光滑曲线弧长公式.ppt

返回,后页,前页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,光滑曲线弧长公式,定义,2,设平面曲线,C,由参数方程,曲线,则,C,是可求长的,且弧,长为,定理,10.1(,光滑曲线弧长公式,),设曲线,C,由参数方,若,C,为一光滑,于是,证,因此,由第一章,1,习题,6,可知,于是,即,从而,因此当,f,在,a,b,上连续可微时,示,则,C,又可,看作,注,1,若曲线,C,由直角坐标方程,表示,则,C,亦可看作,注,2,若曲线,C,由极坐标方程,由于,大家应该也有点累了，稍作休息,大家有疑问的，可以询问和交流,解,例,1,例,2,解,解,段,弧长,.,例,3,在光滑曲线,上,弧段 与 的长度相差不,*,二、平面曲线的曲率,曲率是刻划曲线的弯曲程度的一个概念,.,如图所示,多而弯曲程度却很不一样,.,转过的角度 要大得多,比动点从,Q,移到,R,时切线,.,到,Q,时,切线转过的角度,这反映动点沿曲线从,P,移,设 表示曲线在点 处切线的倾角,表示动点由,P,沿曲线移至,时切线倾角的增量,.,若,之长为,则称,为弧段 的平均曲率,.,如果存在有限极限,则称此极限,K,为曲线,C,在,P,处的曲率,.,由于曲线光滑,故总有,可得,即,若曲线由,表示,则,例,1,求椭圆,上曲率,解 由于,最大和最小的点,.,因此椭圆在各点的曲率为,当 时,在 处曲率最大,在,由例,1,可得,若,则各点处曲率相等,为,处曲率最小,显然,直线上各点处的曲率为,0.,设曲线上一点,P,处曲率,若过,P,作一个半径为,的圆,使它在点,P,处与曲线有相同的切线,并在,P,近旁与曲线位于切线的同侧,(,见图,).,在,P,处的曲率圆,.,曲率圆,率圆的圆心称为曲率中心,.,的半径称为曲率半径,曲,我们把这个圆称为曲线,火车轨道从直道进入半径为,R,的,火车的向心加速度,以保证火车安全,(,使,道,(,用虚线表示,),使得曲率由零连续地变到,圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨,例,2,如图所示,对此曲线,用曲率公式得,:,缓冲曲线常用三次曲线,的曲,率从,0,渐渐增加到接近于 从而起了缓冲,因此曲线段,作用,.,