《线性代数》知识点 归纳整理-大学线代基础知识.doc

《线性代数》知识点 归纳整理 诚毅
学生 编
01、余子式与代数余子式 - 2 -
02、主对角线 - 2 -
03、转置行列式 - 2 -
04、行列式得性质 - 3 -
05、计算行列式 - 3 -
06、矩阵中未写出得元素 - 4 -
07、几类特殊得方阵 - 4 -
08、矩阵得运算规则 - 4 -
09、矩阵多项式 - 6 -
10、对称矩阵 - 6 -
11、矩阵得分块 - 6 -
12、矩阵得初等变换 - 6 -
13、矩阵等价 - 6 -
14、初等矩阵 - 7 -
15、行阶梯形矩阵 与 行最简形矩阵 - 7 -
16、逆矩阵 - 7 -
17、充分性与必要性得证明题 - 8 -
18、伴随矩阵 - 8 -
19、矩阵得标准形: - 9 -
20、矩阵得秩: - 9 -
21、矩阵得秩得一些定理、推论 - 9 -
22、线性方程组概念 - 9 -
23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组(不含向量) - 9 -
24、行向量、列向量、零向量、负向量得概念 - 11 -
25、线性方程组得向量形式 - 11 -
26、线性相关 与 线性无关 得概念 - 11 -
27、向量个数大于向量维数得向量组 必然线性相关 - 11 -
28、线性相关、线性无关;齐次线性方程组得解;矩阵得秩 这三者得关系及其例题 - 11 -
29、线性表示 与 线性组合 得概念 - 11 -
30、线性表示;非齐次线性方程组得解;矩阵得秩 这三者得关系其例题 - 12 -
31、线性相关(无关)与线性表示得3个定理 - 12 -
32、最大线性无关组与向量组得秩 - 12 -
33、线性方程组解得结构 - 12 -
01、余子式与代数余子式
(1)设三阶行列式D＝,则
①元素,,得余子式分别为:M11＝,M12＝,M13＝
对M11得解释:划掉第1行、第1列,剩下得就就是一个二阶行列式,这个
行列式即元素得余子式M11。其她元素得余子式以此类推。
②元素,,得代数余子式分别为:A11＝(－1)1＋1M11 ,A12＝(－1)1＋2M12 ,
A13＝(－1)1＋3M13 、 对Aij得解释(i表示第i行,j表示第j列):Aij＝(－1)i＋j M ij 、
(N阶行列式以此类推)
(2)填空题求余子式与代数余子式时,最好写原式。比如说,作业P1第1题:
M31＝,A31＝(-1)3+1
(3)例题:课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题
02、主对角线
一个n阶方阵得主对角线,就是所有第k行第k列元素得全体,k=1, 2, 3… n,即从左上到右下
得一条斜线。与之相对应得称为副对角线或次对角线,即从右上到左下得一条斜线。
03、转置行列式

即元素与元素得位置对调(i表示第i行,j表示第j列),比如说,与得位置对调、与得位置对调。
04、行列式得性质
详见课本P5-8(性质1、1、1~ 1、1、7)
其中,性质1、1、7可以归纳为这个:
＋＋ … ＋ (i表示第i行,k表示第k列)
熟练掌握行列式得性质,可以迅速得简化行列式,方便计算。 例题:作业P1第2题
05、计算行列式
(1)计算二阶行列式:
①方法(首选):＝(即,左上角×右下角－右上角×左下角)
②方法:＝＝
例题:课本P14
(2)计算三阶行列式:
＝＝(－1)1＋1M11 ＋(－1)1＋2M12 ＋(－1)1＋3M13
N阶行列式得计算以此类推。通常先利用行列式得性质对行列式进行转化,0元素较多时方便计算、(r就是row,即行。c就是column,即列)
例题:课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题
(3)n阶上三角行列式(0元素全在左下角)与n阶下三角行列式(0元素全在右上角):
D＝…(主对角线上元素得乘积)
例题:课本P10、作业P3第4小题
有得题可以通过“从第二行起,将各行得元素对应加到第一行”转化成上三角行列式
例题:课本P11
(4)范德蒙行列式:详见课本P12-13
(5)有得题可以通过“从第二行起,将各行得元素对应加到第一行”提取出“公因式”,得到
元素全为1得一行,方便化简行列式。
例题:作业P2第1小题、作业P2第2小题
06、矩阵中未写出得元素
课本P48下面有注明,矩阵中未写出得元素都为0
07、几类特殊得方阵
详见课本P30-32
(1)上(下)三角矩阵:类似上(下)三角行列式
(2)对角矩阵:除了主对角线上得元素外,其她元素都为0
(3)数量矩阵:主对角线上得元素都相同
(4)零矩阵:所有元素都为0,记作O
(5)单位矩阵:主对角线上得元素都为1,其她元素全为0,记作E或En (其行列式得值为1)
08、矩阵得运算规则
(1)矩阵得加法(同型得矩阵才能相加减,同型,即矩阵A得行数与矩阵B得行数相同;
矩阵A得列数与矩阵B得列数也相同):
①课本P32“A＋B”、“A－B”
②加法交换律:A＋B＝B＋A
③加法结合律:A＋(B＋C)＝(A＋B)＋C
(2)矩阵得乘法(基本规则详见课本P34阴影):
①数与矩阵得乘法:
I、课本P33“kA”
II、＝kn(因为k只等于用数k乘以矩阵A得一行或一列后得到得矩阵得行列式)
②同阶矩阵相乘(高中理科数学选修矩阵基础):
×＝
描述:令左边得矩阵为①,令右边得矩阵为②,令计算得到得矩阵为,则
A得值为:①中第1行得每个元素分别乘以②中第1列得每个元素,并将它们相加。
即A＝×＋×
B得值为:①中第1行得每个元素分别乘以②中第2列得每个元素,并将它们相加。
即B＝×＋×
C得值为:①中第2行得每个元素分别乘以②中第1列得每个元素,并将它们相加。
即C＝×＋×
D得值为:①中第2行得每个元素分别乘以②中第2列得每个元素,并将它们相加。
即D＝×＋×、
×＝
描述:令左边得矩阵为①,令右边得矩阵为②,令计算得到得矩阵为,则
A得值为:①中第1行得每个元素分别乘以②中第1列得每个元素,并将它们相加。
即A＝×＋×＋×
B、C、D、E、F、G、H、I得值得求法与A类似。
③数乘结合律:k(lA)＝(kl)A ,(kA)B＝A(kB)＝k(AB)
④数乘分配律:(k＋l)A＝kA＋lA ,k(A＋B)＝kA＋kB
⑤乘法结合律:(AB)C＝A(BC)
⑥乘法分配律:A(B＋C)＝AB＋AC ,(A＋B)C＝AC＋BC
⑦需注意得:
I、课本P34例题两个不等于零得矩阵得乘积可以就是零矩阵
II、课本P34例题数乘得消去律、交换律不成立
III、一般来讲,(AB)k ≠ A k B k,因为矩阵乘法不满足交换律
IV、课本P40习题第2题:(A＋B)2不一定等于A2＋2AB＋B2 ,(A＋B)2不一定等于A2＋2AB＋B2,(A＋B)(A－B)不一定等于A2－B2 、 当AB＝BA时,以上三个等式均成立
(3)矩阵得转置运算规律:
① (AT )T＝A
② (A±B)T＝A T±B T
③ (kA)T＝kAT
④ (AB)T＝B TAT
⑤ (ABC)T＝CTB TAT
⑥ (ABCD)T＝DTCTB TAT
(4)同阶方阵相乘所得得方阵得行列式等于两个方阵得行列式得乘积:(详见课本P46)
＝
(5)例题:课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1
大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业
P5第4大题
09、矩阵多项式
详见课本P 36
10、对称矩阵
(1)对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵得概念(详见课本P37)
(2)①同阶对称(反对称)矩阵得与、差仍就是对称(反对称)矩阵
②数 与 对称(反对称)矩阵得乘积仍就是对称(反对称)矩阵
③对称(反对称)矩阵得乘积不一定就是对称(反对称)矩阵
11、矩阵得分块
线代老师说这部分得内容做了解即可。
详见课本P38-40
12、矩阵得初等变换
三种行变换与三种列变换:详见课本P 42
例题:作业P6全部
13、矩阵等价
若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价,记为AB
14、初等矩阵
(1)就是由单位矩阵经由一次初等变换而得到得矩阵。详见课本P48-49
(2)设A为m×n矩阵,则对A施行一次初等行变换相当于在A得左边乘上一个相应得
m阶初等矩阵;A施行一次初等列变换相当于在A得右边乘上一个相应得n阶初等矩阵、详见课本P50-51
(3)课本P51第3大题
15、行阶梯形矩阵 与 行最简形矩阵
(1)对任意一个非零矩阵,都可以通过若干次初等行变换(或对换列)化为行阶梯型矩阵
(2)行阶梯形矩阵与行最简形矩阵:
若在矩阵中可画出一条阶梯线,线得下方全为0,每个台阶只有一行(台阶数即就是非零行得行数),阶梯线得竖线(每段竖线得长度为一行)后面得第一个元素为非零元素,也就就是非零行得第一个非零元素,则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上,若非零行得第一个非零元素为都为1,且这些非零元素所在得列得其她元素都为0,则称该矩阵为行最简形矩阵。例题:课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题
16、逆矩阵
(1)设A为n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得AB＝BA＝E,则称方阵A就是可逆得,
并称B为A得逆矩阵、(由逆矩阵得定义可知,非方阵得矩阵不存在逆矩阵)
(2)如果方阵A可逆,则A得逆矩阵就是唯一得,并将A得逆矩阵记作A－1,AA－1＝E
(3)n阶方阵A可逆得充要条件为≠0,并且,当A可逆时,
A－1＝

(证明详见课本P54)
例题:课本P59第1大题
(4)可逆矩阵也称为非奇异方阵(否则称为奇异方阵)
(5)性质:设A,B都就是n阶得可逆方阵,常数k≠0,那么
① (A－1)－1＝A ② AT也可逆,并且(AT )-1＝(A-1)T
③ kA也可逆,并且
(kA)-1＝A-1
④ AB也可逆,并且(AB) -1＝B-1A-1
⑤ A＋B不一定可逆,而且即使A＋B可逆,一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1
⑥ AA-1＝E AA-1＝E＝1 AA-1＝1
A-1＝

例题:课本P58例2、3、7、作业P7第1题
(6)分块对角矩阵得可逆性:课本P57
(7)由方阵等式求逆矩阵:课本P58例2、3、6
(8)单位矩阵、所有初等矩阵都就是可逆得(初等矩阵就是由单位矩阵经由一次初等变换而得到
得,即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵,而单位矩阵得行列式=1≠0可逆,所
以初等矩阵可逆)
(9)初等矩阵得逆矩阵也就是初等矩阵
(10)任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵
(11)方阵A可逆得充要条件就是:A可以表示为若干个初等矩阵得乘积(证明:课本P67)
(12)利用初等行变换求逆矩阵:A-1(例题:课本P68、课本P71)
(13)形如AX＝B得矩阵方程,当方阵A可逆时,有A-1 AX＝A-1B,即X＝A-1B、
此时有:
矩阵方程得例题:课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、
课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题
矩阵方程计算中易犯得错误:课本P56“注意不能写成……”
17、充分性与必要性得证明题
(1)必要性:由结论推出条件
(2)充分性:由条件推出结论
例题:课本P41第8大题、作业P5第5大题
18、伴随矩阵
(1)定义:课本P52 定义2、3、2
(2)设A为n阶方阵(n≥2),则AA*＝A*A＝En(证明详见课本P53-54)
(3)性质:(注意伴随矩阵就是方阵)
① A*＝A－1

② (kA)* ＝ ·(kA)-1 ＝ k n·A-1 ＝ k n ·A-1 ＝ k n-1A*(k≠0)
③ |A*| ＝ | A－1 | ＝n·| A－1| ＝ n·(因为存在A－1,所以≠0 )＝ n-1
④ (A*)* ＝ (A－1)* ＝ | A－1 |·(A－1)－1 ＝ n | A－1|·(A－1)－1
＝ n·A ＝ n-2A (因为AA－1 ＝ E,所以A－1得逆矩阵就是A,即(A－1)－1 )
⑤ (AB) *＝B*A*
⑥
(A*)-1＝(A-1) *＝

(4)例题:课本P53、课本P55 、课本P58、课本P60第6大题、作业P7第2题、
作业P8全部
19、矩阵得标准形:
(1)定义:课本P61-62
(2)任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形
20、矩阵得秩:
(1)定义:课本P63
(2)性质:设A就是m×n得矩阵,B就是p×q得矩阵,则
① 若k就是非零数,则R (kA)＝R (A)
② R (A)＝R (AT )
③ 等价矩阵有相同得秩,即若AB,则R (A)＝R (B)
④ 0≤R (Am×n)≤min
⑤ R (AB)≤min
⑥ 设A与B都就是m×n矩阵,则R (A＋B)≤R (A)＋R (B)
(3)n阶方阵A可逆得充要条件就是:A得秩等于其阶数,即R (A)＝n
(4)方阵A可逆得充要条件就是:A可以表示为若干个初等矩阵得乘积。(证明:P67)
(5) 设A就是m×n矩阵,P、Q分别就是m阶与n阶可逆方阵,则R (A)＝R (PA)＝R (AQ)＝R (PAQ)
(6)例题:课本P64、课本P66、课本P71、作业P7第3题、作业P9全部
21、矩阵得秩得一些定理、推论
线代老师说这部分得内容做了解即可。详见课本P70
22、线性方程组概念
线性方程组就是各个方程关于未知量均为一次得方程组。
线性方程组经过初等变换后不改变方程组得解。
23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组(不含向量)
(1)定义:课本P81
(2)方程组得解集、方程组得通解、同解方程组:课本P81
(3)系数矩阵A、增广矩阵、矩阵式方程:课本P82
(4)矛盾方程组(方程组无解):课本P85例题
(5)增广矩阵得最简阶梯形:课本P87
(6)系数矩阵得最简阶梯形:课本P87
(7)课本P87下面有注明:交换列只就是交换两个未知量得位置,不改变方程组得解。为了方
便叙述,在解方程组时不用交换列。
(8)克莱姆法则:
①初步认知:
已知三元线性方程组,其系数行列式D＝、
当D≠0时,其解为:x1＝,x2＝,x3＝、
(其中D1＝,D2＝,D3＝)(Dn以此类推)
②定义:课本P15
③使用得两个前提条件:课本P18
④例题:课本P3、课本P16-17、课本P18、作业P3第7题
(9)解非齐次线性方程组(方程组施行初等变换实际上就就是对增广矩阵施行初等行变换)例题:
课本P26、课本P42、课本P82、课本P84、课本P85、课本P86第1大题、课本P88、
课本P91、作业P10第1题
(10)解齐次线性方程组例题:课本P17、课本P18、课本P85、课本P86、课本P90、课本
P91、作业P1第5题、作业P10第2题
(11)n元非齐次线性方程组AX＝b得解得情况:(R (A) 不可能＞ R ())
R (A) ＜ R () 无解
＜ n 有无穷多个解
R (A) ＝ R () 有解
＝ n 有唯一解
特别地,当A就是 ≠0 有唯一解
n阶方阵时,可 R (A) ＜ R () 无解
由行列式来判断 R (A) ＝ R () 有解 当＝0 有无穷多个解
例题:课本P86第2大题、课本P88、课本P92、作业P11第三题
(12)n元齐次线性方程组AX＝O得解得情况:(只有零解与非零解两种情况,有唯一解得充
要条件就是只有零解,有无穷多个解得充要条件就是有非零解)
R (A) ＝ n 只有零解(有唯一解,为0)
R (A) ＜ n 有非零解(有无穷多个解)
特别地,当A就是n阶方阵 ≠0 只有零解(有唯一解,为0)
时,可由行列式来判断 ＝0 有非零解(有无穷多个解)
例题:课本P24、课本P90-91、作业P11全部
24、行向量、列向量、零向量、负向量得概念
详见课本P92-93
将列向量组得分量排成矩阵计算时,计算过程中只做行变换,不做列变换。
初等行变换与初等行列变换得使用情况:矩阵、线性方程组、向量涉及行变换;列变换只在矩
阵中用。(行列式得性质包括行与列得变换)
手写零向量时不必加箭头。
25、线性方程组得向量形式
详见课本P93
26、线性相关 与 线性无关 得概念
详见课本P93-94
例题:课本P101第6大题 、作业P14第五大题
27、向量个数大于向量维数得向量组 必然线性相关
线代老师课上提到得结论。
28、线性相关、线性无关;齐次线性方程组得解;矩阵得秩 这三者得关系及其例题
详见课本P94 定理3、3、1、定理3、3、2
例题:课本P94-95 例3、3、2、课本P101第3大题、课 22本P101第5大题、作业P12第3小题、
作业P12第二大题、作业P13第三大题、作业P13第四大题
29、线性表示 与 线性组合 得概念
详见课本P95
30、线性表示;非齐次线性方程组得解;矩阵得秩 这三者得关系其例题
详见课本P95-96 定理3、3、3
例题:课本P95-96 例3、3、4
31、线性相关(无关)与线性表示得3个定理
详见课本P96 定理3、3、4、课本P97定理3、3、5、课本P98定理3、3、6
32、最大线性无关组与向量组得秩
详见课本P98-100 定义3、3、5、定义3、3、6、定3、3、7
单位列向量,即“只有一个元素为1,且其余元素都为0”得一列向量(求最大线性无关组 用)
例题:课本P100 例3、3、5、课本P101第4大题、作业P14第六大题
33、线性方程组解得结构
瞧此内容之前,最好先复习下“n元非齐次线性方程组AX＝b得解得情况”与“n元齐次线性
方程组AX＝O得解得情况”。
(1)n元齐次线性方程组AX＝O解得结构
① 定理3、4、1:详见课本P101-102
② 定义3、4、1(并理解“基础解系、通解、结构式通解、向量式通解”):详见课本P102
③ 定理3、4、2:详见课本P102
④ 解题步骤(“注”为补充说明)(以课本P104例3、4、1为例):
(I)A ＝ … …
注:往“行最简形矩阵”方向转化(因为在解方程组时不用列变换,所以一般没法
真正转化成行最简形矩阵,所以说“往……方向转化”)。
(II)得到同解方程组
注:由得到同解方程组
(III)∴ 此方程组得一组解向量为:＝,＝,＝
注:在草稿纸上写成以下形式,其中未写出得系数有得就是1有得就是0,一瞧便知

(IV)显然,,线性无关。
注:根据课本P93-94 定义3、3、3 得出线性无关,注意,,下面分别就是:
、 、 ,令它们分别为 、、,则显然＝0×＋0×,
＝0×＋0×,＝0×＋0×,可想而知,线性无关。
(V)∴ ,,为方程组得基础解系,方程组得通解为:k1＋k2＋k3(k1,
k2,k3可取任意值)
注:根据课本P102 定义3、4、1 得出该方程组得通解。
⑤ 其她例题:课本P109 第1大题、课本P109第3大题、课本P109第4大题、作业
P15第一大题第1小题、作业P15第一大题第3小题
(2)n元非齐次线性方程组AX＝b解得结构
① 导出方程组:非齐次线性方程组AX＝b对应得齐次线性方程组AX＝O(详见课本P105)
② 定理3、4、3:详见课本P105
③ 定义3、4、4:详见课本P105
④ 定义3、4、5:详见课本P105
⑤ 课本P105 “上述定理表明,……(3、4、6)得形式”这段内容
⑥ 解题步骤(“注”为补充说明,做题时不用写在卷上)(以课本P106例3、4、2为例):
(I)＝ …… … …
(II)得到同解方程组
注:由 得到同解方程组
(III)令＝0,得到原方程组得特解X0＝
注:在草稿纸上写成以下形式,其中未写出得系数有得就是1有得就是0,一瞧便知。得到原方程组得特解即以下形式得常数部分。

(IV)导出方程组得同解方程为:
注:导出方程组,即非齐次线性方程组AX＝b对应得齐次线性方程组AX＝O,
即步骤(III)“注”得“形式”得系数部分。
(V)令＝1,得到方程组得基础解系＝,则原方程组得通解为:
X0 ＋ k(k可取任意值)
⑦ 其她例题:
(I)课本P107 例3、4、3(之前先复习“n元非齐次线性方程组AX＝b得解得情况”)
要将含有参数得式子作为分母时,得注意该式子就是否≠0
(II)课本P109 第2大题、作业P15第一大题第4小题、作业P15第二大题、
作业P16第三大题、作业P15第一大题第2小题、作业P15第一大题第3小题