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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三讲 直线与方程,第1页,一、学习目标,1.,掌握直线倾斜角概念、斜率公式；,掌握直线方程几个形式及其相互转化，以及直线方程知识灵活利用；,掌握两直线位置关系判定，点到直线距离公式及其公式利用；,2.,充分了解解析思想（坐标法），加强数形结合思想培养和应用意识培养；,3.,主动主动，认真研究，以极大热情投入学习中去。,第2页,二、知识梳理,（1）直线倾斜角,定义：x轴正向与直线向上方向之间所成角叫直线倾斜角。尤其地，当直线与x轴平行或重合时,我们要求它倾斜角为0度。所以，倾斜角取值范围是,.,（2）直线斜率,定义：倾斜角不是90直线，它倾斜角正切叫做这条直线斜率。直线斜率惯用k表示。即 。斜率反应直线与轴倾斜程度。,0180,第3页,当 时，；当 时，；当 时，,。,过两点直线斜率公式：,注意下面四点：,(1)当 时，公式右边无意义，直线斜率不存在，倾斜角为90；,(2)k与P1、P2次序无关；,(3)以后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点坐标直接求得；,(4)求直线倾斜角可由直线上两点坐标先求斜率得到。,不存在,第4页,（3）直线方程,点斜式：，直线斜率k，且过点,注意：当直线斜率为0时，k=0，直线方程是y=y,1,。当直线斜率为90时，直线斜率不存在，它方程不能用点斜式表示但因 上每一点横坐标都等于x,1,，所以它方程是x=x,1,。,斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上截距为b,第5页,两点式：（）,截矩式：,其中直线 与 轴交于点 ,与轴交于点 。,普通式：,（A，B不全为0）,注意：,各式适用范围；特殊方程，如：,平行于x轴直线：（b为常数）；,平行于y轴直线：（a为常数）；,第6页,（5）直线系方程：即含有某一共同性质直线,平行直线系,平行于已知直线 （是不全,为0常数）直线系：（C为常数）,过定点直线系,（）斜率为k直线系：，直线过定点 ；,（）过两条直线 ，交点直线系方程为,（为参数），其中直线 不在直线系中。,第7页,（6）两直线平行与垂直,当 ，时，,；,注意：利用斜率判断直线平行与垂直时，要注意斜率存在是否。,（7）两条直线交点,，相交,交点坐标即方程组 一组解。,第8页,方程组无解 ；方程组有没有数解 重合,（8）两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中两个点，则,（9）点到直线距离公式：,（10）两平行直线距离公式,在任一直线上任取一点，再转化为点到直线距离进行求解。,第9页,三、经典例题,例1.过点A(5，4)作一直线 ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成三角形面积为5，求直线 方程,【解析】由题意知，直线 斜率存在,设直线为y4k(x5)，交x轴于点 ，交,y,轴于点,(0,5k4),，解得,所以所求直线l方程为2x5y100，或8x5y200.,【方法规律】求直线方程，可先设方程，然后依据条件求系数。,第10页,变式练习1过点P(1,0)，Q(0,2)分别作两条相互平行直线，使它们在x轴上截距之差绝对值为1，求这两条直线方程,【解析】,(1),当两条直线斜率不存在时，两条直线方程分别为,x,1,，,x,0,，它们在,x,轴上截距之差绝对值为,1,，满足题意；,(2),当直线斜率存在时，设其斜率为,k,，,则两条直线方程分别为,y,k,(,x,1),，,y,kx,2.,第11页,令,y,0,，分别得,x,1,，,x,2/,k,.,由题意得,，即,k,1.,则直线方程为,y,x,1,，,y,x,2,，,即,x,y,1,0,，,x,y,2,0.,综上可知，所求直线方程为,x,1,，,x,0,，,或,x,y,1,0,，,x,y,2,0.,【答案】,x,1,，,x,0,，或,x,y,1,0,，,x,y,2,0.,第12页,例,2.,已知直线,l,1,：,x,my,6,0,，,l,2,：,(,m,2),x,3,y,2,m,0,，,求,m,值，使得,：,(1),l,1,l,2,；,(2),l,1,l,2,.,【解析】法一,:,当,m,0,或,2,时，两直线既不平行，也不垂直；当,m,0,且,m,2,时,，,直线,l,1,，,l,2,斜率分为,：,.,(1),若,l,1,l,2,，,则,，,解得,.,(2),若,l,1,l,2,，,则由,，,得,m,1,或,m,3.,又当,m,3,时,，,l,1,与,l,2,重合,，,故,m,3,舍去,故,l,1,l,2,时,，,m,1.,第13页,法二,(1),l,1,l,2,，,m,2,3,m,0,，,.,(2),l,1,l,2,，,3,m,(,m,2),0,且,2,m,6(,m,2),，故,m,1.,【方法规律】已知两直线方程中都含有参数，求不一样位置关系时参数取值，能够利用平行,(,或垂直,),条件列方程求解,第14页,变式练习,2,已知点,A,(2,2),和直线,l,：,3,x,4,y,20,0.,(1),求过点,A,，,且和直线,l,平行直线方程,；,(2),求过点,A,，,且和直线,l,垂直直线方程,【答案】,(1),3,x,4,y,14,0,(2),4,x,3,y,2,0,【解析】,(1),因为所求直线与,l,：,3,x,4,y,20,0,平行，所以设所求直线方程为,3,x,4,y,m,0.,又因为所求直线过点,A,(2,2),，,所以,3,2,4,2,m,0,，,所以,m,14,，,第15页,所以所求直线方程为,3,x,4,y,14,0.,(2),因为所求直线与直线,l,：,3,x,4,y,20,0,垂直，所以设所求直线方程为,4,x,3,y,n,0.,又因为所求直线过点,A,(2,2),，,所以,4,2,3,2,n,0,，,所以,n,2,，,所以所求直线方程为,4,x,3,y,2,0.,第16页,例,3.,一条光线经过,P,(2,3),点，射在直线,l,：,x,y,1,0,上，反射后穿过点,Q,(1,1),(1),求入射光线方程；,(2),求这条光线从,P,到,Q,长度,.,【解析】,(1),设点,Q,(,x,，,y,),为,Q,关于直线,l,对称点且,QQ,交,l,于,M,点,k,l,1,，,k,QQ,1.,QQ,所在直线方程为,y,1,1(,x,1),，,即,x,y,0.,由,解得,l,与,QQ,交点,M,坐标,.,第17页,又,M,为,QQ,中点,，,由此得 ，,解之得,Q,点坐标为,(,2,，,2),设入射光线与,l,交点为,N,，,则,P,、,N,、,Q,共线,又,P,(2,3),，,Q,(,2,，,2),，得入射光线方程为,，即5x4y20.,第18页,(2),l,是,QQ,垂直平分线，从而,|,NQ,|,|,NQ,|,，,|,PN,|,|,NQ,|,|,PN,|,|,NQ,|,|,PQ,|,.,即这条光线从,P,到,Q,长度是,.,【方法规律】利用入射线与反射线性质，转化为点关于直线,l,对称问题，即求,Q,点关于直线,l,对称点,第19页,变式练习,3,求直线,l,1,：,2,x,y,4,0,关于直线,l,：,3,x,4,y,1,0,对称直线,l,2,方程,.,【答案】,2,x,11,y,16,0.,【解析】解方程组 ，,得,所以直线,l,1,与,l,相交,，,且交点为,E,(3,，,2),，,E,也在直线,l,2,上，在直线,l,1,：,2,x,y,4,0,上取点,A,(2,0),，,设点,A,关于直线,l,对称点为,B,(,x,0,，,y,0,),，,第20页,于是有 ，解得 ，,即,.,故由两点式得直线,l,2,方程为,2,x,11,y,16,0.,第21页,例,4.,点,P,(,2,，,1),到直线,l,：,(1,3,),x,(1,),y,2,5,0,距离为,d,，求,d,最大值,【解析】直线,l,方程可化为,x,y,2,(3,x,y,5),0,，,由 ，解得 ，,直线,l,过定点,.,如图,，,d,|,PA,|,；,当,PA,l,时,，,d,取最大值,|,PA,|.,，,d,最大值为,.,第22页,变式练习,4,直线,l,1,过点,P,(,1,2),，,斜率为,，,把,l,1,绕点,P,按顺时针方向旋转,30,得直线,l,2,，,求直线,l,1,和,l,2,方程,【解析】,设直线,l,1,斜率为,k,，,倾斜角为,.,由题意，知直线,l,1,方程是,，,即,x,3,y,6,0.,k,1,tan,1,，,l,1,倾斜角,1,150.,如图,，,l,1,绕点,P,按顺时针方向旋转,30,，,得到直线,l,2,倾斜角,2,150,30,120,，,直线,l,2,斜率,k,2,tan 120,，,l,2,方程为,，,即,.,第23页,四、课堂练习,第24页,2.,已知点,A,(0,2),，,B,(2,0),若点,C,在函数,y,x,2,图象上，则使得,ABC,面积为,2,点,C,个数为,(,),A,4,B,3,C,2,D,1,第25页,第26页,第27页,五、课后练习,第28页,【答案】,C,【解析】当,a,0,时,，,A,，,B,，,C,，,D,均不成立,；,当,a,0,时，只有,C,成立,第29页,4.,直线过点,(,3,2),且在两坐标轴上截距相等，则这直线方程为,。,第30页,5.,已知光线从点,M(-1,0),射出，经直线,x-y-1=0,反射，其反射光线经过点,N(0,1),则入射光线所在直线方程为,。,【答案】,x+3y+1=0,【解析】先求点,N,关于直线,x-y-1=0,对称后,点,N,（,2,，,-1,），,则连接点,N,和,M,即为入射光线所在直线方程，由两点式可得直线方程为,x+3y+1=0,。,第31页,第32页,第33页,第34页,第35页,
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