高二数学《解析几何》复习讲义(19页).doc

解析几何复习讲义
一、直线与圆
【考题回放】
1．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a等于（ D ）
A．2　　　　B．1　　　　C．0　　　　D．
2．如果实数x、y满足条件 那么2x-y的最大值为（ B ）
A． B． C． D．
3．圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（C）
A．36 　　 B． 18 　　C． 　　 D．
4．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . kÎ(0，)
5．若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为　　　　　．
【热点透析】
直线与圆在高考中主要考查三类问题：
一、基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查：
（1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题；
（2）直线的平行和垂直的条件；
（3）与距离有关的问题等。
此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现；
二、直线与圆的位置关系综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现；
三、线性规划问题，在高考中涉及，但难度不会大
突破重难点
【例1】过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x、y的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB方程。
解：设AB的方程为（a>0,b>0）∴、。 ∵⊥
∴
∵a>0 0<b<5 ∵AB方程的一般式为bx+ay-ab=0
∴M到AB的距离
∴的面积
而的面积，
∵直线AB平分四边形的面积，∴， 可得
故所求AB方程为和。
【点晴】若命题中的直线与两坐标轴均有交点，应先考虑选用截距式方程是否有利。
【例2】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为。求该圆的方程。
解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴距离分别为|b|，|a|
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，
知圆P截x轴所得的弦长为，故r2=2b2
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1从而得2b2-a2=1
又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为，所以
即有a-2b=±1，由此有
解方程组得于是r2=2b2知
所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2

【例3】已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
（Ⅰ）法1 依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，
所以曲线M的方程为y2=4x.
法2 设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，

所以|x+1|=.化简得：y2=4x.
（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y=－（x－1）.
由消y得3x2－10x+3=0，
解得x1=，x2=3.
所以A点坐标为（），B点坐标为（3，－2），
|AB|=x1+x2+2=.
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
①
②
即
由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2，
解得y=－. 但y=－不符合①，
所以由①，②组成的方程组无解.
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）法1：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由
得y=2，即当点C（－1，2）时，A、B、C三点共线，故y≠2.
又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2，
|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=.
当∠CAB为钝角时，cosA=<0.
即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即，
即y>时，∠CAB为钝角.
当|AC|2>|BC|2+|AB|2，即，
即y<－时，∠CBA为钝角.
又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即，
即.
该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
.
法2：以AB为直径的圆的方程为（x－）2+（y+）2=（）2.
圆心（）到直线l：x=－1的距离为，
所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－）.
当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角.
因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.
过点A且与AB垂直的直线方程为.令x=－1得y=.
过点B且与AB垂直的直线方程为y+2( x－3).令x=－1得y=－.
又由解得y=2，
所以，当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
y<－或y>（y≠2）.
【点晴】该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.
自我提升
1．将直线l沿x轴正方向平移两个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率为（ B ）
A． B． C． D．
2．若，，且分别是直线l1：ax+(b-a)y-a=0，l2：ax+4by+b=0的方向向量，则a，b的值分别可以是（A）
A．2，1　　　B．1，2　　　　C．-1，2　　　　D．-2，1
3．过点P（1，2）作一直线，使此直线与点M（2，3）和点N（4，－5）的距离相等，则此直线方程为___________________4x+y-6=0或3x+2y-7=0
4．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则　＝　　　 .
5．关于曲线C：x2+y4=1的下列说法：(1)关于点(0,0)对称；(2)关于直线x轴对称；(3)关于直线y=x对称；(4)是封闭图形，面积小于p；(5)是封闭图形，面积大于p；(6)不是封闭图形，无面积可言.其中正确的序号是_________________．(1)(2)(4)
6.曲线x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足：①关于直线kx-y+4=0对称；②OP^OQ.求直线PQ的方程.
解：由圆上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称知直线kx-y+4=0经过圆心
即有
设直线PQ方程为
.

.

化简得
y
C
x
P
B
A
7. 已知△ABC的三边长分别为3、4、5，点P是它的内切圆上一点，求分别以PA、PB、PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
解：△ABC为直角三角形，如图建立直角坐标系，
则A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），设内切圆半
径为r，则r=1/2（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故内切圆方程为
（x-1）2+（y-1）2=1，
可设P点坐标（1+cosα，1+sinα）
则以PA、PB、PC为直径的三个圆面积之和S=（10-cosα）
当cosα=-1时，Smax=5.5π, 当cosα=1时, Smin=4.5π.
二、圆锥曲线的定义、性质和方程
【考题回放】
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C )
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
2．如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=l|OF|。
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与l的关系式；
O
F
x
y
P
M

H
（Ⅱ）当l=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程。
【解】
∵四边形是€，∴，
作双曲线的右准线交PM于H，则，
又，
。
（Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，
又，由得：，解得，则，所以为所求。
【热点透析】
主要题型：
（1）定义及简单几何性质的灵活运用；
（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。
题型一般为二小一大，小题基础灵活，解答题一般在中等难度以上，一般具有较高的区分度。
突破重难点
【例1】过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为( B )
(A) (B) (C) (D)
解：设点A、B到椭圆左准线的距离分别为d1，d2，｜FA｜=r1，｜FB｜=r2，
则=e，即d1=，同理d2=，两式相减得.
因为直线AB的倾斜角为60°， \ 2|d1-d2|=|AB|=3r2，e=
【点晴】本题的关键在于利用椭圆的第二定义将60°倾斜角、|FA|=2|FB|这两个条件与椭圆的离心率建立联系。
【练习】若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足：，
则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
解：由知四边形F1OMP是平行四边形，又
知OP平分∠F1OM，即F1OMP是菱形，设|OF1|=c，则|PF1|=c.
又|PF2|-|PF1|=2a， ∴|PF2|=2a+c，
由双曲线的第二定义知,且e>1，∴e=2，故选C.
【例2】定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1，x12)，B(x2，x22)，又设AB中点为M(x0,y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，用函数思想求出最短距离。
（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义。
①
②
③
解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)
则
由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9， 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④
由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
∴，
≥
当4x02+1=3 即 时，此时
法2：如图
∴， 即，
∴， 当AB经过焦点F时取得最小值。
∴M到x轴的最短距离为
【点晴】解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。请思考：当|AB|在什么范围内取值时不能用解法二？
【练习】（北京卷）椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，| PF1|=，| PF2|=.
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。
解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2－c2=4, 所以椭圆C的方程为＝1.
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.
由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为A，B关于点M对称. 所以
解得，
所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且
①
②
由①－②得 ③
因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得＝，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意.)
图1
【例3】如图1，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且，。
（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围
成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数l
使？请给出证明。
解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如
图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为
。
而O为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|
又，所以AC⊥BC
又，所以|OC|＝|AC|，
所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得，则椭圆方程为。
（2）由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为y=k(x-1)，直线CQ的方程为y=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得
(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0①
因为C（1，1）在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是
同理
这样，， 又B（－1，－1），所以，
即kAB=kPQ。所以PQ∥AB，存在实数l使。
【点晴】利用斜率互为相反数关系，整体替换，可简化解题过程。

自我提升
1. 双曲线的虚轴长为4，离心率，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（A）.
A、 B、 C、 D、8
2. F1、F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（A）.
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
3. 已知点F1(-4,0)，F2(4,0), 又P(x,y)是曲线上的点, 则 (C)
A. |PF1|+|PF2|=10 B. |PF1|+|PF2|<10 C. |PF1|+|PF2|£10 D. |PF1|+|PF2|³10
4. F1、F2是椭圆（a>b>0）的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=900，则椭圆的离心率是________
5．已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以F2为焦点，F1为其顶点，若P为两曲线的公共点，且e|PF2|=|PF1|，则e＝__________。
6．已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D，设f(m)=||AB|-|CD||,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
解：（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0
得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0
∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-
（2）
∴当m=5时， 当m=2时，
7．如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2．当AC垂直于x轴 时，恰好|AF1|:|AF2=3:1
（I）求该椭圆的离心率；
x
y
A
B
C
O
F1
F2
（II）设，，
试判断l1+l2是否为定值？若是，则求出该定
值；若不是，请说明理由．
解：（I）当C垂直于x轴时，
，由，
得，
在Rt△中，
解得 =．
（II）由=，则，．
焦点坐标为，则椭圆方程为，
化简有．
设，，
①若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为
代入椭圆方程有．
由韦达定理得：，∴
所以，同理可得
故l1+l2=．
②若直线轴，，，
∴l1+l2＝6．
综上所述：l1+l2是定值6．
三、向量与圆锥曲线
【考题回放】
1．设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ D ）
A． B．
C． D．
2．已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和DABC的面积S。
【解】由双曲线的定义可知，曲线是以
为焦点的双曲线的左支，
且，易知，
故曲线的方程为
设，由方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得
又∵

依题意得 整理后得
∴或 但 ∴
故直线的方程为
设，由已知，得
∴，
又，
∴点，将点的坐标代入曲线的方程，得
得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴，点的坐标为，到的距离为
∴的面积.
【热点透析】
向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。 要注意以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。
突破重难点
【例1】设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）
（1）求直线AB方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？
解析：（1）法一：显然AB斜率存在。 设AB：y-2=k(x-1)
由得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0
当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2），则
∴ k=1，满足△>0 ∴ 直线AB：y=x+1
法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）， 则
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
∵ x1≠x2 ∴ ∴
∴ AB：y=x+1 代入得△>0.
（2）设A、B、C、D共圆于⊙M¢，因AB为弦，故M¢在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M¢为CD中点。因此只需证CD中点M满足|M¢A|=|M¢B|=|M¢C|=|M¢D|
由得A（-1，0），B（3，4）. 又CD方程：y=-x+3
由得x2+6x-11=0. 设C(x3,y3)，D(x4,y4)，CD中点M¢( x0,y0)
则 ∴ M¢（-3，6）
∴ |M¢C|=|M¢D|=|CD|=
又|M¢A|=|M¢B|= ∴ |M¢A|=|M¢B|=|M¢C|=|M¢D|
∴ A、B、C、D在以CD中点，M¢（-3，6）为圆心，为半径的圆上
【点晴】第（1）小题中法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立；第（2）小题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件，本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心。充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。
【例2】已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,
=,且满足·=||.求点P(x,y)的轨迹.
解：法一：，
∴，化简得，

故点P的轨迹是以(,0)为焦点以为准线的抛物线
法二：
则表示在轴上的投影，
即点到的距离，
设F1 (-,0)，F2(,0)，
所以点P到定点F2的距离与到定直线的距离相等，
故点P的轨迹是以(,0)为焦点以
为准线的抛物线。
【点晴】将向量问题坐标化进而数量化（法一）和将向量问题几何化（法二）是两种常用转化方法，应熟练掌握。
【例3】已知点A(，0)，B(，0)动点P满足
(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.
(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.
解：（1）设P(x，y)，则有
∵ ∴
得
（2）由 得Q (0，) 设直线C的方程为y=kx-
代入x2+2y2=4得 (1+2k2) x2
设M(x1，y1) N(x2，y2)
∵
又∵=

∴ ∴点Q在以MN为直径的圆上.
【点晴】直接法求轨迹是最常见的方法，要注意运用；向量是将几何问题代数化的有力工具。
【例4】已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点，，点C坐标为（0，2p）
（1）求证：A,B,C三点共线；
（2）若＝（）且试求点M的轨迹方程。
（1）证明：设，由得
，
又
，
，即A,B,C三点共线。
（2）由（1）知直线AB过定点C，又由及＝（）知OM^AB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x¹0，y¹0)。
【点晴】两个向量的平行（共线）与垂直的充要条件在解析几何中有重要应用。在解题时尤其要注意几何位置Û向量表达式Û坐标表示之间的转化。
自我提升
1、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||+||=4.则点P(x,y)的轨迹是.( C )
A．椭圆　B．双曲线　C．线段　　D．射线
2．已知A、B为抛物线x2=2py (p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①y轴上恒存在一点K，使得；②；③存在实数l使得 ；④若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有。中说法正确的为___________①②③④
3．已知圆x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线l同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程。
分析：选择适当的直线方程形式，把条件“l是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。
法一：当l斜率不存在时，x=-1满足；
当l斜率存在时，设l：y=kx+b
与⊙O相切，设切点为M，则|OM|=1
∴ ∴ b2=k2+1 ①
由得(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0
当k≠±1且△>0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0），
∴ y0=kx0+b=
∵ M在⊙O上 ∴ x02+y02=1 ∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 ②
由①②得： 或 ∴或
法二：设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1
当y0=0时，x0=±1，显然只有x=-1满足；
当y0≠0时， 代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0
∵ y02+x02=1 ∴化简方程为 (1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0
由中点坐标公式及韦达定理得：
∴2x03-x02-2x0+1=0 解之得：x0=±1(舍)，x0= ∴ y0=。

四、圆锥曲线中的最值和范围问题

【考题回放】
1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )
A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞)
2． P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ B ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）
(A) (B) (C) (D)
4．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.
【解】（1）法1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.
①
记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组
②
的解. 将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，
所以
于是
设点P的坐标为(x,y), 则
消去参数k得4x2+y2-y=0 ③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0
解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以
④ ⑤
④—⑤得，
所以
当时，有 ⑥
并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0 ⑧
当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为
（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
（2）由点P的轨迹方程知所以

故当，取得最小值，最小值为
当时，取得最大值，最大值为

【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；
（6）构造一个二次方程，利用判别式D³0。

突破重难点
【例1】已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cosÐF1PF2的最小值为．
（１）求动点P的轨迹方程；
（２）若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上且，求实数l的取值范围．
讲解　(１)由题意c2=5．设|PF1|+|PF2|=2a（），由余弦定理, 得
．

又·，
当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|·|PF2| 取最大值，
此时cosÐF1PF2取最小值，令，
解得a2=9，，∴b2=4，故所求P的轨迹方程为.
（２）设N(s,t)，M(x,y)，则由，可得(x，y-3) =l(s，t-3)，
故x=ls，y=3+l(t-3).
∵M、N在动点P的轨迹上，
且，
消去s可得，解得，
又|t|£2，∴，解得，
故实数l的取值范围是．
【点晴】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等．
【例2】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ①
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ②
将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2
因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，
此时
【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
【例3】设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值。
解: 依题意可设P(0,1), Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,
所以x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2
=(1－a2)(y－ )2－+1+a2 .
因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值;
若1<a<,则当y=－1时, |PQ|取最大值2.
【例4】已知△OFQ的面积为，
（1）设，求ÐOFQ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程。
解析：（1）设ÐOFQ =q

（2）设所求的双曲线方程为

∴，∴
又∵，∴

当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标是或
，所求方程为
【点晴】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。

自我提升
1．设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为F1(-c，0)，则△F1AB的面积最大为（ A ）
A．bc B．ab C．ac D．b2
2．已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ C ）
A．10 B． C． D．
3．已知双曲线，过其右焦点F的直线l交双曲线于AB，若|AB|=5，则直线l有（ B ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1, 到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 （ C ）
A．5 B．4 C． （D）
5．设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为____
6．求实数m的取值范围，使抛物线y2=x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称
解法1：设抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=m(x-3)对称，A，B中点M(x,y)，则当m=0时，有直线y=0，显然存在点关于它对称。
当m¹0时，
所以，所以M的坐标为，∵M在抛物线内，
则有，得且m¹0，综上所述，
解法2：设两点为A(x1，y1),B(x2，y2)，它们的中点为M(x，y)，两个对称点连线的方程为x=-my+b，与方程y2=x联立，得y2+my-b=0
所以 y1+y2= -m，即，
又因为中点M在直线y=m(x-3)上，所以得M的坐标为
又因为中点M在直线x=-my+b上，，
对于，有D=m2+4b=10-m2>0，所以。
7．已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB，且满足kPA·kPB=t (t≠0且t≠－1).
（１）求动点P的轨迹C的方程；
（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范围．
解：(１) 设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2－4)
+=1，轨迹C的方程为+=1（x≠2）.
(２) 当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2, 则r1+ r2=2a=4.
在△F1PF2中，|F1F2|=2c=4, ∠F1PF2=120O，由余弦定理得
4c2=r+r－2r1r2cos120°= r+r+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,
∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.
所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2, 则r1+ r2=2a= -4t,
在△F1PF2中，|F1F2|=2c=4.∠F1PF2=120O，由余弦定理得
4c2=r+r－2r1r2cos120°= r+r+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,
∴16（-1-t）≥-12t, ∴t≤－4.
所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O　
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是
.

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