关于抽象函数问题的解法.doc

抽象函数问题有关解法
一、求表达式：
1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ,求.
解：设,则∴∴
2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知，求
解：∵又∵
∴，(||≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知二次实函数，且+2+4,求.
解:设=，则
=比较系数得∴
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例4.已知=为奇函数,当 >0时,,求
解:∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式。∵->0,∴,
∵为奇函数，∴∴当<0时∴
例5．一已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.
解：∵为偶函数，为奇函数，∴,,
不妨用-代换+= ………①中的,
∴即－……②
显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式
例6：设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求
解：∵的定义域为N，取=1,则有
∵=1,∴=+2,……
以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴
二、利用函数性质，解的有关问题
1.判断函数的奇偶性：
例7 已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。
证明：

2.确定参数的取值范围
例8：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。
解：

3.解不定式的有关题目
例9：如果=对任意的有,比较的大小
解：

五类抽象函数解法
　　1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
分析：

例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
分析：

2、指数函数型抽象函数
例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：
（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
分析：

例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。
分析：

3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：
（1）f（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。
分析：

例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。

4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。

5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若，求a的取值范围。

抽象函数具有的性质
特殊初等函数

或

,且
或

若的定义域为,则,且

且

抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、定义域问题
例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
解：

例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解

二、求值问题
例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。
解：

三、值域问题
例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。
解：

四、解析式问题
例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。
解：

五、单调性问题
例6. 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。
证明：

六、奇偶性问题
例7. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。
解：

七、对称性问题
例8. 已知函数满足，求的值。
解：

八、网罗综合问题
例9. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0<f(x)<1。
（1）判断f(x)的单调性；（2）设，，若，试确定a的取值范围。
解：

设函数的定义域为全体R，当x<0时，，且对任意的实数x，y∈R，有成立，数列满足，且（n∈N*）
   （Ⅰ）求证：是R上的减函数；
   （Ⅱ）求数列的通项公式；
   （Ⅲ）若不等式对一切n∈N*均成立，求k的
最大值．

设函数满足，且对任意，都有
.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若数列满足：（），且,  求数列的通项；
（Ⅲ）求证：

14分）若数列满足其中为常数，则称数列为等方差数列.已知等方差数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，则当实数大于4时，不等式能否对于一切的恒成立？请说明理由.
解析：

已知在（）上有意义，
<1> 数列的通项公式
<2> 设
解：

19、设函数的定义域为R，对任意，且， <1> 求证：
<2> 若上是单调递减函数
<3> 求的最小正周期
解：

设为正整数，规定：，已知:
<1> 解不等式：
<2> 设集合，对任意
<3> 探求的值
<4> 若集合，证明：B中至少含有8个元素
解：