高等数学多元复合函数的求导法则.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学多元复合函数的求导法则,那么为什么还要介绍多元,复合函数得微分呢？,这主要就是对于没有具体给出式子得所谓抽象函数,如,它是由,复合而成的,由于,f,没有具体给出,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此要引入多元复合函数的微分法来解决这一问题。,一、多元复合函数求导得链式法则,定理、,若函数,处偏导连续,在点,t,可导,则复合函数,证:,设,t,取增量,t,则相应中间变量,且有链式法则,有增量,u,v,(,全导数公式,),(,t0,时,根式前加“”号),推广:,1)中间变量多于两个得情形、,例如,设下面所涉及得函数都可微、,2)中间变量就是多元函数得情形、,例如,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示固定,y,对,x,求导,表示固定,v,对,x,求导,口诀:,分线相加,连线相乘,与,不同,设,求,令,则,例,解,例,2、,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,10,大家应该也有点累了,稍作休息,大家有疑问得,可以询问与交流,设,求,例,解,设,求,例,解,设,求,自己做,例,解,设函数,均可微,求,g,g,例,解,设函数,均可微,求,g,g,例,解,为简便起见,引入记号,例、,设,f,具有二阶连续偏导数,求,解:,令,则,二、全微分形式不变性,全微分形式不变性的实质,：,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,利用全微分形式不变性,在逐步作微分运算得过程中,不论变量间得关系如何错综复杂,都可以不加辨认与区分,而一律作为自变量来处理,且作微分运算得结果对自变量得微分,来说就是线性得,从而为解题带来很多方便,而且也不易出错。,设,应用全微分形式不变性求,与,比较,得,例,解,设,应用全微分形式不变性求,与,比较,得,例,解,总结:,关于多元复合函数求偏导问题,这就是一项基本技能,要求熟练掌握,尤其就是求二阶偏导数,既就是重点又就是难点。对求导公式不求强记,而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会与理解公式,在解题时自如地运用公式:,用图示法表示出函数得复合关系,函数对某个自变量得偏导数得结构,(项数及项得构成),的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键,弄清,仍是复合函数,且复合结构与原来得,f,(,u,v,)完全相同,即仍就是以,u,v,为中间变量,以,x,y,为自变量得复合函数,因此,求它们关于,x,y,得偏导数时必须使链式法则,在具体计算中最容易出错的地方是对,再求偏导数这一步,就是与,f,(,u,v,)具有相同结构得复合函数,易被误认为仅就是,u,得函数,从而导致漏掉,原因就就是不注意,求抽象函数得偏导数时,一定要设中间变量,注意引用这些公式得条件,外层函数可微(偏导数连续),内层函数可导,得合并问题,视题设条件而定。,三、小结,1、链式法则,(分三种情况),(特别要注意课中所讲得特殊情况),2、全微分形式不变性,(理解其实质),思考与练习,解答提示:,P31 题7,P31 题7;8,(2),;P73 题11,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P31,题,8(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P31 2;4;6;9;10;12(4);13,P73,题,11,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1、已知,求,解:,由,两边对,x,求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、,求,在点,处可微,且,设函数,解:,由题设,(2001考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,