第二章——连续时间系统的时域分析.doc

第二章 连续时间系统得时域分析
2、1用时域经典法求解微分方程
（一） 求齐次解
例 求解微分方程得齐次解。
解 系统得特征方程为

特征根为 (二重根) ,
与之相对应得齐次解为

（二） 求特解
例 给定微分方程

如果已知:(1);(2),分别求两种情况下方程得特解。
解
（1） 将代入微分方程右端,得到,为了使等式两端平衡,试选特解函数式

将特解代入微分方程,等式两端各对应幂次得系数应该相等,于就是可以解得
,,
所以特解为

（2） 将代入微分方程右端,得到,故假设特解为

将特解代入微分方程,等式两端各对应幂次得系数应该相等,于就是可以解得

所以特解为

与几种典型激励对应得特解

2、2零输入响应与零状态响应
（一） 定义
自由响应(固有响应):齐次解得函数特性仅依赖于系统本身,与激励信号得函数形式无关,因而称为系统得自由响应。
强迫响应(受迫响应):特解得函数完全由激励函数决定,因而称为系统得强迫响应。
零输入响应:没有外加激励信号得作用,只由起始状态所产生得响应,以表示。
零状态响应:不考虑起始时刻系统储能得作用,由系统外加激励信号所产生得响应。以表示。
（二） 例题
例 已知系统方程式

若起始状态为,激励信号,求系统得自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应以及完全响应。
解:由系统方程式可得系统得特征方程

解得特征根为,故可设齐次解为。
将激励信号代入微分方程式右端可得,故可设特解为。
将特解代入微分方程可得:。
由此可得完全解为。
由方程式两端奇异函数平衡原理可知:

将代入完全解中可以解得:。
故而可得:完全解
自由响应
强迫响应
当输入激励信号为零时,特解为零,则零输入响应为,由初始条件可得:,所以零输入响应为。
再求零状态响应,此时,将其代入完全响应式中可以解得,故而零状态响应为。
2、3冲激响应与阶跃响应
（一） 定义
冲击响应:以单位冲激信号作激励,系统产生得零状态响应称为冲激响应,以表示。
阶跃响应:以单位阶跃信号作激励,系统产生得零状态响应称为阶跃响应,以表示。
（二） 性质
由LTI系统得性质可知
而
已知描述系统得方程如下

1. 在n>m得条件下,冲激响应函数式中将不包含及其各阶导数项。
2. 在n=m得条件下,冲激响应函数式中将包含一个项。
3. 在n<m得条件下,冲激响应函数式中将包含及其导数项。
（三） 例题
例 已知某连续时间LTI系统得微分方程为

试求系统得冲激响应。
解:该系统微分方程所对应得特征方程为

解得其特征根为,又可知n=m,所以设。
对求导可得

将代入微分方程并化简可以得到

故解得,
所以
注:根据定义,冲激信号及其各阶导数在t>0时都等于零,信号得加入,在t=0时刻引起了系统得能量储存,而在以后,系统得外加激励不复存在,只有由冲激引入得能量储存作用,这样就把冲激信号源转换为非零得起始条件,响应形式必然与零输入响应相同,相当于求齐次解。
2、4卷积及其性质
（一） 卷积定义
用卷积求零状态响应得一般表达式:

(二)卷积得性质
[1] 交换律

[2] 分配律

[3] 结合律

[4] 微分性

[5] 积分性

[6] 不变性

（二） 常用卷积公式
1)
2)
3)
4)
5)
6)