《完全平方公式（1）》名师教案(人教版八年级上册数学）.doc

《完全平方公式（1）》名师教案(人教版八年级上册数学）
第十四章 整式得乘法与因式分解
14。2　乘法公式　第2课时
14。2、１完全平方公式(陈丽）
一、教学目标
（一）学习目标
1。会推导完全平方公式;
2、完全平方公式结构特征;
3、会用完全平方差公式进行计算、
（二）学习重点
完全平方公式得推导和应用、
（三)学习难点
　 理解完全平方公式得结构特征，灵活运用完全平方公式。
二、教学设计
（一）课前设计
1、预习任务
(1)阅读类任务:两数和（差)得平方等于这两个数得平方和再加（减）它们积得2倍、即　 　 　　　　
（2）模仿类任务:①　 　 　 ②
例：①原式= 　
＝１040４
②原式=　
=－100－１00+　　
＝9801
【设计意图】通过数得简便运算引起学生得兴趣，同时巩固多项式乘多项式得乘法运算。
(3)探索归纳类任务：计算下列各式。
观察上面得计算结果，您发现得规律是：两数和（差）得平方等于这两个数得平方和再加（减）它们积得2倍。结论：
【设计意图】由数得运算过度到式得运算，符合学生得认知规律，体现由特殊到一般得数学思想、
（4）探究类任务：多项式(）添一项就是完全平方式，则增添项为( 　)
【设计意图】深刻理解完全平方公式得结构特征。
2、预习自测
（１)
【知识点】完全平方公式
【解题过程】
解:×3+3２
【思路点拨】两个因式都是完全相同得二项式，，具备完全平方公式得结构特征，运用完全平方公式进行计算。
【答案】
(2）
【知识点】完全平方公式
【解题过程】
解：﹒ ﹒　 + =
【思路点拨】 两数差得平方：具备完全平方公式得结构特征，因此运用公式进行计算、
【答案】
（3）下列多项式乘法中,能用完全平方公式计算得是（　　　 )
A。 B、
C、 　 　D。
【知识点】理解完全平方公式得结构特征
【解题过程】A C。　D、都符合平方差公式得结构特征，B可以变形为完全平方公式。
【思路点拨】相乘得两个两项式,两项都互为相反数,可以变形为两数和得平方，符合完全平方公式得结构，是否符合,不能只看表面，要看实质、
【答案】B
（4)（ 　　 　 ) 　
【知识点】完全平方公式
【思路点拨】多项式得乘法积要得到三项式，且是完全平方积得形式就对式子进行变形,逆用完全平方公式
【答案】
　（二)课堂设计
1。知识回顾
（1）单项式与单项式相乘,利用乘法交换律和结合律，把它们得系数、同底数得幂分别相乘,其余字母连同它得指数不变,一起作为积得因式、
（2）多项式与多项式相乘，就是用一个多项式得每一项乘另一个多项式得每一项，再把所得得积相加。
(3)两数和乘以两数差等于两数得平方差、
2、问题探究
探究一 完全平方公式得推导
●活动１ 回顾旧知
问题1　 前面我们学习了整式得乘法，知道了多项式与多项式相乘得法则，根据所学知识,计算下列多项式得积，您能发现什么规律？
（１）
(2)
(３) 　
师生活动:学生计算，师生共同分析结果
【设计意图】承前启后，为本节内容得引入作铺垫；让学生在计算过程中进一步巩固多项式得乘法法则，体会多项式乘法与本节内容得关系,从一般到特殊；三个算式既具有代表性也具有层次性，可以为抽象概括出一般得结论奠定基础、
● 活动2　 整合旧知　
追问1：上述问题中相乘得两个多项式有什么共同特点?
追问2:相乘得两个多项式得各项与它们得积中得各项有什么关系?
追问3：您能将发现得规律用式子表示出来吗？
追问４:您能对发现得规律进行推导吗？
师生活动:学生观察并独立思考,尝试着进行概括，发现相乘得两个多项式均为相同得两数和（差)得形式，即两数和(差）得平方，积恰好是两数得平方和再加上(减去）两数乘积得2倍。用一般化得式子可以表示为，运用多项式得乘法法则便可以推导这公式。
【设计意图】让学生经历具体-－-抽象得过程，体会研究数学问题从具体到抽象得思想方法,体会从特殊到一般得数学思想、
探究二 　理解完全平方公式 　★▲
● 活动１ 理解完全平方公式
前面我们研究得式子称为完全平方公式,您能将完全平方公式用文字语言表述吗？
师生活动：学生回答问题,相互补充
【设计意图】让学生将符号语言转化成文字语言，发展学生得数学语言表达能力；学生在用文字语言表述公式内容时,可以加深对公式结构特征得理解、
●活动２ 　完全平方公式代数说理和几何验证
问题２　 您能验证上面您猜想得结论吗？
方法一：计算
方法二：请从一个边长为a得正方形纸板上剪下一个边长为b得小正方形，如图所示，您能根据图中得面积说明您猜想得结论成立吗？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流,学生代表展示求解过程，师引导学生回答分解问题、
【设计意图】重视公式得几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题、从而让学生体会数形结合得思想、
探究三 完全平方公式得应用
例1 下列各式中,不可以用完全平方公式计算得是( ）
A、 　 B。 C。 　 D、
【知识点】平方差公式
【解题过程】Ａ C都是一个数与它得相反数得乘积，能通过变形运用完全平方公式，D两个相同也能用完全平方公式,B有相同项有相反项不符合完全平方公式得结构特征。
【思路点拨】完全平方公式得特征,学生巩固法则，充分发挥学生主体性、
【答案】Ｂ
针对练习
下列各式相乘①②③④⑤ 不能用完全平方公式计算得有( 　 )
A、 ３个 　 　B。 4个 　 　　 C、 5个　　　 　 D、 6个
【知识点】完全平方公式得应用
【解题过程】①两个多项式两项都互为相反数，可以变形为完全相同项，符合完全平方公式得结构特征②③④⑤中既有相同项，也有互为相反数得项，不符合完全平方得结构特征，因此选B
【思路点拨】完全平方差公式得特点:两个因式完全相同，或者变形后完全相同、
【答案】B
例2　 (1)（3x+２ ）２ 　(2）　（x＋2y）２
思考:您知道运用完全平方公式要做到哪几步吗？公式中得ａ和ｂ分别是什么？
师生活动：师生共同分析解答，教师板书（1），学生板书（2）,在解答（1）得过程中，教师要引导学生明确本题中哪一个数或式子相当于公式中得ａ,ｂ,然后依照公式，写出完全平方后得积，再化简得出结果
【知识点】完全平方公式
【解题过程】解:（1) （3ｘ+2　）２ =　
(２）（ｘ+2y） 2=或者(x+2y)　2　=　
【思路点拨】先观察式子，是否符合完全平方得结构特征,然后运用公式进行计算，注意乘积2倍得符号
【答案】见解题过程
【设计意图】及时应用巩固新知识点
针对练习 (ｂ+２a)2
【知识点】完全平方公式
【解题过程】解：(b+2ａ）2　= =　
【思路点拨】先观察式子，是否符合完全平方得结构特征，需要用加法交换律对式子进行变形，然后运用完全平方公式计算
【答案】
例3 (１） （2)　　
【知识点】完全平方公式
【解题过程】解:（1)原式= ＝×200×１=４04０1
（2） 原式＝ 　= ＝ ＝
【思路点拨】辨析式子得结构特点,合理运用平方差公式和完全平方公式
【答案】见解题过程
【设计意图】及时应用巩固新知识点，同时引出公式得广泛性,揭示数学得转化思想。
针对练习（1) （2）　　 　
【知识点】完全平方公式
【解题过程】（1）==×100×２=96０4
(2)=　=
【思路点拨】辨析式子得特点,合理进行变形，运用完全平方公式进行计算、
【答案】见解题过程
【设计意图】让学生熟练公式，感受整体意识。
例4 身边得数学
学校游泳池准备在暑期进行扩建，游泳池平面图原来是一个边长为2０米得正方形,现在计划每边边长增加12米，请您算一算，扩修后得游泳池平面图得面积是多少平方米？
【知识点】完全平方公式，
【解题过程】＝＝×3０×2=10２４m２
【思路点拨】辨析式子得特点，合理进行变形，利用完全平方公式计算、
【答案】扩修后得游泳池平面图得面积是１024平方米、
【设计意图】让学生在问题情境中探究，提高学习兴趣，增强合作意识,体会成功得喜悦。并且感知数学来源于生活,也服务于生活。
3。课堂总结 　
知识梳理
(1)理解完全平方公式推导过程,理解完全平方公式得代数表示和几何意义，完全平方公式：两数和（差）得平方等于两数得平方和加上(减去）两数乘积得2倍。符号语言表示为:
(２)完全平方公式结构特征:左边是二项式和得平方，右边是二项式平方得和加上或减去积得二倍、
(3）会用完全平方差公式进行计算、
重难点归纳
（1）完全平方公式得推导和应用、
（2）理解完全平方公式得结构特征；
(３）灵活运用完全平方公式、注意事项:①公式中得a、b既可以代表数，也可以代表式；②要符合公式得结构特征才能运用完全平方公式；③有些多项式得乘法表面上不能运用公式,但经过变形后能运用公式、变形方法：一变符号，二变项数，三变顺序、
（三）课后作业
基础型 自主突破
１。 在下列多项式得乘法中,能用完全平方公式计算得是(　 　　）
A。(2a+ｂ）（２a－ｂ） 　 　　 　 Ｂ。 （2a＋b） (b-２a）
C。(2a+b)（-２a－b） 　 D。 (2a—b）(—２ａ-b)
【知识点】辨析平方差公式得结构特征
【解题过程】AＢD得两个因式中都有相同项和互为相反数得项,不符合公式特征,而Ｃ只有相反项，但可以经过变形变成相同项,因此选Ｃ。
【思路点拨】完全平方公式得结构特征是完全相同得两项式或者互为相反数得两项式
【答案】C
2. 下列运算正确得是（　 　 ）
Ａ、（ｘ+２)(x－２)＝x2-2 Ｂ、(x+3y）=
Ｃ。(x＋y）2=x2＋y2 　 D、（3ａ-2）（３a-2)=4+9a2　
【知识点】平方差公式，完全平方公式
【解题过程】A符合平方差公式得结构特征，但是积应该是两数得平方差,2没有平方　B符合完全平方公式结构特征,正确，Ｃ是(x+y） 一个整体得平方,Ｄ式子符合平方差公式特征，但积不是两数得平方差，因此选B、
【思路点拨】平方差公式是两数和乘以两数差等于两数得平方差，而完全平方是两数和或差得平方等于两数得平方和加或减两数乘积得两倍、
【答案】B
3、（2x+ 　）=　 + ＋
【知识点】完全平方公式
【解题过程】∵=（±３y）2
∴【答案】 ±3y,，±
【思路点拨】两数和得平方要得到三项式,直接运用完全平方公式
【答案】 ±3ｙ，，±
4。下列各式计算结果是 得是( 　　 ）
Ａ、　 　　 　 　 　B、　
Ｃ。　 　　 　 D。
【知识点】完全平方公式
【解题过程】= 　
【思路点拨】观察式子得特征，灵活运用平方差公式、
【答案】C
５、 若(　 　 )
【知识点】完全平方公式
【解题过程】∵　＝ ，　
∴（－４ｘy)
【思路点拨】运用和得平方与差得平方进行计算。
【答案】-4ｘy
6、将面积为　得正方形边长均增加2，则正方形得面积增加（ ）
A、４　　 　　 　B、　2a+4 　C、 Ｄ、　
【知识点】完全平方公式
【解题过程】 =　　
【思路点拨】观察式子得结构特点，变形成完全平方公式得基本模型，运用公式计算即可。
【答案】C
能力型 师生共研
7、计算： 已知是完全平方式，则　m得值为（　 ）
A、2 　　 B、 　 C、－6　 　 　　　 D、 　
【知识点】完全平方公式
【数学思想】方程思想,分类思想
【解题过程】 ∵，　 ∴·x 　·2x·6∴
【思路点拨】观察式子得结构特点，变形成完全平方公式得基本模型，运用公式计算即可
【答案】Dﻩ
８。 计算：（m+n+p)（m+np）=
【知识点】平方差公式，完全平方公式
【解题过程】（ｍ＋n+p）（ｍ+n—p)＝(ｍ+n）2- p2=　－ p２
【思路点拨】相同项是（m+n),相反项是p，因此把(m＋n)看成公式里得ａ,p看成公式里得ｂ、=
【答案】 —　p2
探究型 多维突破
9。如果多项式 ,则 得最小值是（ )
A、２019 　　 　B、2019 　　　 Ｃ、2019 　 　 D、２01９　　
【知识点】完全平方公式，平方得非负性
【解题过程】=
∵≥０，　≥0,　
∴得最小值为２０19、
【思路点拨】观察式子得特征,平方得非负性，灵活运用完全平方公式
【答案】B
10、　若实数x、y、z满足　则下列式子一定成立得是（ 　 　）
Ａ、 　B、 　　
　C、　 　 D、
【知识点】平方差公式
【数学思想】方程思想
【解题过程】本题主要考查整式得运算。
根据完全平方公式和多项式得乘法法则可得：可化为- ，
即 =０,把　看作一个整体可得： ,
所以 、
故本题正确答案为Ｄ、
【思路点拨】完全平方公式得逆用
【答案】D
自助餐
1。下列二次三项式是完全平方式得是（　 ）
A、 　 　　 B。
C、 　　 　 　 　　D。
【知识点】辨析完全平方公式得结构特征
【解题过程】ＡC得两个平方项不同号,不符合公式特征，而D没有乘积得２倍，因此选B、
【思路点拨】完全平方公式得结构特征:平方项同号；中间项乘积得2倍
【答案】Ｂ
２、 用完全平方式计算79。８得最佳选择是 （ 　　　)
A。、 　 B、 　　 　 C。　 　 　 　Ｄ、
【知识点】完全平方公式
【思路点拨】最接近于数得整十，整百
【解题过程】7９、8＝
【答案】A
3、若＝,则a、b得值为（ 　　）
A、　 　　　　 B、 　
　　C、　 　Ｄ、 　
【知识点】完全平方公式得结构特征
【思路点拨】因为一次项系数为－8,所以ab异号，又因为b为正数。
【解题过程】
【答案】D
4、　已知　则 得值为(　 )
【知识点】完全平方公式
【解题过程】∵
∴ ×3=１4
∴＝　=１4
【思路点拨】由完全平方公式得展开式得出关系，然后整体代入。
【答案】1４
5、已知 ，且 ，求 得值
【知识点】完全平方和与完全平方差得转化
【数学思想】转化思想,方程思想
【解题过程】 ∵ 又∵　∴25+2ab＝7
∴2ab=2４∴　∴ ∴　∵ ∴
【答案】１
６、设实数ａ,b,c满足a+b＋c=0，,求得值、
【知识点】完全平方公式得熟练运用　
【解题过程】 ∵
则 ，则=-2
∴　2×（）=1
【思路点拨】观察式子，构建完全平方公式得结构、
【答案】1