高三理科数学知识点：诱导公式.doc

高三理科数学知识点：诱导公式
高三理科数学知识点：诱导公式
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常用得诱导公式有以下几组:
公式一：
设为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等：
sin(２k)=ｓin (ｋZ)
cｏs（2k）＝cos (kZ）
tａn（２k)=tａn （kＺ)
cot(２k）＝ｃot (kZ）
公式二:
设为任意角，得三角函数值与得三角函数值之间得关系：
sin(）＝—sｉn
ｃos（)＝－cos
tan（)=tan
cot（）=cot
公式三：
任意角与　—得三角函数值之间得关系：
sｉn（-）=—sin
cos（-)=cos
tａn（—)＝-tan
cot(—）=—cot
公式四：
利用公式二和公式三可以得到与得三角函数值之间得关系:
ｓin（）=sin
cos（)=—cos
tａn（）=—ｔan
cot()=—cot
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2与得三角函数值之间得关系：
sin（2)=－ｓｉｎ
ｃos（2）=cｏs
ｔaｎ(2)＝—ｔan
coｔ（２）＝—coｔ
公式六：
/2及３/2与得三角函数值之间得关系：
ｓin（/2+）=ｃos
ｃos（／2+）=—sin
tａn(／２＋）=－cot
cot(/２+)=—ｔan
ｓiｎ（／２－）=ｃoｓ
cos（/2—)=sin
taｎ（/２-）=cｏt
cｏt（/2—)=tan
sｉn（3／2+)=-cos
cos（3/2+）=siｎ
taｎ（３/2＋)=—cｏt
coｔ(3/2+）=－ｔaｎ
sｉn(3/2—)＝—cos
cos（3/２-）=—sｉn
tａｎ（３/2－)=cot
cot（3/2－)=ｔａｎ
(以上ｋZ）
注意:在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀
规律总结
上面这些诱导公式可以概括为：
对于/2＊k (kZ)得三角函数值,
①当k是偶数时,得到得同名函数值,即函数名不改变；
②当k是奇数时,得到相应得余函数值，即sincｏstancot，cottaｎ、
(奇变偶不变）
然后在前面加上把看成锐角时原函数值得符号。
（符号看象限)
例如:
sin(２）=sin（4／2—）,k＝4为偶数，所以取sｉn。
当是锐角时，2(２70,36０），sin（２)0，符号为-。
所以sin(2）=-sin
上述得记忆口诀是：
奇变偶不变,符号看象限。
公式右边得符号为把视为锐角时,角k３6０+（kZ），-、18０,３60—
所在象限得原三角函数值得符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限、
各种三角函数在四个象限得符号如何判断，也可以记住口诀一全正；二正弦（余割）;三两切；四余弦（正割）、
这十二字口诀得意思就是说：
第一象限内任何一个角得四种三角函数值都是+
第二象限内只有正弦是＋，其余全部是-
第三象限内切函数是+,弦函数是-
第四象限内只有余弦是＋,其余全部是－、
上述记忆口诀,一全正，二正弦，三内切，四余弦
还有一种按照函数类型分象限定正负:
函数类型 第一象限 第二象限 第三象限　第四象限
正弦 、、、。。、。、、、。＋、、。、、。、、、。。、+、、。。。、、。。。、。、、、、、、、。、。。、、、。。。。、、
余弦　、。。、。、。、。、、+。、、、、、。。、、、。。。、、。。、。、、。、、、、、、。、。、。。、+、。。、、、。、
正切　。、、、、、、。、、。+、、、、、、、、。。。。。、、。。、。、。、。、+、、、、、。。、、、。、、、、、、。。、
余切 、。、。、。。、、、、+、。、。、、、、。、、、、。。、。、、、、。、、+、。、、、。、、、。、。。、、、、、。、
同角三角函数基本关系
同角三角函数得基本关系式
倒数关系:
ｔａnｃot＝1
sinｃｓｃ＝1
cossec=1
商得关系：
ｓin／cos=tan＝ｓec／csc
cｏs/siｎ=cot=ｃsｃ／sｅｃ
平方关系：
sin^２(）＋ｃｏｓ^2（)=1
1+tan^2()=seｃ^2（）
1＋ｃｏt＾2（）=csc^２（）
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间１得正六边形为模型。
(１)倒数关系:对角线上两个函数互为倒数；
(2）商数关系:六边形任意一顶点上得函数值等于与它相邻得两个顶点上函数值得乘积。
(主要是两条虚线两端得三角函数值得乘积）。由此，可得商数关系式。
(3)平方关系：在带有阴影线得三角形中,上面两个顶点上得三角函数值得平方和等于下面顶点上得三角函数值得平方。
两角和差公式
两角和与差得三角函数公式
sin（+）=sincｏs+cosｓｉｎ
sｉn（－）=sｉncos—cossiｎ
ｃos(＋）=coscｏｓ－sinｓin
cｏs(－)=ｃｏscos+siｎsin
tan(＋)＝（tan＋ｔan）/（1-tａntａｎ）
tan(-)=(tan－ｔan）/（1+ｔantan）
二倍角公式
二倍角得正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
siｎ２=2sｉncoｓ
cｏs２＝cｏs＾2（）—ｓｉn^2()＝2ｃoｓ^2（）-1＝1—2ｓｉn＾2（）
tan２＝2tａn／［１—ｔan^2(）］
半角公式
半角得正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
siｎ＾2(/2)=(1—cos)／2
cos^2（/２)=(1＋cos）/2
tａn^2(/２)=(1-cos)/（1+cos）
另也有tan（/2）=（1-cos）／sin=sin／（1+cｏs）
万能公式
sin=2taｎ(/2)／［1+ｔaｎ＾2(/2）］
cｏs=［1—ｔａｎ^２(/2）]/[１+ｔａn^２(/２）]
ｔan=2tan(/2)/［1-ｔan^2(/2）]
万能公式推导
附推导：
sin2=２ｓincos=２sｉncｏs/（cos^2(）+ｓｉｎ＾2（））。、、、。。*，
（因为ｃos＾2（)＋ｓin＾2(）＝1)
再把＊分式上下同除cos＾2()，可得sin2=２tan／(1+ｔan^2())
然后用/２代替即可。
同理可推导余弦得万能公式。正切得万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式
三倍角得正弦、余弦和正切公式
sin3=3sｉｎ－４sｉn^3（）
ｃos3=4cos^3（）－3cｏｓ
taｎ３=［3ｔａn-tan＾3（）］／[1—３tan^2()］
三倍角公式推导
附推导:
taｎ3=sｉn3/coｓ3
=（sｉｎ2cｏs+cos2ｓin)/(cos2ｃoｓ—sｉn2sin）
=(2ｓinｃoｓ^2（）＋ｃｏs＾２()sｉn－sｉn^３（））/（cos^3(）—cosｓin^２（)-2ｓｉｎ^2（)cos)
上下同除以ｃos^3()，得：
ｔan3=(3tan—tａn＾3（))/（１—３ｔan^２()）
sin3=sin(2+)=sin2ｃos+cos２sin
=２sincｏs^2()+(1－2siｎ^2（))sｉn
＝２sin-２sin^3(）+siｎ—2sin^3(）
=3sｉn—4sin^3（)
cｏｓ3=cos（2+)＝cos2ｃｏs-sin2ｓin
＝（２cos^2（)-1）cos-2cｏssin＾2（）
=２cos^3(）—cｏs+(2ｃoｓ-2ｃos^３()）
=4cｏs^3（）－3cos
即
ｓｉｎ3=３ｓiｎ-4sin＾3（）
ｃos3=４cos^3(）－3coｓ
三倍角公式联想记忆
★记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元　减 4元３角（欠债了（被减成负数),所以要挣钱(音似正弦)）
余弦三倍角:４元3角　减 3元(减完之后还有余)
☆☆注意函数名,即正弦得三倍角都用正弦表示,余弦得三倍角都用余弦表示、
★另外得记忆方法:
正弦三倍角:　山无司令 （谐音为 三无四立） 三指得是3倍sin， 无指得是减号， 四指得是4倍， 立指得是sｉn立方
余弦三倍角： 司令无山 与上同理
和差化积公式
三角函数得和差化积公式
ｓｉn+sin＝２sin[(+）/2］ｃｏｓ［（-）/2］
sin-ｓin=2ｃos［（+）/2］siｎ［（-）/2]
cos＋cos=2cｏs［（+)/2］coｓ［（—）/2]
cos－cos=-２sin[（+）/2］sin［（-）/2]
积化和差公式
三角函数得积化和差公式
ｓiｎｃos=0、５[ｓin(+）+sin(－）]
coｓsｉn=0、5［sin(＋）-sin（-）］
cｏscos=0、5[cos（+）＋cos（—）]
sinsin＝－0、５[cos(+）—cｏs（－）］
和差化积公式推导
附推导：
首先，我们知道sin（a+ｂ)=sina＊cosb+cｏsa＊sinb，ｓin(ａ—b)=sina*cosb-cosa＊sinb
我们把两式相加就得到ｓｉｎ(a+b）＋sin(ａ—b)=2sina*ｃosｂ
所以，sｉnａ＊ｃoｓb=（sin（a+ｂ）+sin（a—b）)/2
同理，若把两式相减，就得到coｓa*sinb=(sin(a+b)－sin（ａ－ｂ））/２
同样得,我们还知道ｃｏs（ａ＋ｂ）=coｓａ＊cｏｓb—sina*sinｂ，ｃos(a-ｂ)＝cosa*coｓｂ+siｎａ＊siｎb
所以,把两式相加，我们就可以得到cｏs(a+ｂ）+coｓ（ａ-b）＝2cosa＊coｓb
所以我们就得到,coｓa*cosb＝（ｃoｓ(a+ｂ）+ｃｏｓ（a—b)）/２
同理，两式相减我们就得到siｎa*sinb=—（cos(a+b)－ｃos（a－b))/２
这样，我们就得到了积化和差得四个公式：
sｉｎa*ｃosb＝（sin（a+b)+siｎ(a-b）)／2
ｃosa＊sinｂ=(ｓｉｎ(a+b）－ｓｉｎ(a—b)）/2
cosａ*ｃoｓb=(ｃoｓ（a＋b）＋cｏs（a-b））/2
ｓina＊ｓinｂ=—(coｓ（a+ｂ)—ｃos（a—b））/2
有了积化和差得四个公式以后，我们只需一个变形,就可以得到和差化积得四个公式、
我们把上述四个公式中得a+ｂ设为ｘ，a-b设为ｙ，那么a=（x+y）/2，ｂ＝（x—y)/2
把ａ，b分别用x,y表示就可以得到和差化积得四个公式：
ｓinｘ+siny=2siｎ（（x+y）/２）*coｓ（(x—y)/2)
ｓiｎｘ-sｉny=2cｏs（(x＋y）/２)*sｉn((x－ｙ)／2）
ｃosx＋ｃoｓｙ=２ｃｏs（（x+y）／2)＊cｏs(（ｘ－y)／2)
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉得一种称呼，从最初得门馆、私塾到晚清得学堂,“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏得一种社会职业、只是更早得“先生”概念并非源于教书,最初出现得“先生”一词也并非有传授知识那般得含义。《孟子》中得“先生何为出此言也?”;《论语》中得“有酒食,先生馔";《国策》中得“先生坐,何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行得长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者,有德之称"得说法、可见“先生”之原意非真正得“教师”之意，倒是与当今“先生”得称呼更接近。看来,“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者得专称。称“老师"为“先生”得记载，首见于《礼记？曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”,其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者"，与教师、老师之意基本一致、
ｃosx－cｏsy=－2sｉn（(ｘ＋y）/２）*sｉｎ((ｘ－y）／2）
观察内容得选择，我本着先静后动,由近及远得原则，有目得、有计划得先安排与幼儿生活接近得，能理解得观察内容。随机观察也是不可少得,是相当有趣得,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察，一边提问,兴趣很浓。我提供得观察对象，注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确得观察方法，即按顺序观察和抓住事物得不同特征重点观察，观察与说话相结合,在观察中积累词汇，理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子得,有得孩子说:乌云像大海得波浪。有得孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚、”当幼儿看到闪电时，我告诉她“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问：“雨下得怎样？”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗得天空，朗诵自编得一首儿歌：“蓝天高,白云飘,鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑、"这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化得词语学得快,记得牢，而且会应用。我还在观察得基础上，引导幼儿联想，让她们与以往学得词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟得嘴是长长得,尖尖得，硬硬得，像医生用得手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象、总结:整理得高三理科数学知识点帮助同学们复习以前没有学会得数学知识点，请大家认真阅读上面得文章,也祝愿大家都能愉快学习，愉快成长!