复旦大学《实变函数A》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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复旦大学《实变函数A》
2023-2024学年第一学期期末试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分

批阅人

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、函数在点处沿向量方向的方向导数为（ ）
A.
B.
C.
D.

2、已知曲线，求该曲线在点处的切线方程是什么？（ ）
A. B. C. D.

3、求极限的值是多少？（ ）
A. B. C. D.

4、已知函数，在区间上，函数的对称轴方程是什么？（ ）
A. B. C. D.

5、设函数 f(x)=x*sinx，判断函数在区间(-∞,+∞)上的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.无法确定

6、已知级数，求这个级数的和是多少？（ ）
A. B. C. D.

7、设 z = f(x,y)由方程 z³ - 3xyz = 1 确定，求 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y（ ）
A.∂z/∂x=(yz/(z² - xy))，∂z/∂y=(xz/(z² - xy))；B.∂z/∂x=(xz/(z² + xy))，∂z/∂y=(yz/(z² + xy))；C.∂z/∂x=(yz/(z² - yz))，∂z/∂y=(xz/(z² - xz))；D.∂z/∂x=(xz/(z² - yz))，∂z/∂y=(yz/(z² - xz))

8、设函数 z = x² + y²，其中 x = r*cosθ，y = r*sinθ，那么∂z/∂θ =（ ）
A.-2r²sinθcosθ B.2r²sinθcosθ C.-r²sin2θ D.r²sin2θ

9、求曲线在点处的法线方程是什么？（ ）
A. B. C. D.

10、求函数的定义域。( )
A. B. C. $[1,3]$ D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、设函数，则的值为____。

2、计算定积分的值，根据定积分的计算公式，其中是的原函数，结果为_________。

3、求定积分的值为____。

4、若函数在区间[0,2]上有最大值 8，则实数的值为____。

5、若函数在区间[a,b]上连续，在内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得______________。

三、解答题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）求极限。

2、（本题10分）计算二重积分，其中是由直线，，所围成的区域。

3、（本题10分）已知函数，求函数的单调区间和极值。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且。证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在上可导，，且对所有成立。证明：对所有成立。

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