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二次函数与几何图形中的动态问题探究李祥平(山东省济宁市邹城市中心店中学 2 7 3 5 1 2)【摘要】二次函数与几何图形相结合的综合问题,不但考查学生二次函数和平面几何的基础知识,还考查数形结合、分类讨论等数学思想.其中的几何动态问题一直是初中数学学习的重中之重,要求学生求解时需利用运动变化的观点,综合运用所学知识解决问题.本文分析探究了二次函数与几何图形的几种动态问题,并针对每种动态问题列举了一道典型例题进行详细解答,以期望帮助学生对函数与几何相结合的知识有更全面的掌握.【关键词】二次函数;几何;动态1 点动变换问题例1 将抛物线y=a x2a0 向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,得到抛物线H:y=a x-h 2+k.抛物线H与x轴交于点A、B,与y轴交于点C.已知A-3,0 ,点P是抛物线H上的一个动点.图1 图2(1)求抛物线H的解析式;(2)如图1,点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点,在抛物线H上,是否存在点P,使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在,说明理由.分析 动点问题的一般解题思路:化动为静,让运动的点在某个时刻停止下来,分析此刻变量间的关系;利用好对称性,如果是二次函数的题一定要利用好图象的对称性;关系法:根据图形找出已知条件间的关系,列出方程,将几何问题转化为代数问题来解决.解(1)由题意得抛物线H的顶点坐标为-1,4 ,得抛物线H:y=a x+1 2+4,将A-3,0 代入,得a-3+1 2+4=0,解得a=-1,所以,抛物线H的解析式为y=-x2-2x+3.(2)在抛物线H上,存在点P,使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形.当A C为平行四边形的边时,有P QA C,且P Q=A C,如图1,过点P作P Gl,垂足为G,设A C交对称轴l于点N,则ANG=A C O=P Q G.在P Q G和A C O中,有P G Q=AO CP Q G=A C OP Q=A C ,所以P Q G A C O A A S ,所以P G=A O=3,点P到对称轴的距离为3,设点P x,y ,因 为 抛 物 线 对 称 轴 为 直线x=-1,所以x+1=3,解得x=2或x=-4.332 0 2 3年1 2月上解题技巧 数理天地 初中版当x=2时,y=-5;当x=-4时,y=-5,点P坐标为2,-5 或-4,-5 .如图2,当A C为平行四边形的对角线时,设A C的中点为M,因为A-3,0 ,C0,3 ,所以M-32,32 ,因为点Q在对称轴l上,所以点Q的横坐标为-1.设点P的横坐标为x,根据中点坐标公式得x+-1 =2-32 =-3,所以x=-2,y=3,即P-2,3 .综 上 所 述,点P的 坐 标 为2,-5 或-4,-5 或-2,3 .2 线动变化问题例2 如图3,O为坐标原点,已知抛物线y=a x2+b x+ca0 经 过 点A-3,0 、B5,0 、C0,5 .(1)求此抛物线的解析式;(2)把抛物线y=a x2+b x+ca0 向下平移1 33个单位长度,再向右平移nn0 个单位长度,得到新抛物线,若新抛物线的顶点M在A B C内,求n的取值范围.图3分析 解决这种运动变化型的问题,关键是要掌握在运动中分析问题,在变化中进行求解.首先,要把握运动规律,寻求运动过程中的特殊位置;其次,学会将动态问题进行静态化,即将动态情境转化为几个静态的情境,从中寻找到变量之间的关系,用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等,将几何问题转化为代数问题解决.解(1)把A、B、C三点的坐标代入抛物线解析式可得9a-3b+c=02 5a+5b+c=0c=5 ,解得a=-13b=23c=5,所以,抛物线解析式为y=-13x+23x+5.(2)因为y=-13x+23x+5,抛物线顶点坐标为1,1 63 ,所以将抛物线向下平移1 33个单位长度,再向右平移nn0 个单位长度后,得到的点M的坐标为1+n,1 .设直线B C的解析式为y=k x+bk0 ,把B、C两点坐标代入可得5k+m=0m=5,解得k=-1m=5,所以,直线B C的解析式为y=-x+5,令y=1,解得x=4,新抛物线的顶点M在A B C内,所以1+n0,解得0n3,即n的取值范围为0n3.43 数理天地 初中版解题技巧2 0 2 3年1 2月上