复变函数课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,参考教材,1.,数学物理方法(第三版),，汪德新 编，科学出版社，2007年4月.,2.,数学物理方法与计算机仿真,，杨华军 编，电子工业出版社，2006年7月.,3.,MATLAB及在电子信息课程中的应用(第3版),，陈怀琛 等 编著,电子工业出版社,2006.,4.,复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版),，李建林 编，西北工业大学出版社,2001年1月.,01744/12,教学方式与要求,方式,板书结合PPT,源于课本稍高于课本,要求,适当做笔记,按质完成作业,复变函数,积分变换,解析函数,(,导数,),复变积分,两者关系,:,级数,留数,Fourier,变换,Laplace,变换,复变函数与积分变换主要内容,第六七章不讲,共9周36课时,复球面,4.4 罗朗级数,2.3,初等函数,指数函数,对数函数,三角函数与反三角函数,双曲函数与反双曲函数,幂函数,小结,2.3.2 对数函数,1.定义,2.性质,(1)多值性,主值支,(2)运算性,(3)解析性,3.举例,函数图像,作业！,2.3.3 三角函数,1.定义,注:,正、余弦函数可以大于1.,2.性质,(1)单值性,(2)周期性,(3)奇偶性,(4)三角公式,(5)解析性,函数图像,反三角函数,定义,如果,sin,w,=z,则称,w,为z的反正弦函数，记为,同样，有,函数图像,均为多值函数.,2.3.4 双曲与反双曲函数,双曲函数与反双曲函数,注：,双曲函数与三角函数的关系为,函数图像,Q:双曲正(余)弦的单值性、,周期性、奇偶性如何？,2.3.5 幂函数,1.定义,2.,3.举例,小结,初等函数是复变函数的主要研究对像.,介绍了常见的基本初等函数，注意与实变初等函数,类比,学习，着重掌握它们之间的,区别.,要求:会计算基本初等函数值.,展望,第三章 复变函数积分.,结论:一般情形下幂函数为多值函数,函数图像,函数图像,互为反函数,指数函数,w=,exp(z)的图像,虚部,MATLAB及在电子信息课程中的应用(第3版),陈怀琛 等 编著,电子工业出版社,2006.,电路,信号与系统,数字信号处理,控制系统,对数函数,w=,Ln(z)的图像,虚部,实部,三角函数,w=,sin(z)的图像,虚部,反三角函数,w=,Arctan(z)的图像,虚部,双曲正弦函数,w=,sh(z)或,w,=sinh(z)的图像,虚部,幂整函数,的图像,虚部,虚部,根式函数,的图像,Fourier&Laplace Transform,Define,Conditions,Properties,线性性质,对称性质,延迟、位移性质,相似性质,Define,Conditions,Properties,线性性质,对称性质(无),延迟、位移性质,相似性质,Cont,卷积定理,乘积定理及,Parseval,定理,微分性质,积分性质,卷积定理,周期函数的像函数,微分性质,积分性质,Def:,Def:,常见函数的Fourier变换,(4).,常见广义,Fourier,变换,抽样函数,常见函数的Laplace变换,Attention,:t-域函数,f(t),的理解应该为t为非负！,t-域,syms t,w;figure(1);,ezplot(sin(t)./t,-50,50);,Fw=fourier(sin(t)./(t),w);,figure(2);,ezplot(Fw,-5,5),Matlab code,W-域,数学物理方程与特殊函数,东南大学数学系(第三版),主要内容,“三类典型方程”,“边界条件”,分离变量法,(有界),行波法与积分变换法,(无界),Green函数法,(有界或无界),B,essel,L,egendre,第七九章不讲 共9周36课时,求解,Sin&Cos,预备知识,1基本概念,偏微分方程,(PDE),:,含有未知多元函数及其偏导的方程，如,其,中:为,多元函数,.,方程的阶,:,未知函数导数的最高阶数；,方程的次数,:,最高阶偏导的幂次；,线性方程,:,未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的,称为,线性方程,，否则就,是非线性的,；,自由项,:,不含未知函数及其导数的项；,齐次方程,:,没有自由项的偏微分方程称为,齐次方程,，,否则称为,非齐次,的；,Cont,方程的解,:,若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为,一个恒等式，则该函数为方程的解；,通解,:,包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的,个数等于方程的阶数；,特解,:,不含任意独立函数的方程的解.,例如：,二阶线性非齐次偏微分方程 的通解为,其中，F与G为两个任意独立的函数.,注意,：,通解所含独立函数的个数偏微分方程的阶数.,一阶非线性非齐次,PDE,二阶线性齐次,PDE,弦的微小横振动,传输线方程,补充1:正交函数系,函数正交,正交函数系,常见的正交函数系,Chap 2 Separate Variations,函数的正交展开,完备正交系,函数广义,Fourier,级数展开,三角函数正交关系,分离变量法解的物理意义,级数解中前四个驻波分量的运动,分离变量法小结,第一步：分离变量.,u(x,t)=X(x)T(t),第二步：求解本征值(固有值)问题.,X(x)+BC ODE,第三步：求解,T(t),满足的常微分方程.,第四步：作特解的线性叠加.,第五步：由初始条件确定系数.(,三角函数的正交性,),为方便记忆:,“定解条件写完整，边界条件齐次化；,五个步骤循序解，特征问题是关键”.,常见边值问题,X,+,X=0,的本征函数小结,常见边值问题对应的本征函数,分离变量法,抛物型方程第三类齐次边界条件,(1-D),椭圆型方程第一类齐次边界条件,(2-D),第二章总结,齐次方程齐次边界：,分离变量法,或,本征函数法,非齐次方程齐次边界：,本征函数法,非齐次边界：,先将边界齐次化后，再用本征函数展开法,数理方程的分类,标准化方法,第三章 行波法与积分变换法总结,实系数型PDE方程的行波解,标准型,一般型,一般强迫振动的定解问题(1),一般强迫振动的定解问题(2),初始条件,齐次,非齐次,达朗贝尔公式,非齐次方程,齐次方程,冲量原理,齐次方程,非齐次方程,达朗贝尔公式,分解,齐次方程+非齐初值,非齐方程+齐次初值,Chap 3.Review(无界),边界条件,齐次,非齐次,分离变量法,非齐次方程,齐次方程,特征函数法,分解,齐次边界+非齐方程,非齐边界+,已知函数,Chap 2.Review(有界),总结,PDE边界条件初始条件定解问题,先看边界，再看初始条件，综合考虑PDE,第四章,Green,函数法,(,以求解,Poisson,方程为例,),Green第二公式,圆域Green函数,Chap 4.Review(Green Function),球域Green函数,球内源点与球外像点共同作用,(Green,函数,),仅球内源点作用,Gamma,函数,补充2,：,哈密尔顿算子,直角坐标系,柱坐标系(),球坐标系(),第一类,Bessel,函数,第二类Bessel函数(Neumann),Legendre多项式,4阶连带Legendre多项式,