第九编 解析几何 两条直线的位置关系-教学课件.pdf

9.2两条直线的位置关系 基础知识 自主学习要点梳理1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线人口其斜率分别为 瓦,屋，则有乙k52 特别地,当直线小 为的斜率都不存在时，与丹平行.(2)两条直线垂直如果两条直线，1，2斜率存在,设为左I，&，WJ/1Z2 O 瓦府二T，当一条直线斜率为零，另一条直线斜 率不存在时，两直线垂直.2.两直线相交交点：直线乙:4#8/+。1=0和b：Ax+与y+G=。的公共点的坐标与方程组 的解对应.Ax+By+C 0+B2y+02=0相交。方程组有唯一解,交点坐标就是方程组 的解；平行O方程组一无解;重合。方程组有无数个解.3.三种距离公式（1）点A（xP为）、B（%2，）2）间的距离：AB|二（%2 一阳）？+（丁2-Pl）2.（2）点P（曲，为）到直线A Ax+By+C=O的距离:4%0+By。+C|d=J/+/.（3）两平行直线=：Ax+5y+G=0与小 Ax+By+C2=0（C W。2）间的距禺为d=J4。+B?.基础自测1.（2008 全国II）原点到直线%+2厂5=0的距离为（D）A.1 B.V3 C.2 D.V5解析d=逐.2.（2008 福建）“方1”是“直线广广0和直线厂分二0互相垂直”的（C）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 当二1时,直线广广0与直线广广0垂直成立;当直线x+y=0与直线%-分二0垂直时，折1.所以“。二1”是“直线广广0与直线厂。厂0互相 垂直”的充要条件.3.一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个 端点是A(2,1),则它的另一个端点5的坐标是A.（-3,1）或（7,1）C.（-3,1）或（5,1）解析设5（羽1）,得（x-2）2乏5,.%=7或%二一3.（A）B.（2,-3）或（2,7）D.（2,-3）或（2,5）则由瓜*二5,.B点坐标为（7,1）或（-3,1）.4.已知直线/的倾斜角为,直线乙经过点 4A(3,2)、B(m-1),且乙与/垂直，直 线/2：2/外+1=0与直线L平行，贝b+b等于(B)A.-4 B.-2 C.0 D.2 解析/的斜率为T,贝明的斜率为1,j _ 2 (1)7 八3 4由乙/2,_2=1 炉2,所以。+。二一2.b，5.已知A的倾斜角为45,人经过点。（2,-1）,Q（3,根），若乙l/2，则实数小二一6.解析由已知得乙的斜率瓦二1,人的斜率后二，1：ixn2,m+11-5 k k?1=15.m=6.题型分类深度剖析题型一两直线的位置关系【例1求经过直线L:3/2厂1二0和:5x+2y+l=0的 交点，且垂直于直线/3：3厂5”6二0的直线/的方程.思维启迪 可先求出4与4的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解.解方法一先解方程组3x+2y 1=05x+2y+l=0得小，2的交点(T，2),3 5再由4的斜率;求出/的斜率为-1，于是由直线的点斜式方程求出/:y-2=-(x+1),即5x+3yT=0.方法二由于/，的故/是直线系5x+3y+C=0中的一条，而/过小，2的交点I，2),故5X(-1)+3X2+00,由此求出。二T,故/的方程为5/3厂1二0.方法三 由于/过/1、用的交点，故/是直线系3x+2yT+X(5x+2y+l)=0中的一条，将其整理，得(3+52)%+(2+2 2)y+(-1+2)=0.其斜率一2且二_士 解得;L=1,2+22 3 5代入直线系方程即得/的方程为5x+3厂1=0.探究提高运用直线系方程，有时会给解题带来 方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax+&+C=O平行的直线系方程是：Ax+By+m=(m R JLm w C)(2)与直线Ax+5y+C=0垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=(m R)(3)过直线。：4%+昂丁+。1=0与人2%+32(。2=的交点的直线系方程为4述+8/+。1+2(人2%+52丁+。2)=0(2 R),但不包括知能迁移1过点户(3,0)作一直线/,使它被两 直线乙:2%一厂2=0和：x+y+3=0所截的线段AB以P为 中点，求此直线/的方程.解方法一当/_Lx轴时，方程为产3,此时A(3,4),B(3,-6).线段AB的中点为(3,-1)不合题意，当/不垂直于无轴时，设直线/的方程为 广女(3)，将此方程分别与/,/2的方程联立，将此方程分别与乙,/2的方程联立，zgf 尸左(x-3)y=k(x-3),2x-y-2=0 x+y+3=0.解之，得/二3左一2和心二匹二jk-2 k+VP(3,0)是线段AB的中点，,乙+元3=6,即迎二2+迎二3=6解得右8.k-2 k+故所求的直线/为k8(3),即8厂24=0.方法二 设乙上的点A的坐标为（州,“），VP（3,0）是线段AB的中点，则上的点B的坐标为（6-修,-月）,12项-乃-2=0,（6-修）+（-为）+3=0.解这个方程组，得11X1=、，16点A的坐标为门1 16、U5TJ由两点式可得/的方程为8冗-厂24二0.题型二距离公式的应用【例2】已知点P(2,-1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线/的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线/的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.思维启迪|设出直线方程|由点到直线距离求参数判断何时取得最大值并求之解（1）过P点的直线/与原点距离为2,而P点坐标 为（2,-1）,可见，过P（2,-1）且垂直于x轴 的直线满足条件.此时7的斜率不存在，其方程为广2.若斜率存在，设/的方程为y+l4（2）,即近-y-2k-1=0.-2k-l a由已知，得-=2,解得壮上.在2+1 4此时/的方程为3x-4y-10=0.综上，可得直线/的方程为产2或3x-4yT0=0.(2)作图可得过P点与原点。距离最大的直线是 过尸点且与尸0垂直的直线，由/_LOP,得用=T，所以方=一1=2.由直线方程的点斜式得y+2(x-2);即2厂厂5=0.即直线2厂厂5=0是过P点且与原点。距离最大的直线，最大距离为tJ=V5.V5(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超 过百的直线，因此不存在过P点且到原点距离 为6的直线.探究提高(1)注意讨论斜率不存在的情况.(2)数形结合是解决解析几何问题特别要注意 的一种思想方法.知能迁移2已知正方形的中心为直线2xy+2=0和*+1=0的交点，正方形一边 所在直线的方程为x+3y5=0,求其他三 边所在直线的方程.j、:-y+2=0,-1,解由+：I n 解得 nx+y+l=0 y=Q.即得正方形的中心为（-1,0）.设所求正方形相邻两边的方程为3x-y+p=0和x+3y+q=0.:中心（-1,0）到两边距离相等，1 _ 3+川_|_ 1+切_ 6 =a/10=而解得p=-3或p=9，q=-5或q=7，二所求三边的方程为3%_3=0，3x-y+9=0,x+3j+7=0.题型三对称问题【例3】（12分）求直线广2x+3关于直线/:y=x+l对 称的直线人的方程.思维启迪 转化为点关于直线的对称，利用方程组求解.解题示范解方法一由厂=2x+3y=x-l知直线乙与/的交点坐标为（-2,-1）,2分设直线，2的方程为y+14 G+2）,艮口依一y+2左一1二0.3分在直线/上任取一点（1,2）,由题设知点（1,2）到直线小乙的距离相等，5分由点到直线的距离公式得k-2+2k-_|2-2+3|8分Vl*2+2 不 22+（-If解得壮1（右2舍去），10分2直线人的方程为厂2厂0.12分方法二设所求直线上一点P（羽y）,则在直线4上必存在一点？（曲,）与点P关于 直线/对称.由题设：直线月修与直线/垂直，且线段P片的中点pSx+却在直线/上.6分I 2 2 J,.卜0-1I,y+yo=x+xo 门2-2变形得0=yT0=x+l代入直线A：广2x+3,得%+1=2X（厂1）+3,整理得2广0.所以所求直线方程为2广0.8分10分12分探究提高 对称问题是解析几何中的一个重要题 型，是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对 称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决.求 点P（的,为）关于直线/：Ax+3y+C=0的对称点。（巧,力）的坐标,可利用加口及线段PQ被/平分这两个条件建立方程组求解,本题方法二就 是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的 思想方法解题，这是解这类问题的一个通法.知能迁移3光线沿直线乙:厂2尹5二0射入，遇直线:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方法一由JC 方程.解得。y=2.反射点的坐标为（-1,2）.x 2y+5=0,3x 2 y+7-0.又取直线2尹5二0上一点P（-5,0）,设P关于直线/的对称点P（网,%）,由PP可 知，峪3-Xo+5,而尸P的中点。的坐标为（包二独I 2 2）Q点在/上，A3 4一5,2 四+7=0.2 2四=2 f 一由 V 沟+5 3 得03、弓（工0-5）-刃+7=0.%=-I17 13 32 13,根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线 的方程为292尹33二0.方法二设直线X-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线/的对称点为。(羽y),则止=-；xq-x 3又pp的中点o(x+的+功在/上，/2，2 J.3x-2x+7=0,2 2Ao-y二 2 卜 xq-x 33xa_(y+y0)+7=().N可得P点的坐标为5x+12y 42 12x+Sy+28代入方程%-2y+5=0中，化简得29%-2丁+33=0,所以所求反射光线所在的直线方程为29厂2/33=0.思想方法感悟提高 方法与技巧1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对 于斜率都存在且不重合的两条直线小k，hl2=女1二左2；O左1%2=7若有一条直线的斜率不 存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别 注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点 的对称,利用坐标转移法.失误与防范在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线 的斜率是否存在.两条直线都有斜率，可根据判 定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑.定时检测一、选择题1.若点(5,b)在两条平行直线在-8尹1二0与 3b4y+5=0之间，则整数Z?的值为(C)A.5 B.-5 C.4 D.-4解析 把户5代入68y+l=0得广以，把产5代入34+5=0得广5,11 Z?22 2解析由即直线过点 j=x y=-(T,-1).又直线广2x+l上一点（0,1）关于直线yr对称 的点（1,0）在所求直线上，所求直线方程为上二，二士1,即y=1-1-0-1-1 2 25.已知直线/过点?4)且与点A(-2,2),5(4,-2)等距离,则直线/的方程为(D)A.2x+3y-18=0B.2x_y_2=0C.2y+18=0或%+2y+2=0D.2%+3厂18=0或2厂厂2二0解析设所求直线方程为厂44(f3),即日-丁+4-3左=0,由已知，得2 左一2+4 34_|4 后+2+4 3左|,1+M Ji+M 2:k=2或k=一-.所求直线/的方程为2厂厂2二0或2/3厂18二0.6.已知直线/1，2的方程分别为 x+qy+/?=O,x+cy+d=0,其图象如图所示，则有A.ac0 B.acC.bdd解析直线方程化为7 _ 1 _b 7 1（：y x z2：y-a a c由图象知，-1V-c0,b 0.dL 一.C-o-,a c二、填空题7.过点A(2,-3),且与向量小二(4,-3)垂直的直线方程是4厂3厂17二0.解析 与向量平行的直线斜率为-乡，则与其a 4垂直的直线斜率为.直线方程为3y+3=(x-2),即 4厂3厂17二0.8.已知直线/1:%+y+6=0和，2：（a2）x+3y+2=0,贝!j乙乙的充要条件是所T解析Jlx3=x2a。6（2-2）,得a=-1.9.从点（2,3）射出的光线沿与直线厂2广0平行的 直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线 方程为犬+2厂4=0.解析 由题意得，射出的光线方程为厂3二%-2）,即厂2y+4=0,与y轴交点为（0,2）,又（2,3）关于y轴对称点为（-2,3）,反射光线所在直线过（0,2）,故方程为 y-2=-%,即%+2y-4=0.-2(-2,3),三、解答题10.已知直线/经过点尸(3,1),且被两条平行直线，i：*+了+1=0和/2：x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线/的方程.解方法一若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为x=3,此时与小，2的交点分别为A1(3,-4)和9(3,-9),截得的线段Af B的长为Bf|=|-4+9|=5,符合题意.若直线/的斜率存在，则设直线/的方程为y=k(x-3)+1.解方程组y=k(x-3)+1x+y+1=0得力3/1-2M+l4/1-14+1解方程组=k(x-3)+x+6=0得上9/1-1A+J由 14sl=5,4A-1 9k-1.A+1+A+1J解之得4=0,即所求的直线方程为y=L综上可知，所求直线/的方程为x=3或y=1.方法二由题意，直线小，2之间的距离为且直线/被平行直线小，2所截得的线段46的长 为5,设直线/与直线/i的夹角为仇5&/2则0口夕二一-=,)故夕=45。.由直线A：x+y+l=O的倾斜角为135。，知直线/的倾斜角为0。或90.又由直线/过点尸(3,1),故直线/的方程为=3或=1.11.已知直线/的方程为3x+4厂12=0,求满足下列条 件的直线厂的方程.(1)lf与/平行且过点(-1,3)；(2)r与/垂直且/与两坐标轴围成的三角形面积为4；(3)r是/绕原点旋转180。而得到的直线.解(1)直线/:3x+4厂 12=0,k-,3 4又/,：.kv 二k-.直线：广-(%+1)+3,4即 3冗+4y-9=0.4（2）./,：.kv=-3 4设/与x轴截距为4则厂与y轴截距为-大，由题意可知，5=-|b|-b=4,:.b;土 灰.2 3直线/:y=或y=-V）.（3）/，是/绕原点旋转180。而得到的直线，：.r与/关于原点对称.任取点（沏,无）在/上，则在上对称点为（x,y）.x-Xq 9 y-y（）,则-3厂4厂12二0.：.lf 为3x+4y+12=0.12.已知两直线/1:oxZ?y+4=0,，2：(l)x+y+8=0.求分别满足下列条件的凡8的值.(1)直线1过点(-3,-1),并且直线A与/2垂直;(2)直线/与直线，2平行,并且坐标原点到/1，2的 距离相等.解(1)V/il/o,：.a(a-1)+Qb)1=0,即/。一。二0.又点(-3,-1)在乙上，-3。+。+4=0 由得折2,炉2.Z/2,A-=1-6Z,：.b=41/b 1-a故/i和。的方程可分别表示为：(a-1)x+y+4(a-1)=o,(T)x+y+=0,a l-a又原点到乙与，2的距离相等，/.4=二2或二a 1-a.。二2,/7=-2或,b-2.323返回