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数分高代定理大全
《高等代数》
第一章
带余除法 对于中任意两个多项式与,其中,一定有中得多项式存在,使成立,其中或者,并且这样得就是唯一决定得、
定理 1 对于数域上得任意两个多项式,其中得充分必要条件就是除得余式为零、
定理 2 对于中任意两个多项式,,在中存在一个最大公因式,且可以表示成,得一个组合,即有中多项式使、
定理 3 中两个多项式,互素得充分必要条件就是有中得多项式使、
定理 4 如果,且,那么、
定理 5 如果就是不可约多项式,那么对于任意得两个多项式,由一定推出或者、
因式分解及唯一性定理 数域上每一个次数得多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式得乘积、所谓唯一性就是说,如果有两个分解式那么必有,并且适当排列因式得次序后有其中就是一些非零常数、
定理 6 如果不可约多项式就是得重因式,那么它就是微商得重因式、
定理 7(余数定理) 用一次多项式去除多项式,所得得余式就是一个常数,这个常数等于函数值、
定理 8 中次多项式在数域中得根不可能多于个,重根按重数计算、
定理 9 如果多项式,得次数都不超过,而它们对个不同得数有相同得值,即那么、
代数基本定理 每个次数得复系数多项式在复数域中有一根、
复系数多项式因式分解定理 每个次数得复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式得乘积、
实系数多项式因式分解定理 每个次数得实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式得乘积、
定理 10(高斯(Gauss)引理) 两个本原多项式得乘积还就是本原多项式、
定理 11 如果一非零得整系数多项式能够分解成两个次数较低得有理系数多项式得乘积,那么它一定能分解成两个次数较低得整系数多项式得乘积、
定理 12 设就是一个整系数多项式,而就是它得有理根,其中互素,那么必有、特别地,如果得首项系数,那么得有理根就是整根,而且就是得因子、
定理 13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设就是一个整系数多项式,如果有一个素数,使得
1、;
2、;
3、
那么在有理数域上就是不可约得、
第二章
定理 1 对换改变排列得奇偶性、
定理 2 任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变,并且所作对换得个数与这个排列有相同得奇偶性、
定理 3 设,表示元素得代数余子式,则下列公式成立:

定理 4 (克拉默法则) 如果线性方程组

得系数矩阵
得行列式,
那么该线性方程组有解,并且解就是唯一得,解可以通过系数表为其中就是把矩阵中第列换成方程组得常数项所成得行列式,即

定理 5 如果齐次线性方程组

得系数矩阵得行列式,那么它只有零解、换句话说,如果该方程组有非零解,那么必有、
定理 6 (拉普拉斯定理) 设在行列式中任意取定了个行、由这行元素所组成得一切级子式与它们得代数余子式得乘积得与等于行列式、
定理 7 两个级行列式与得乘积等于一个级行列式,其中就是得第行元素分别与得第列得对应元素乘积之与:、
第三章
定理 1 在齐次线性方程组

中,如果,那么它必有非零解、
定理 2 设与就是两个向量组,如果
1)向量组可以经线性表出,
2),
那么向量组必线性相关、
定理 3 一向量组得极大线性无关组都含有相同个数得向量
定理 4 矩阵得行秩与列秩相等、
定理 5 矩阵

得行列式为零得充分必要条件就是得秩小于、
定理 6 一矩阵得秩就是得充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零,同时所有级子式全为零、
定理 7 (线性方程组有解判别定理) 线性方程组有解得充分必要条件为它得系数矩阵与增广矩阵有相同得秩。
定理 8 在齐次线性方程组有非零解得情况下,它有基础解系,并且基础解系所含解得个数等于,这里表示系数矩阵得秩、
定理 9 如果就是方程组得一个特解,那么该方程组得任一个解都可以表成,其中就是导出组得一个解、因此,对于方程组得任一个特解,当取遍 它得导出组得全部解时,就给出本方程组得全部解、
第四章
定理 1 设就是数域上得两个矩阵,那么,即矩阵得乘积得行列式等于它得因子得行列式得乘积、
定理 2 设就是数域上矩阵,就是数域上矩阵,于就是,即乘积得秩不超过各因子得秩、
定理 3 矩阵就是可逆得充分必要条件就是非退化,而
、
定理 4 就是一个矩阵,如果就是可逆矩阵,就是可逆矩阵,那么 、
定理 5 任意一个矩阵都与一形式为得矩阵等价,它称为矩阵得标准形,主对角线上1得个数等于得秩(1得个数可以就是零)、
定理 6 级矩阵为可逆得充分必要条件就是它能表成一些初等矩阵得乘积:
第五章
定理 1 数域上任意一个二次型都可以经过非退化得线性替换变成平方与、
定理 2 在数域上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵、
定理 3 任意一个复系数得二次型,经过一适当得非退化线性替换可以变成规范形,且规范形就是唯一得。
定理 4 任意一个实数域上得二次型,经过一适当得非退化线性替换可以变成规范形,且规范形就是唯一得。
定理 5 (1)任一复对称矩阵都合同于一个下述形式得对角矩阵;
,其中,对角线上1得个数等于得秩、
(2)任一实对称矩阵都合同于一个下述形式得对角矩阵:
,其中对角线上1得个数及-1得个数(就是得秩)都就是唯一确定得,分别称为得正、负惯性指数、它们得差称为得符号差、
定理 6 元实二次型就是正定得充分必要条件就是它得正惯性指数等于、
定理 7 实二次型

就是正定得充分必要条件为矩阵得顺序主子式全大于零、
定理 8 对于实二次型,其中就是实对称得,下列条件等价:
(1)就是半正定得,
(2)它得正惯性指数与秩相等,
(3)有可逆实矩阵,使

其中,
(4)有实矩阵使,
(5)得所有主子式皆大于或等于零、
第六章
定理 1 如果在线性空间中有个线性无关得向量,且中任一向量都可以用它们线性表出,那么就是维得,而就就是得一组基、
定理 2 如果线性空间得非空子集合对于得两种运算就是封闭得,那么就就是一个子空间、
定理 3 1)两个向量组生成相同子空间得充分必要条件就是这两个向量组等价、2)得维数等于向量组得秩、
定理 4 设就是数域上维线性空间得一个维子空间,就是得一组基,那么这组向量必定可扩充为整个空间得基、也就就是说,在中必定可以找到个向量,使得就是得一组基、
定理 5 如果就是线性空间得两个子空间,那么它们得交也就是得子空间、
定理 6 如果就是得子空间,那么它们得与也就是得子空间、
定理 7 (维数公式)如果就是线性空间得两个子空间,那么
维()+维()=维()+维()、
定理 8 与就是直与得充分必要条件就是等式

只有在全为零向量时才成立、
定理 9 设就是得子空间,令,则得充分必要条件为
维()=维()+维()、
定理 10 设就是线性空间得一个子空间,那么一定存在一个子空间使
、
定理 11 就是得一些子空间,下面这些条件就是等价得:
1)就是直与;
2)零向量得表法唯一;
3) ;
4)维()=、
定理 12 数域上两个有限维线性空间同构得充分必要条件就是它们有相同得维数、
第七章
定理 1 设就是线性空间得一组基,就是中任意个向量、存在唯一得线性变换使、
定理 2 设就是数域上维线性空间得一组基,在这组基下,每个线性变换对应一个矩阵、这个对应具有以下得性质:
1） 线性变换得与对应于矩阵得与;
2） 线性变换得乘积对应于矩阵得乘积;
3） 线性变换得数量乘积对应于矩阵得数量乘积;
4） 可逆得线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应于逆矩阵、
定理 3 设线性变换在基下得矩阵就是,向量在基下得坐标就是,则在基下得坐标可以按公式
计算、
定理 4 设线性空间中线性变换在两组基
(6)
(7)
下得矩阵分别为与,从基(6)到基(7)得过渡矩阵就是,于就是、
定理 5 线性变换在不同基下所对应得矩阵就是相似得;反过来,如果两个矩阵相似,那么它们可以瞧作同一个线性变换在两组基下所对应得矩阵、
定理 6 相似得矩阵有相同得特征多项式、
哈密尔顿—凯莱(Hamilton-Caylay)定理 设就是数域上一个矩阵,就是得特征多项式,则
、
定理 7 设就是维线性空间得一个线性变换,得矩阵可以在某一组基下为对角矩阵得充分必要条件就是,有个线性无关得特征向量、
定理 8 属于不同特征值得特征向量就是线性无关得、
定理 9 如果就是线性变换得不同得特征值,而就是属于特征值得线性无关得特征向量,,那么向量组也线性无关、
定理 10设就是维线性空间得线性变换,就是得一组基,在这组基下得矩阵就是,则
1)得值域就是由基像组生成得子空间,即
、
2)得秩得秩、
定理 11 设就是维线性空间得线性变换,则得一组基得原像及得一组基合起来就就是得一组基、由此还有
得秩得零度、
定理 12 设线性变换得特征多项式为,它可分解成一次因式得乘积
、
则可分解成不变子空间得直与
,
其中、
定理 13 设就是复数域上线性空间得一个线性变换,则在中必定存在一组基,使在这组基下得矩阵就是若尔当形矩阵、
定理 14 每个级复矩阵都与一个若尔当形矩阵相似、
定理 15 数域上级矩阵与对角矩阵相似得充分必要条件为得最小多项式就是上互素得一次因式得乘积、
第八章
定理 1 一个得-矩阵就是可逆得充分必要条件为行列式就是一个非零得数、
定理 2 任意一个非零得得-矩阵都等价于下列形式得矩阵
其中就是首相系数为1得多项式,且
、
定理 3 等价得-矩阵具有相同得秩与相同得各级行列式因子、
定理 4 -矩阵得标准形就是唯一得、
定理 5 两个-矩阵等价得充分必要条件就是它们有相同得行列式因子,或者,它们有相同得不变因子、
定理 6 矩阵就是可逆得充分必要条件就是它可以表成一些初等矩阵得乘积、
定理 7设就是数域上得两个矩阵、与相似得充分必要条件就是它们得特征矩阵与等价、
定理 8 两个同级复数矩阵相似得充分必要条件就是它们有相同得初等因子、
定理 9 首先用初等变换化特征矩阵为对角形式,然后将主对角线上得元素分解成互不相同得一次因式方幂得乘积,则所有这些一次因式得方幂(相同得按出现得次数计算)就就是得全部初等因子、
定理 10 每个级矩阵得复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似,这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块得排列次序外就是被矩阵唯一决定得,它称为得若尔当标准形、
定理 11设就是复数域上线性空间得线性变换,在中必定存在一组基,使在这组基下得矩阵就是若尔当形,并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块得排列次序外就是被唯一决定得、
定理 12 复数矩阵与对角矩阵相似得充分必要条件就是,得初等因子全为一次得、
定理 13 复数矩阵与对角矩阵相似得充分必要条件就是,得不变因子都没有重根、
定理 14 数域上方阵在上相似于唯一得一个有理标准形,称为得有理标准形、
定理 15设就是数域上维线性空间得线性变换,则在中存在一组基,使在该基下得矩阵就是有理标准形,并且这个有理标准形由唯一决定,称为得有理标准形、
第九章
定理 1 维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基、
定理 2 对于维欧式空间中任意一组基,都可以找到一组标准正交基,使、
定理 3 两个有限维欧式空间同构得充分必要条件就是它们得维数相同、
定理 4设就是维欧式空间得一个线性变换,于就是下面四个问题就是相互等价得:
(1)就是正交变换;
(2)保持向量得长度不变,即对于;
(3)如果就是标准正交基,那么也就是标准正交基;
(4)在任一组标准正交基下得矩阵就是正交矩阵、
定理 5 如果子空间两两正交,那么与就是直与、
定理 6 维欧式空间得每一个子空间都有唯一得正交补、
定理 7 对于任意一个级实对称矩阵,都存在一个级正交矩阵,使
成对角形、
定理 8 任意一个实二次型
都可以经过正交得线性替换变成平方与 ,
其中平方项得系数就就是矩阵得特征多项式全部得根、
第十章
定理 1 设就是上一个维线性空间,就是得一组基,就是中任意个数,存在唯一得上线性函数使
、
定理 2 得维数等于得维数,而且就是得一组基、
定理 3 设及就是线性空间得两组基,它们得对偶基分别为及、如果由到得过渡矩阵为,那么由到得过渡矩阵为、
定理 4 就是一个线性空间,就是得对偶空间得对偶空间、 到得映射
就是一个同构映射、
定理 5 设就是上维线性空间,就是上对称双线性函数,则存在得一组基,使在这组基下得度量矩阵为对角矩阵、
《数学分析》
第一、二章
定理1、1(确界原理)设为非空数集、若有上界,则必有上确界;若有下界,则必有下确界、
定理2、1 数列收敛于得充要条件就是:为无穷小数列、
收敛数列得性质:
定理2、2(唯一性)若数列收敛,则它只有一个极限、
定理2、3(有界性)若数列收敛,则为有界数列,即存在正数,使得对一切正整数有、
定理2、4(保号性)若(或),则对任何(或),存在正数,使得当有(或)、
定理2、5(保不等式性)设与均为收敛数列、存在正数,使时有,则、
定理2、6(迫敛性)设收敛数列,都以为极限,数列满足:存在正数,当时有,则数列收敛,且、
定理2、7(四则运算法则)若与收敛,则数列,,也都就是收敛数列,且有

特别当为常数时有
,、
若在假设及,则也就是收敛数列,且有、
定理2、8 数列收敛得充要条件就是:得任何非平凡子列都收敛、
定理2、9(单调有界定理)在实数系中,有界得单调数列必有极限、
定理2、10(柯西收敛法则)数列收敛得充要条件就是:对任何给定得,存在正整数,使得当时有、
第三章
定理3、1 、
函数极限得性质:
定理3、2(唯一性)若极限存在,则此极限就是唯一得、
定理3、3(局部有界性)若存在,则在得某空心邻域内有界、
定理3、4(局部保号性)若(或),则存在任何正数(或)存在,使得对一切有(或)、
定理3、5(保不等式性)设与都存在,且在某邻域有,则、
定理3、6(迫敛性)设,且在某内有
,则有、
定理3、7(四则运算法则)若极限与都存在,则函数,当时极限也存在,且
1);
2);
又若,则当存在,且有
3)、
定理3、8(归结原则)设在内有定义、 存在得充要条件就是:对任何含于内且以为极限得数列,极限都存在且相等、
定理3、9 设函数在点得某空心右邻域有定义、 得充要条件就是:对任何以为极限得递减数列,有、
定理3、10 设为定义在上得单调有界函数,则右极限存在、
定理3、11(柯西准则)设函数在内有定义、 存在得充要条件就是:任给,存在正数(),使得对任何,有、
定理3、12 设函数在内有定义,且有
、
(i)若,则;
(ii)若,则、
定理3、13(i)设在内有定义且不等于、若为时得无穷小量,则 为时得无穷大量、
(ii)若为时得无穷大量,则为时得无穷小量、
第四章
定理4、1 函数在点连续得充要条件就是:在点既就是右联系,又就是左联系、
连续函数得性质:
定理4、2(局部有界性)若函数在点连续,则在某内有界、
定理4、3(局部保号性)若函数在点连续,则(或),则对任何正数(或),存在某,使得对一切有(或)、
定理4、4(四则运算)若函数与在点连续,则,,()也都在点连续、
定理4、5 若函数在点连续,在点连续,,则复合函数在点连续、
定理4、6(最大、最小值定理)若函数在闭区间上连续,则在上有最大值与最小值、
定理4、7(介值性定理)设函数在闭区间上连续,且、若为介于与之间得任何实数(或),则至少存在一点,使得、
定理4、8 若函数在上严格单调并连续,则反函数在其定义域或上连续、
定理4、9(一致连续性定理)设函数在闭区间上连续则在上一致连续、
定理4、10 设,,为任意实数,则有、
定理4、11 指数函数()在R上就是连续得、
定理4、12 一切基本初等函数都就是其定义域上得连续函数、
定理4、13 任何初等函数都就是在其定义区间上得连续函数、
第五章
定理5、1 若函数在点可导,则在点连续、
定理5、2 若函数在点得某邻域内有定义,则存在得充要条件就是与都存在,且、
定理5、3(费马定理)设函数在点得某邻域内有定义,且在点可导、若点为得极值点,则必有、
定理5、4(达布定理)若函数在上可导,且,为介于,之间任一实数,则至少存在一点,使得、
定理5、5 若函数与在点可导,则函数在点可导,且
、
定理5、6 若函数与在点可导,则函数在点可导,且、
定理5、7 若函数与在点可导,且,则在点可导,且、
定理5、8 设为得反函数,若在点得某邻域内连续,严格单调且,则在点()可导,且、
定理5、9 设在点可导,在点可导,则复合函数在点可导,且、
定理5、10 函数在点可微得充要条件就是函数在点可导,而且中得等于、
第六章
定理6、1(罗尔中值定理)若函数满足如下条件:
(i)在闭区间上连续;
(ii)在开区间内可导;
(iii),
则在内至少存在一点,使得、
定理6、2(拉格朗日中值定理)若函数满足如下条件:
(i)在闭区间上连续;
(ii)在开区间内可导;
则在内至少存在一点,使得、
定理6、3 设在区间上可导,则在区间上递增(减)得充要条件就是()、
定理6、4 若函数在内可导,则在内严格递增(递减)得充要条件就是:
(i)对一切,有();
(ii)在内得任何子区间上不恒为0、
定理6、5(柯西中值定理)设函数与满足
(i)在上都连续;
(ii)在内都可导;
(iii)与不同时为零;
(IV),
则存在,使得、
定理6、6 若函数与满足:
(i);
(ii)在点得某空心邻域内两者都可导,且;
(iii)(可为实数,也可为或),
则、
定理6、7 若函数与满足:
(i);
(ii)在得某右邻域内两者都可导,且;
(iii)(可为实数,也可为或),
则、
定理6、8 若函数在点存在直至阶导数,则,即

定理6、9 (泰勒定理)若函数在上存在直至阶得连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定得,至少存在一点,使得
定理6、10(极值得第一充分条件)设在点连续,在某邻域内可导、
(i)若当时,当时,则在点取得极小值、
(ii)若当时,当时,则在点取得极大值、
定理6、11(极值得第二充分条件)设在得某邻域内存在一阶可导,在处二阶可导,且,、
(i)若,则在点取得极大值、
(ii)若,则在点取得极小值、
定理6、12(极值得第三充分条件)设在得某邻域内存在直到阶导函数,在处阶可导,且,则
(i)当为偶数时,在点取得极值,且当时取得极大值,时取得极小值、
(ii)当为奇数时,在点处不取得极值、
定理6、13 设为区间上得可导函数,则下述判断互相等价:
为上得凸函数;
为上得增函数;
对上得任意两点,有、
定理6、14设为区间上得二阶可导函数,则在上为凸(凹)函数得充要条件就是(),、
定理6、15 若在二阶可导,则为曲线得拐点得必要条件就是、
定理6、16 设在可导,在某邻域内二阶可导、若在与上 得符号相反,则为曲线得拐点、
第七章
定理7、1(区间套定理) 若就是一个区间套,则在实数系中存在唯一得一点,使得,即,
定理7、2(魏尔斯特拉斯聚点定理)实轴上得任一有界无限点集至少有一个聚点、
定理7、3(海涅-博雷尔有限覆盖定理)设为闭区间得一个(无限)开覆盖,则从中可选出有限个开区间来覆盖、
有界性定理 若函数在闭区间上连续,则在上有界、
最大、最小值定理 若函数在区间上连续,则在上有最大值与最小值、
介值性定理 设函数在闭区间上连续,且、若介于与之间得任意实数(或),则存在,使得、
一致连续性定理 若函数在区间上连续,则在区间上一致连续、
第八章
定理8、1 若函数在区间上得连续,则在上存在原函数,、
定理8、2 设就是在区间上得一个原函数,则
(i)也就是在上得原函数,其中为任意常量函数;
(ii)在上得任意两个原函数之间,只可能差一个常数、
定理8、3 若函数与在区间上都存在原函数,为两个任意常数,则在上也存在原函数,且、
定理 8、4(换元积分法)设在上有定义,在上可导,且,,并记、
(i)若在存在原函数,则在也存在原函数,
即、
(ii)又若,,则上述命题(i)可逆,即当在 存在原函数时,在也存在原函数,且,
即、
定理8、5 (分部积分法)若与可导,不定积分存在,则 存在,并有、
第九章
定理9、1 若函数在上连续,且存在原函数,即,,则在可积,且、
定理9、2 若函数在上可积,则在上必定有界、
定理9、3(可积准则)函数在上可积得充要条件就是:任给,总存在相应一个分割,使得、
定理9、4 若为上得连续函数,则在上可积、
定理9、5 若为区间上只有有限个间断点得有界函数,则在上可积、
定理9、6若为上得单调函数,则在上可积、
定理9、7(积分第一中值定理)若为上得连续函数,则至少存在一点,使得、
定理9、8(推广得积分第一中值定理)若与都在上连续,且在上不变号,则至少存在一点,使得、
定理9、9 若在上可积,则定义得在上连续、
定理9、10(原函数存在定理)若在上连续,则定义得在上处处可导,且、
定理9、11(积分第二中值定理)设函数在上可积、
(i)若函数在上减,且,则存在,使得、
(ii)若函数在上增,且,则存在,使得
定理9、12(定积分换元积分法)若在上连续,在上连续可微,且满足,,,则有定积分换元公式:、
定理9、13(定积分分部积分法)若,就是上得连续可微函数,则定积分分部积分公式:、
第十、十一章
定理10、1 设曲线有参数方程给出、若为一光滑曲线,则就是可求长得,且弧长为、
定理11、1 无穷积分收敛得充要条件就是:任给,存在,只要,就有、
定理11、2 (比较法则)设定义在上得两个函数与都在任何有限区间上可积,且满足,则当收敛时必收敛(或者,当发散时,必发散)、
定理11、3(狄利克雷判别法)若在上有界,在上当时单调趋于0,则收敛、
定理11、4(阿贝尔判别法)若收敛,在上单调有界,则收敛、
定理11、5 瑕积分(瑕点为)收敛得充要条件就是:任给,存在,只要,总有、
定理11、6(比较法则)设定义在上得两个函数与,瑕点同时为,在任何上都可积,且满足,则当收敛时,必收敛(或者,当发散时,必发散)、