高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第三章三角函数三角恒等变换及解三角形学案.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第 1 课时任意角和弧度制及任意角的三角函数 了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义.了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切 能进行角度与弧度的互化.能判断角所在的象限，会判断半角和倍角所在的象限.准确理解任意角的三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号1.(必修 4P10习题 9 改编)小明从家步行到学校需要15 min，则这段时间内钟表的分针走过的角度是 _答案：90解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角又周角为360，所以3606015 90，即分针走过的角度是90.2.(必修 4P10习题 4 改编)若角 的终边与角45的终边相同，则在0，2)内终边与角2的终边相同的角的集合为_(用列举法表示)答案：25，75解析：由题意452k(k Z)，225k(k Z)由 022，即 025k2知25k85，kZ.k 0 或 1.故在 0，2)内终边与角2的终边相同的角的集合为25，75.3.(必修 4P9例 3 改编)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为_答案：6 解析：设扇形的半径为R，则12R22，12R242.而 R21，R1，扇形的周长为 2R R 246.4.已知角 的终边经过点P(8，m 1)，且 sin 35，则 m _答案：5 解析：sin m 182（m 1）235，解得 m 5.5.函数 y lg(2cos x1)的定义域为 _小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案：2k3，2k 3(k Z)解析：2cos x10，cos x12.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x 2k3，2k3(k Z)1.任意角(1)角的概念的推广 按旋转方向不同分为正角、负角、零角 按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角终边与角 相同的角可写成k360(k Z)(3)弧度制 1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|lr，l 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 弧度与角度的换算：360 2 rad；180 rad；1180 rad；1 rad 180度 弧长公式：l|r 扇形面积公式：S扇形12lr 12|r22.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设 P(x，y)是角 终边上任意一点，且|PO|r(r 0)，则有 sin yr，cos xr，tan yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数(2)三角函数在各象限内的正值口诀是：全正、正弦、正切、余弦(3)特殊角的三角函数值角 弧度数sin cos tan 00 0 1 0 306123233小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学45422221 60332123 9021 0/1202332123 续表角 弧度数sin cos tan 1353422221 150561232331800 1 0 27032 1 0/3.三角函数线设角 的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点 P作 PM垂直 x 轴于点 M，则点 M是点 P在 x 轴上的正射影由三角函数的定义知，点 P 的坐标为(cos_ ，sin_)，其中 cos OM，sin MP，单位圆与x 轴的正半轴交于点A，单位圆在A 点的切线与 的终边或其反向延长线相交于点T，则 tan AT 我们把有向线段OM，MP，AT叫做 的余弦线、正弦线、正切线三角函数线 备课札记 ,1象限角及终边相同的角)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学,1)(1)已知 2 017，则与角 终边相同的最小正角为_，最大负角为 _(2)(必修 4P10习题 12 改编)已知角 是第三象限角，试判断：是第几象限角？2是第几象限角？2 的终边在什么位置？(1)答案：143 217解析：可以写成 6360 143的形式，则与 终边相同的角可以写成k360143(k Z)的形式当k 0时，可得与角 终边相同的最小正角为143，当 k 1时，可得最大负角为217.(2)解：是第三象限角，2k 2k 32，kZ.2k22k，kZ.是第四象限角 k 22k34，kZ，2是第二或第四象限角 4k 22 4k 3，kZ，2 的终边在第一或第二象限或y 轴非负半轴上变式训练(必修 4P10习题 5 改编)终边在直线y3x 上的角的集合可表示为_答案：x|x k3，kZ解析：直线 y3x 经过第一象限、第三象限，直线的倾斜角为3，则终边在该直线上的角的集合为 x|x k3，k Z,2三角函数的定义),2)(1)点 P 是始边与 x 轴的正半轴重合、顶点在原点的角 的终边上的一点，若|OP|2，60，则点P的坐标是 _；(2)(2017泰州模拟)已知角 的终边过点P(8m，6sin 30)，且 cos 45，则 m的值为 _答案：(1)(1，3)(2)12解析：(1)设点 P的坐标为(x，y)，由三角函数的定义，得sin 60 y2，cos 60 x2，所以 x2cos 60 1，y2sin 60 3，故点 P的坐标为(1，3)(2)r 64m29，cos 8m64m2945，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 m0，4m264m2 9125，即 m 12.变式训练(2017无锡期末)已知角 的终边与单位圆的交点为P 12，y，则 sin tan _答案：32解析：由 OP214y21，得 y234，y32.当 y32时，sin 32，tan 3，此时 sin tan 32.当 y32时，sin 32，tan 3，此时 sin tan 32.,3三角函数的符号及判定),3)点 A(sin 2 017，cos(2 017)位于第 _象限答案：三解析：因为 2 0175360 217是第三象限角，所以 sin 2 017 0.又 2 0176360 143是第二象限角，所以 cos(2 017)0，所以点 A(sin 2 017，cos(2 017)位于第三象限变式训练下列判断正确的是_(填序号)sin 300 0；cos(305)0；tan223 0；sin 100.答案：解析：300 360 60，则 300是第四象限角；305 360 55，则 305是第一象限角；223 823，则223是第二象限角；因为 31072，所以 10 是第三象限角故 sin 300 0，cos(305)0，tan2230，sin 10 0，正确,4弧长公式与扇形面积公式),4)扇形 AOB的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为 r cm，弧长为l cm，圆心角为，(1)由题意可得2r l 8，12lr 3，解得r 3，l 2或r 1，l 6，lr23或 6.(2)2r l 8，S扇12lr 14l 2r14l 2r2214822 4(cm2)，当且仅当 2r l，即 lr2 时，扇形面积取得最大值，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 r 2，弦长 AB 22sin 1 4sin 1(cm)备选变式（教师专享）已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是_；扇形的圆心角所对的弦长为_cm.答案：2 2sin 1 解析：设此扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则 2rl 4，面积 S12rl 12r(4 2r)r2 2r (r 1)21，故当 r 1 时 S最大，这时l 42r 2 cm.从而 lr21 2.扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm.1.若 tan(45)0，则sin，cos，sin 2，cos 2 中一定为负数的是_答案：cos 2 解析：tan(45)0，k 180 135 k180 45，k 3602702 k360 90，cos 2 0)，扇形所在圆的半径为R.(1)若 90，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C cm(C0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，又 902，R10，则 l 2105(cm)，S弓S扇S三角形12510121022550(cm2)(2)扇形周长C 2Rl(2RR)cm，RC2cm，S扇12 R212C22C221442C22144C216.当且仅当 24，即 2 时，扇形面积有最大值C216 cm2.1.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 若 sin sin，则 与 的终边相同；若 cos 0，则 是第二或第三象限的角其中正确的命题是_(填序号)答案：解析：由于第一象限角370大于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故错；当 时，cos 10，则实数 a 的取值范围是_答案：(2，3 解析：cos 0，sin 0，角 的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上3a 9 0，a 20，2a3.1.(1)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式(2)已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角2.已知角 终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解 的三角函数值3.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式4.利用单位圆解有关三角函数的不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置(2)根据不等式(组)定出角的范围(3)求交集，找单位圆中公共的部分(4)写出角的表达式小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 2 课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)51 52页)会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sin cos tan.理解正弦、余弦、正切的诱导公式2k(k Z)，2 1.已知 sin 14，且 2，则 tan _答案：1515解析：由 sin 14，2，得 cos 154，则 tan sin cos 1515.2.(必修 4P20练习 2 改编)sin(585)的值为 _答案：22解析：sin(585)sin 585 sin(360 225)sin 225sin(180 45)sin 45 22.3.(2017苏北四市摸底)已知 sin52 15，则 cos 的值为 _答案：15解析：sin52 sin2 cos，cos 15.4.(必修 4P23习题 11 改编)已知 tan 2，则2sin cos sin cos _答案：1 解析：因为tan 2，所以2sin cos sin cos 2tan 1tan 122 121 1.5.(必修4P21例4 改编)若sin6 13，则cos3 cos256 _小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案：119解析：sin 6 13，sin2313，cos 3 13.cos256 1sin256 1sin261sin26 11989.cos3 cos256 1389119.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：tan_ sin cos.2.诱导公式组数一二三四五六角2k(k Z)2 2正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限k2(k Z)与 的三角函数关系的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学,1同角三角函数的基本关系式),1)(必修 4P23习题 20 改编)已知2x0，sin x cos x 15.(1)求 sin2xcos2x 的值；(2)求tan x2sin x cos x的值解：由 sin xcos x 15，得 12sin xcos x125，则 2sin xcos x2425.2x0，sin x0，即 sin x cos x0.则 sin x cos x sin2x2sin xcos xcos2x1242575.(1)sin2x cos2x(sin xcos x)(sin xcos x)15 75725.(2)由sin x cos x 15，sin x cos x 75，得sin x35，cos x 45，则 tan x 34.即tan x2sin x cos x346545158.变式训练(2017盐城模拟)已知sin cos 18，且5432，则cos sin 的值为_答案：32解析：5432，cos 0，sin sin，cos sin 0.又(cos sin)212sin cos 121834，cos sin 32.,2)(必修 4P23习题 12(2)改编)化简：(1 sin 1 sin 1sin 1sin)(1cos 1cos 1cos 1cos)解：原 式 （1sin）2cos2（1sin）2cos2（1cos）2sin2（1cos）2sin2 (1sin|cos|1sin|cos|)(1cos|sin|1cos|sin|)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2sin|cos|2cos|sin|4，在第一、三象限时，4，在第二、四象限时.备选变式（教师专享）若 为第二象限角，则cos 1tan2sin 11tan2 _答案：0 解析：原式cos sin2cos2cos2 sin sin2cos2sin2 cos 1|cos|sin 1|sin|.因为 是第二象限角，所以 sin 0，cos 0，所以 cos 1|cos|sin 1|sin|1 10，即原式等于0.,2诱导公式及其运用),3)已知sinx613，则sinx56 sin23x 的值为_答案：59解析：由诱导公式得sin x56 sinx613，sin23x cos2x689，则 sinx56sin23 x 891359.变式训练已知 cos6 a(|a|1)，则cos56 sin23 _答案：0 解析：由题意知，cos56 cos 6cos6 a.sin23 sin26cos6 a，cos56 sin23 0.,3同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用),4)(1)设 tan(5 )m，求sin（3）cos（）sin（）cos（）的值；(2)在 ABC中，若 sin(2 A)2sin(B)，3cos A2cos(B)，求ABC的三个内角解：(1)由 tan(5 )m，得 tan m，sin（3）cos（）sin（）cos（）sin cos sin cos tan 1tan 1m 1m 1.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)由已知得sin A 2sin B，3cos A 2cos B，22得 2cos2A 1，即 cos A 22.()当 cos A 22时，cos B 32.又 A，B是三角形的内角，A4，B6，C(AB)712.()当 cos A 22时，cos B 32.又 A，B是三角形的内角，A34，B56，不合题意综上知，A4，B6，C712.变式训练(1)(2017 江 西 联 考)已 知tan()23，且，2，求cos（）3sin（）cos（）9sin 的值；(2)在ABC中，若 sin(3 A)2sin(B)，cos32A 2cos(B)试判断三角形的形状解：(1)由已知得tan 23，cos（）3sin（）cos（）9sin cos 3sin cos 9sin 1 3tan 19tan 1323 192315.(2)由题设条件，得sin A 2sin B，sin A 2cos B，sin Bcos B，tan B 1.B(0，)，B 4，sin A2221.又 A(0，)，A2，C4.ABC是等腰直角三角形1.已知 cos 31 a，则 sin 239 tan 149 的值是 _答案：1a2解析：sin 239 tan 149 sin(270 31)tan(180 31)(cos 31)(tan 31)sin 31 1a2.2.已知 为锐角，且tan()3 0，则 sin 的值是 _答案：31010小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：(解法 1)由 tan()30，得 tan 3，即sin cos 3，sin 3cos，所以 sin29(1 sin2)，10sin29，sin2910.因为 为锐角，所以 sin 31010.(解法 2)因为 为锐角，且tan()30，所以 tan 3 0 即 tan 3.在如图所示的直角三角形中，令A，BC 3，则AC 1，所以AB 321210，故sin 31031010.3.(2017南通调研)已知sin cos 43，0，4，则sin cos _答案：23解析：sin cos 43，2sin cos 79，(sin cos)212sin cos 29，sin cos 23或23.0，4，sin cos，sin cos 23.4.已知sin24cos 12，则(cos 3)(sin 1)的值为 _答案：4 解析：因为sin24cos 12，所以 sin242cos 2，即 cos2 2cos 30，解得 cos 1 或 cos 3(舍去)由 cos 1 得 sin 0，故(cos 3)(sin 1)4.1.已知 sin(3)2sin2，则 sin cos _答案：25解析：因为 sin(3 )sin()2sin2，所以 sin 2cos，所以 tan 2，所以 sin cos sin cos sin2cos2tan tan2125.2.已知 cos(80)k，那么 tan 100 _答案：1k2k解析：因为cos(80)cos 80 k，所以sin 80 1cos2801k2.所以 tan 100 tan 80 sin 80 cos 80 1 k2k.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学3.(2017盐城调研)若 3sin cos 0，则1cos22sin cos _答案：103解 析：3sin cos 0，且cos 0，tan 13，1cos2 2sin cos cos2 sin2cos22sin cos 1tan212tan 1 132123103.4.(2017南京、盐城模拟)已知 cos512 13，且 0，0，00，222，求 x 的取值范围解：(1)周期 T2，2.f4 cos 24 cos2 sin 32.又222，2k 42x32k4，2k 122x2k712，k 24xk724，k Z，x的取值范围是x k24xk 724，kZ.,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2三角函数的性质)典型示例2已知函数f(x)2sin2x41.(1)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求 f(x)在区间0，2上的最大值和最小值；(3)求 f(x)图象的一条对称轴和一个对称中心，使得它们到y 轴的距离分别最小【思维导图】【规范解答】解：(1)函数 f(x)的最小正周期为T22.令22k 2x42 2k(k Z)，解得38k x8 k(k Z)，所以函数 f(x)的单调递增区间为38k，8 k(k Z)(2)当 x 0，2时，2x44，54.由正弦函数ysin x 在4，54上的图象知，当 2x42，即 x8时，f(x)取最大值21；当 2x454，即 x2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在 0，2上的最大值为21，最小值为0.(3)令 2x42k(k Z)，解得 x8k2(k Z)，所以当 k0 时，直线x8是所有对称轴中最靠近y 轴的令 2x4 k(k Z)，解得 x8k2(k Z)，所以当 k0 时，8，1 是所有对称中心中最靠近y 轴的，所以所求的对称轴为直线x8，对称中心为8，1.【精要点评】对于三角函数f(x)Asin(x)的性质(定义域、单调性、对称性、最值或值域等)问题，通常用换元的方法，令t x，将其转化为函数yAsin t，再进行其性质的研究总结归纳小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解有关三角函数性质的问题，通常需先将函数转化为f(x)Asin(x)的形式，再用研究复合函数的单调性、值域的方法利用正弦函数的图象和性质来处理若0)的形式，再将 x 看成整体，利用正弦函数ysin x的性质进行求解题组练透1.将函数 ysin 2x 的图象向左平移(0)个单位，若所得的图象过点6，32，则 的最小值为 _答案：6解析：易知ysin 2(x)，即y sin(2x 2)图象过点6，32，sin32 32，3232k或32232k，kZ，即 k 或6k，k Z.0，的最小值为6.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2.设函数 ysinx3(0 x)，当且仅当x12时，y 取得最大值，则正数的值为 _答案：2 解析：当 x12时，令 x32，则正数 2.3.函数 f(x)sin2x4在区间0，2上的最小值为_答案：22解析：由已知x 0，2，得 2x4 4，34，所以 sin2x422，1，故函数 f(x)sin2x4在区间0，2上的最小值为22.4.设函数f(x)2sinx3 0，|2的最小正周期为，且满足f(x)f(x)(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)当 x 0，2时，试求y f x6的最值，并写出取得最值时自变量x 的值解：(1)因为 f(x)的最小正周期为，所以 T2，解得 2.又 f(x)f(x)，所以 f(0)0，所以 sin30.又|2，所以 3，所以 2，3，所以 f(x)2sin 2x.则 2x 2k2，2k2(k Z)，解得函数f(x)的单调递增区间为 k4，k4(k Z)(2)当x0，2时，2x 33，23，y fx6 2sin 2x62sin2x3.当 2x32，即 x512时，f(x)取得最大值2；当 2x33，即 x0 时，f(x)取得最小值3.,3根据图象和性质确定函数yAsin(x)的解析式),3)设函数f(x)Asin(x)(A 0，0，2 2，xR)的部分图象如图所示(1)求函数 yf(x)的解析式；(2)当 x2，2时，求 f(x)的取值范围小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解：(1)由图象知，A2.又T45632，0，所以 T22，得 1.所以 f(x)2sin(x)，将点3，2 代入，得3 22k(k Z)，即 62k(k Z)又22，所以 6.所以 f(x)2sinx6.(2)当 x 2，2时，x6 3，23，所以 sinx6 32，1，即 f(x)3，2 变式训练已知函数f(x)2sinx6(0，0)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2.(1)求 f8的值；(2)将函数 yf(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间解：(1)f(x)为偶函数，6k2，kZ，解得 23k，kZ.0 ，23.由题意得222，解得 2.故 f(x)2cos 2x，f82cos 42.(2)将 f(x)的图象向右平移6个单位后，得到f x6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到fx46的图象，所以g(x)f(x46)2cos 2x462cosx23.当 2kx23 2k(k Z)，即 4k23x4k 83(k Z)时，g(x)单调递减因此 g(x)的单调递减区间为4k 23，4k83(k Z)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学,4三角函数的应用),4)(必修 4P42例 2 改编)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5 圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间(1)将点 P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点 P第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1)建立如图所示的直角坐标系，设角 20 是以 Ox为始边，OP0为终边的角OP每秒钟内所转过的角为52606.则 OP在 t(s)内所转过的角为6t.由题意可知水轮逆时针转动，得z4sin6t 2.当 t 0 时，z0，得 sin 12，即 6.故所求函数解析式为z4sin6t 62.(2)令 z4sin6t 626，得 sin6t 61.令6t 62，得 t 4，故点 P第一次到达最高点大约需要4 s.备选变式（教师专享）如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，且 60 s 转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动 角到 OB，设 B点与地面间的距离为h.(1)求 h 与 之间的函数解析式；(2)设从 OA开始转动，经过t s 后到达 OB，求 h 与 t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少解：(1)以圆心 O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学则以 Ox为始边，OB为终边的角为2，故点 B的坐标为4.8cos2，4.8sin2，h 5.6 4.8sin2.(2)点 A在圆上转动的角速度是30 rad/s，故 t s转过的弧度数为30t，h 5.6 4.8sin30t 2，t 0，)到达最高点时，h10.4 m.由 sin30t 21，得30t 22，t 30 s，缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.1.已知函数f(x)2sin(x)0，|2的最小正周期为，且它的图象过点 12，2，则 的值为 _答案：12解析：f(x)2sin(x)的最小正周期为，则 2，所以 f(x)2sin(2x )，它的图象过点12，2，则 sin622|2，故 12.2.函数 f(x)2sin(x)的部分图象如图所示若A，B两点之间的距离AB 5，则 的值为 _答案：3解析：AB 5，|yA yB|4，则|xAxB|3T2，则 T6，则2 6，3.3.将函数ysin(2x )(0)的图象沿x 轴向左平移12个单位得到的图象关于点3，0 对称，则_小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案：6解析：由题意得平移以后的函数为y sin2x6，因为图象关于点3，0 对称，所以 236k(k Z)，解得 k56(k Z)因为 0，所以 6.4.函数 f(x)cos(x)00，所以 6，x053.(2)由(1)可知 f(x)cos x6.因为 x 12，13，所以3x62.所以当 x60，即 x16时，f(x)取得最大值1；当x62，即 x13时，f(x)取得最小值0.1.(2017南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数ysin(2x)(0 )的图象沿x 轴向左平移8个单位后，得到函数yf(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则_答案：34解析：将函数ysin(2x)(0 )的图象沿x 轴向左平移8个单位后，得到函数f(x)sin2 x8 sin2x4 的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)sin4 0，4k，kZ，k4，kZ.又 00，|2在区间2，上的图象如图所示，则，的值分别是 _小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案：2，3解析：由题图可知，T 26 3，所以 2T2.又 sin26 0，所以3k(k Z)，即 3 k(k Z)而|2，所以 3.3.(2017第三次全国大联考江苏卷)将函数f(x)sin(2x)22的图象向右平移(0 )向量aOP1(cos ，sin)，bOP2(cos，sin)，则ab|a|b|cos()cos()，由向量数量积的坐标表示，可知abcos cos sin sin，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学因而 cos()cos cos sin sin .2.公式之间的关系及导出过程3.公式cos()cos_ cos_sin_ sin_；cos()cos_ cos_sin_ sin_；sin()sin_ cos_cos_ sin_；sin()sin_ cos_cos_ sin_；tan()tan tan 1tan tan；tan()tan tan 1tan tan 4.asin bcos a2b2sin()，其中 cos aa2b2，sin ba2b2，tan ba.的终边所在象限由a，b 的符号来决定5.常用公式变形tan tan tan()(1 tan_ tan_)；tan tan tan()(1 tan_ tan_)；sin cos 2sin 4；sin cos 2sin 4.备课札记 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学,1利用角的和、差公式进行化简、求值或证明),1)(1)求值：cos 350 2sin 160 sin（190）_；(2)(原创)化简：tan(18)sin（12）sin（78）3tan(18)tan(12)_答案：(1)3(2)1 解析：(1)原式cos（360 10）2sin（180 20）sin（180 10）cos 10 2sin（30 10）（sin 10）cos 10 212cos 10 32sin 10 sin 10 3.(2)原式 tan(18 )sin（12）cos（12）3tan(18)tan(12 )tan(18 )tan(12 )3tan(18)(12 )1 tan(18)tan(12 )tan(18 )tan(12 )1 tan(18 )tan(12 )1.变式训练(1)(改编题)求 4(cos 24 cos 26 cos 66 sin 26)tan 40 的值；(2)化简：sin(75)cos(45)3cos(15)解：(1)原式 4(sin 66cos 26 cos 66 sin 26)tan 40 4sin 40 sin 40 cos 40 4cos 40 sin 40 sin 40 cos 40 2sin 80 sin 40 cos 40 2sin（120 40）sin 40 cos 40 3cos 40 sin 40 sin 40 cos 40 3cos 40 cos 40 3.(2)原式 sin(45)30 cos(45)3cos(45)30 32sin(45)12cos(45)cos(45)32cos(45)32sin(45)0.,2给值求值、求角问题)典型示例,2)已知0 2，tan 4 7，cos()小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学210.(1)求 sin 的值；(2)求 的值【思维导图】【规范解答】解：(1)(解法 1)因为 tan4 7，所以 tan tan44tan4tan 41tan 4tan 4717143，即sin cos 43，所以 cos 34sin.将上式代入sin2cos21，得916sin2 sin21，即 sin21625.又 02，所以 sin 0，所以 sin 45.(解法 2)因为 tan 4 7，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以tan tan 41 tan tan 4tan 11tan 7，所以 tan 43，即sin cos 43，所以 cos 34sin.将上式代入sin2cos21，得916sin2sin2 1，即 sin2 1625.又 02，所以 sin 0，所以 sin 45.(2)因为 02，由(1)得 sin 45，所以 cos 35.又 0 2，所以 0.由 cos()210，得 02，所以 sin()7210，所以 sin sin()sin()cos cos()sin 721035210452525022.由2，得 34或求 cos 22，得 34.【精要点评】(1)解三角函数给值求值问题，关键在于弄清已知条件与所要求的函数值之间的内在联系，恰当“变角”或“变名”等，使其角或名相同，或具有某种关系，以便利用已知条件(2)解给值求角问题的方法是先取恰当的三角函数求其值，再结合该函数的单调区间求得角在选取函数时，应遵循以下原则：已知正切函数值，则选正切函数；已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是0，2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦较好；若角的范围为2，2，则选正弦较好总结归纳1.在解决求值、化简问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形2.解决求角问题的关键在于选择恰当准确的三角函数，选择的标准是在角的范围内函数值与角要一一对应，有时需恰当缩小角的取值范围题组练透1.已知 cos4 35，171274，则 cos 的值为 _答案：210解析：由171274得5342，又 cos 435，所以 sin4 45，所以 cos cos4 4210.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2.已知0，2，2，0，且cos413，cos4233，则cos 2 _答案：539解析：0，2，4 4，34.又 cos4 13，sin4 1cos24 223.2，0，2 4，0，424，2.又 cos4233，sin421cos24263.cos2cos4 42 cos(4)cos42 sin4 sin42133322363539.3.若 sin 2 55，sin()1010，且 4，32，则 的值是 _答案：74小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：因为 4，所以 22，2.又 sin 255，所以 22，4，2，故 cos 2255.又 ，32，所以 2，54，故 cos()31010.所以 cos()cos2()cos 2 cos()sin 2sin()255 3101055101022.又 54，2，故 74.4.(2017南京期初)如图，在平面直角坐标系xOy中，以 x 轴正半轴为始边的锐角和钝角 的终边分别与单位圆交于点A，B.若点 A的横坐标是31010，点 B的纵坐标是255.(1)求 cos()的值；(2)求 的值解：因为锐角 的终边与单位圆交于点A，且点 A的横坐标是31010，所以由任意角的三角函数的定义可知，cos 31010，从而 sin 1cos21010.因为钝角 的终边与单位圆交于点B，且点 B的纵坐标是255，所以 sin 255，从而 cos 1 sin255.(1)cos()cos cos sin sin 31010 551010255210.(2)sin()sin cos cos sin 1010 553101025522.因为 为锐角，为钝角，所以 2，32，故 34.,3有