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不等式恒成立问题的处理
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③ 其他类不等式恒成立
一、一次函数型
n
m
o
x
y
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有
n
m
o
x
y

例1．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。
解：令，则原问题转化为恒成立（）。
当时，可得，不合题意。
当时，应有解之得。
故的取值范围为。
注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。
练习：对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。
解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0,
设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
即解得：
∴x<-1或x>3.
例2. 已知（其中a为正常数），若当x在区间［1，2］内任意取值时，P的值恒为正，求b的取值范围。
解：P变形为
设 ∴
因此，原题变为当t在区间［0，1］内任意取值时，f（t）恒为正，求b的取值范围。
由充要条件，当
（1） 或 （2）
解（1）得
解（2）得
故，当时， 当
例3 设，若当时，P>0恒成立，求x的变化范围。
解：设
当时的图像是一条线段，所以a在上变动时，P恒为正值的充要条件是 即 解得
即x的取值范围是
二、 二次函数型
（1）当二次函数的定义域为R时： 若二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)大于0恒成立，则有
若二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)小于0恒成立，则有
例1.若函数在R上恒成立，求m的取值范围。
略解：要使在R上恒成立，即在R上恒成立。 时， 成立
时，，
由，可知，
例2．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。
所以实数的取值范围为。

练习1：.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围。
（2）当二次函数的定义域不是R时，即二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解；有时也可以转化为求最值。
例1：若时，恒成立，求的取值范围。
解：，令在上的最小值为。
⑴当，即时， 又
不存在。
⑵当，即时， 又
⑶当，即时， 又
总上所述，。
变式2：若时，恒成立，求的取值范围。
解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。
略解：，即在上成立。
⑴
2
—2
⑵
综上所述，。
解法二：（利用根的分布情况知识）
⑴当，即时， 不存在。
⑵当，即时，，
⑶当，即时，，
综上所述。
例2. 已知函数在其定义域内恒为非负，求方程的根的取值范围。
解：因为f（x）恒为非负，则解得，方程化为

当时，则 所以
所以 当时，则
所以 所以方程的根的取值范围是
例2．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：设，则当时，恒成立
当时，显然成立；
O
x
yx
-1
当时，如图，恒成立的充要条件为：
解得。
综上可得实数的取值范围为。
三、 其他类不等式恒成立问题一般转化为求最值
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）恒成立
2）恒成立
例1．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：设，
则由题可知对任意恒成立
令，得
而
∴
∴即实数的取值范围为。
例2．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。
解：若对任意，恒成立，
即对，恒成立，
考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得
而抛物线在的最小值得
注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。
分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）恒成立
2）恒成立
实际上，上题就可利用此法解决。
例1．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。
解： 将问题转化为对恒成立。
令，则
由可知在上为减函数，故
∴即的取值范围为。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
例2.已知函数，常数，求（1）函数的定义域；
（2）当满足什么条件时在区间上恒取正。
解：（1） ，又
定义域
（2）欲使在恒成立，则在恒成立，
由于，所以函数在单调递增，所以
且。
例5 已知函数在定义域上为减函数，若对于任意的成立，求的取值范围。（纠错64页）
例3 若不等式在上恒成立（或改为有解）求的取值范围。
数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）函数图象恒在函数图象上方；
2）函数图象恒在函数图象下上方。

x
-2
-4
y
O
-4
例1．设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围.
分析：在同一直角坐标系中作出及 的图象
如图所示，的图象是半圆
的图象是平行的直线系。
要使恒成立，
则圆心到直线的距离
满足
解得（舍去)