E)=4E今(4+2E)-3E)=E=(A+2E)T=；(3E-4).这类题目的解法就是要“凑”出要求逆的式子.比如本题，要从4A-2E=O中凑出式子A+2E.16.设A为3阶矩阵1求|(24)-解：由-1-5A*.A|(24)T 5A*|=|4(2A)T-5AA*|(|48|=|4|8|)=5AA*(X4)T=MT)；石5 A E1 口 5 口2 2(HT)=12E|=1-2)3 回(kA=knA)8得|(24厂1-54*|=-16.17.证明 因为设矩阵A可逆，证明其伴随矩阵4*：验证A*(AT)*=石即可.也可逆，且(4*)一(一)*=1(八)*.田而4T 一*,即 A*二=/A*(A-i)*=|A|(4*=AA-1)线性代数(同济四版)习题参考答案27二|4|AE=E.3)3)*=|石)(14Tl=AA-r =1)得证矩阵4*可逆,且(4*)T=(A-1)*.18.设九阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：若|4|=0,则|A*|=0;|才|=|4尸.证明：(1)用反证法证明.假设|丰0,则有4*(4*尸=E.由此得A=AA*(A*)T=月)T=O.(A*(A*)T=E)(A(A*)=AE)(=0)这与|A*|*0矛盾，故当A=0时有|4*|=0.由44*=|4|E取行列式得到：AA=AE=An若|4|#0 则I=141nT.若14=o由 知|4*|=o此时命题也成立.故有|4*|=解：由A8=A+28得(A 2E)8=A.-2113 A01 i0 3 3、-12 31 1 0)19.设 A=0113123 03),48=A+28,求 8.故B=(A 2石尸4=312011312303/1 0 120.设 A=0 2 0 1 0 1解：由AB+E=A2+B.求 8.A8+E=3+8 AB-B=A2-E一(A E)8=(A E)(A+E),又0A-E=010 11 0=-10,0 028第二章矩阵及其运算知A-E可逆.所以210B=A E=03021021.设 A=diag(l,-2,1),A*8A=2BA-8E.求 B.解：由A=diag(l,-2,1)知A可逆，且|4|=一2.由A*BA=2BA-8E=A*8=2B-8A-i(上式两边右乘 A-1)=AB=2AB-8E(上式两边左乘 A)28=2AB-8E(|A|=-2)-(A+E)8=4 耳又由公式|4*|=又计算得|4*|=8,所以所以(A+E)=diag(2,-1,2),/X 1 1(A+E)=diag(-1,万,）8=4(A+E)t=di A.4=i.故30.求下列矩阵的逆矩阵:/5 2 0 0 0 0 5 2/解：由分块对角阵的性质知1121021200310004解：记A=1102所以112102120031/5 22 1,8=A-10004-1-152218531123204,C=2 0-1 11-221A-1-BCA1-2 52-3-5 8/12.又7OB1124410324-12-1230124-5008-20006第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重要题型有两个:解矩阵方程的新方法，习题4,5例题见教材P.65例3.方程组解的讨论，习题15,16,17.例题见教材P.76例12.1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:12300023411-3000234-3一4-7131解:/132 3 1-3-2-3353444-2-23101/213232-2-31087-3-234-7一403/1 02-1 1/2-2rl-/100021-1)3r2+(1)-f 100 20 11-32 0313 04-3)/3-3rl10-20 Jr3+(-2)b0 10A02-1/1 02-1 3-r233_001-3 一-0 01-31003 J0 001)(102-1/1 00 0 丁2+3r3rI-2r2_-0010-*_*0 01 0b00)rl+r3、0 00 1(02-2；i/0 2-31r2X2 一3rl03-4L 3.-0 013b4-7,-11r3 2rl0 0-1-3)，02 010/0 10 5rf3+r2ri 4-2-_ _00 13,-一0 0i 1 3rl+3r21。0 0/0 0i 0 0/113-43(1-13433-35-41r2-3ri Q Q48_82-23-2:0r3-2rl 0 0-366丁4 3i 3-34-2:-1/0 0-510-10/113-4：3、/1-1 02-3 r2+(-4)001-2：2发1 3r200 1-22r3-(-3)001-2：21“3-r200 000r4+(5)1。4-r2 001-212)00 00o)(213 232-2-31087-3-234-7一403安1 2安23-3r2厂4 2r2010012_8-710871-2981 41211/3334第三章矩阵的初等变换与线性方程组2.设-1 1 10 2 00 0 10 0 10 2 01-1 00 0 10 0 0-2 34。/0 1 0 1 0 0 A0 0 1,1 0 1 0 1 00 0 1,147258解：可以按照求矩阵方程的一般方法求解.3 6，求49)A-(0 11 0 0 0(1 24 581 73 69)20-2111014000/(1 00 1、0 0由，0 1 0；1 2 3 A(10 0；4 5 6 1 0 04 5 6丁1 r2-0 101 2 3 0 0 1：7 8 9)【。7 8 9,/1 0 1/1 0 0 0 1 00 1 00 0 1c3-C10 0 14 5 6-一4 5 21 2 31 2 2 7 8 9 J 7 8 2 J5 2 2 24A=11 7 8 2/或者有下面的解法.G 2 3 记8=4 5 6.注意到A两边乘以的是初等矩阵，可知矩阵8是把A进行初等变换片一万V 8 9/和C3+Q得到的.所以要得到A,需要将B进行初等变换C3-C1和ri _ r2.即，1 2B=4 5i 7 82 2=A2)还有一种看法是把0 1 0 1 0 0 和0 0 1,1 0 10 1 00 0 1,010变为单位阵，这相当于在 1 0 0、0 0 1/1 0 1A 0 1 0 0 0 1Edited by Foxit ReaderCopyright(C)by Foxit Corporation,2005-2010For Evaluation Only.线性代数(同济四版)习题参考答案 35两边分别左乘、右乘了相应的初等矩阵,那么矩阵1 2 3 4 5 6 也要进行相应的行变换、列变换，即:7 8 9 y,010)，1 0 1),12 3、1 0 0A0 1 0=4 5 6V 0 J1 0 JV 8 9/(10 0)，1 0 1(4 5 6、0 1 0A0 1 0=1 2 3V 0 Jb 0 JV 8 9J(10 0)(10 0、(4 5 2、0 1 0A0 1 0=1 2 2V 0 Jb dV 8 2J/4 52（两边同时ri-r2）（两边同时。3 ci）=A=1 2 20 21-20-1 2 1-3-2 0 1 2 11I2 0；|0-10；1 10 2 1-1 01；1 0 0 4；-1 1 02 1 1 0 1 j0 0；1 2-10；1 1。_9 2-2I)00；7623-3 21011201 1 1_ 101,2)(7623_3、即逆矩阵为11210)/3-20-1；10 0 0 0221 01 0 01-2-3-2 00 1 0。121 1 0 10 0 1/1-2-3-2 i 00 1 0r*3 3口 0221 01 0 00495 10-3 0 0121 00 0 1/1-2-3-2；0010rl 302210100_-_3-20-1 1 1000 0121 10001/1-2-3-2；0010、1r2-0 1210001、-0 49510-300 2211 0100)36第三章矩阵的初等变换与线性方程组1/1-2-3-2 i 0 0 1 0/1-2-3-2 i 0 0 1 0 丁3-4rl0 1 2 1 0 0 0 1尸4+2度301 2 1 0 0 0 1-4.2rl0 0 1 110-3-4-00 1 110-3-4I 0 0-2-1 0 1 0-2 JV 00 0 1 1 2 1-6-10)/1-2-3 0；4 2-11-20/1-2 0 0 i 1-1-2-2r3-r40 1 2 0-2-1 6 11r2-2r30 1 0 0 0 1 0-1干2 度40 0 1 0 -1-1 36/-ri+3tq0 0 1 0 -1-1 361rl+2r411 0 0 0 1；2 1-6-10)0 0 0 2 1-6-10-2一411+2r2000010000100001011111-22103616-10故逆矩阵为0-11-12103-64.设A=421231设A=解：所以-4 16-10/2 1,B=12-32，求X使AX=B;13102-32-1313-4,B=122-331，求 X 使 XA=B.(A 8)=度2 2rlAB02-3423100100121021010213-2 12-1 1 3-3 211230211 1：1 1-223-2 21-1 -23；62 1 91 22；9-1 1-12-265-254X=ArB1 341 2 32-3 1100012123-296-256134口-r372+2r3度3 X(一1)10-15122-34100010001 10；T51 122-34233 21-30 2-313-40-71102-312)3-41-512线性代数（同济四版）习题参考答案37(100(100312310C2+4c3 _-41-3c3 2c2 _ _-4113011320 13-4/1 0 0 3 1 00 0-11 1 1 17 7-4/(1 0 0 1 00 12-1-1-4 7 4/所以本题解法与教材P.65例3相同，是解矩阵方程的一个更要方注，也是一个必须掌握的题型.在解题中有一处细节要注意：不要在解题的开始就写上.已知AX=所以X=A rB.因为A是否可逆，此时还是未知的.严格地讲就不能出现该写法./1-1 05.设 A=0 1-11 0 1解：由AX=2X+A得,AX=2X+4,求 X.AX-2X=A(A-2E)X=A又1(A-2E,4)=01 T(-1r3+r2“_ _ _uk 0/-Ir2+r3 _ _/uk 0f-1+2.0 0-1 0；T T；0-1-1 0；T T；0-2 1-1 0；1-1 0；10 1 1 1I0 0；01 0；-10 1 1 1I1-10 1-1 01-10 1-2 2100-1001-11-110-1 0)(-1-102 X(-1)0-1_-10 1 00 0 10 0；01 0；-10 1 1 1I0 1110-11011-1 1-2110110、-11;。111 11 110)1-1 0-1 0 1110,1-1 0 1一 1 0 所以X=(A-2E)-1A=0 1-1-1 0 11-1 0,38第三章矩阵的初等变换与线性方程组6.在秩是r的矩阵中，有没有等于。的r-1阶子式？有没有等于0的r阶子式？解：由矩阵秩的定义，在秩是r的矩阵中，至少存在一个不等于0的r阶子式，而且所有阶数高于r的子式全等于0.由此可知，在秩是r的矩阵中，可能存在等于0的r-1阶子式(但是不能全等于0),也可能存在等于0的r阶子式./1 0 0 0 例如，A=0100 A)=3,其中存在等于0的3阶子式和2阶子式.0 0 10 0 0 0 0/7.从矩阵A中划去一行得到矩阵8,问A,B的秩的关系怎样？解：不妨把题设改为：从矩阵A中划去二列得到矩阵B.记划去的那一列为则A(8,q).从而，R=R a).由矩阵秩的性质5,a)W H(8)+1,所以，R(B)(H(4)W R(B)+1.即,R等于R(B)或者R+1.8.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解：符合条件的矩阵有很多，比如(1 0 10 0、(1 0 1 0 0 1-10 0 01-10000 0 0 1 0,或者1 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 这两个矩阵容易分别变换为行阶梯型、列阶梯型矩阵，非零行有4行.9.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：/2 1 8 3 7 3 1 0 2(3 2-1 3-1 12-3 0 7-5(1)1-1 2-1；2-13 1-3；3-258 0i 1 3-4 4)1 7 05-18 /1 0 3 2 0/解：(1)(3 10 2)(1-1 2-11-12-1口 1r2-一31 0 2V 34 4 jV3-4 4)(1-12 1(1-1 2-13-rl丁3-r2-0 4-6 5_ _04-6 5度2 3口 0 4-6 5 j1。0 0 0)所以矩阵秩为2;线性代数(同济四版)习题参考答案39二阶子式3111=-4,为一个最高阶非零子式.2 271笠3-7rl10032721-3-213一441131-3L-r2-/2131-3051_8/705183441/13-4-4-7-211133927-5-1500-70110901-50所以矩阵秩为2;二阶子式3221=-7,为一个最高阶非零子式.r2-3 3+2所以矩阵秩为3;三阶子式053223100111-3-201110805337827-500丁3-r42-2131132/3-50002214-3-208023476212-500r3 r4000111102-2-231112/00003/10320rl+r30000-5 丁401-210-2-301-210-/2 6_ _/30000-510320/00003782-50010.设A 8都是m100001003-20021000010=55382x n矩阵，证明70 r0,为一个最高阶非零子式.3、-50。/A8的充分必要条件是E(4)=R(B).证明：必要性即教材P.68定理3.只需证明充分性.设R(4)=r,则A的标准型矩阵为F=Er OO O,即 O O同样，B的标准型矩阵也为F=Er OO O,即40第三章矩阵的初等变换与线性方程组由矩阵等价的传递性,得AB.11.设A-/1-23k 12k-3k-23 J问k为何值,可使A=1；解：(2)R(A)=2；(3)R(A)=3.11-22k3k-3。2 2-一11-1 kk-1k-23 JC3.3