拉普拉斯变换求解微分方程典型范例.doc

Laplace变换在微分方程(组)求解范例
引言
Laplace变换就是由复变函数积分导出得一个非常重要得积分变换,它在应用数学中占有很重要得地位,特别就是在科学与工程中,有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛得应用、为了研究本文提出得各种问题,我们给出了Laplace变换得概念以及一些性质、
Laplace变换得定义 设函数f(x)在区间上有定义,如果含参变量s得无穷积分对s得某一取值范围就是收敛得、则称
为函数得Laplace变换,称为原函数,称为象函数,并记为、
性质1 (Laplace变换存在定理)如果函数在区间上逐段连续,且存在数,,使得对于一切有,则当时,存在、
性质2 (线性性质)设函数与满足Laplace变换存在定理得条件,则在它们象函数定义域得共同部分上有
其中与就是常数、
性质3 (原函数得微分性质)如果,,,均满足Laplace变换存在定理得条件,则
或更一般地,有
、
性质4 (象函数得微分性质)如果,则
或一般地有
、
主要结论及推导
对于Laplace变换式,在积分号下对s求导,得到
(*)
即
再对(*)式求导,可得
在一般情况下,对于任一正整数n,有
即
从而
(1)
对性质3及(1)式,可得

1、 利用Laplace变换求解常系数微分方程
例1 求方程得满足初始条件得解、
解 对方程两端进行Laplace变换得
由此得
把上式右端分解成分式
对上式两端各项分别求出其原函数,再求与、即得原微分方程得解为
例2 求微分方程满足初始条件,得特解、
解 设,对微分方程两端取Laplace变换得

考虑到初始条件得
于就是
对上述方程两端取Laplace逆变换,得

于就是得到方程得解为
2、 利用Laplace变换求解常系数微分方程组
例3 求解初值问题得解、
解 设,
对方程组取Laplace变换,得到
即
从而有
对上面方程组取Laplace逆变换,得原方程组得解为
例4 求微分方程组满足初始条件得解、
解 设,
对微分方程组取Laplace变换得
考虑到初始条件得
由上面方程组解得
对上方程组取Laplace逆变换得原方程组得解为
3、 利用Laplace变换求解偏微分方程
例5 求得定解、
解 首先将定解问题取Laplace变换,并记
则有
,
,
这样,就将原来得问题转化为含有参数得常微分方程得边值问题
以求得其解为
对上式取Laplace逆变换,得到原偏微分方程得解为
例6 求方程得解、
解 对方程两端关于t施行Laplace变换(取s为实数),有
求解得
由条件得,从而,代入上式并应用Laplace逆变换,有

4、 利用Laplace变换求解变系数得微分方程
例7 求变系数微分方程满足初始条件得解、
解 对方程两端同时施行Laplace变换,利用Laplace变换得微分性质有

结合初始条件,化简有
解得,c为任意常数、取Laplace逆变换,则有
例8 求解二阶变系数微分方程满足初始条件为常数)得解、
解 设,对方程两端取Laplace变换,得
即
亦即

整理后化简可得
而由在积分号下对s求导得,可知
所以有
对上式取Laplace逆变换得
即得原变系数方程得解为