直线与圆的方程.doc

第七章 直线和圆的方程

●知识梳理
1.直线方程的五种形式
2.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量及位置关系:
（1）直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.
直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°,直线倾斜角取值范围0°≤α＜180°.
（2）直线的斜率
倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）.
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）.
（4）求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.
②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=.
平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.
对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank，k＜0时，α=π+arctank.
（5）到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=,tanα=.
（6）平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1//l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。
（7）两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=。
（8）点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：。
3．直线系的方程：
若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，
则过l1, l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0；
与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0().
4．简单的线性规划问题:
若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l上方(或称右方)的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l下方(或称左方)的部分。
注:解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。

直线系与对称问题

（一） 主要知识及方法：
点关于轴的对称点的坐标为 ；
关于轴的对称点的坐标为 ；
关于的对称点的坐标为 ；
关于的对称点的坐标为 .
点关于直线的对称点的坐标的求法：
设所求的对称点的坐标为，
则的中点一定在直线上.
直线与直线的斜率互为负倒数，即
直线关于直线的对称直线方程的求法：
① 到角相等；
② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；
③ 轨迹法(相关点法)；
④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…

点关于定点的对称点为，曲线：关于定点的对称曲线方程为.
直线系方程：
直线（为常数，参数；为参数，位常数）.
过定点的直线系方程为及
与直线平行的直线系方程为（）
与直线垂直的直线系方程为
过直线和的交点的直线系的方程为：（不含）
（二）典例分析：
例1 （1）求点关于直线的对称点
（2）求关于直线的对称点
（3）一张坐标纸，对折后，点A(0，4)与点B（8，0）重叠，若点C(6，8)与D（m，n）重叠，求m+n；

例2：试求直线关于直线对称的直线的方程。

练习： （2）求直线关于直线x=3对称的直线方程；
（3）求直线关于直线对称的直线方程；

例3 （1）已知，在直线上找一点P，使最小，并求最小值；
（2 ）已知，在直线上找一点P，使最大，并求最大值；

例4 光线由点A(2，3)射到直线反射，反射光线经过点B（1，1）求反射光线所在直线方程。
练习：
1、 光线从射出，被x轴反射后经过点B（3，2），求入射光线所在直线方程；

2、 光线沿着直线射向直线，求反射光线所在直线方程。

3、 直线关于直线的对称直线方程是，求直线的倾斜角；

4、 直线和直线关于直线对称，求直线的方程；
5、一张坐标纸对折后，点A(0，2)与点B（4，0）重叠，若点C(2，3)与D（m，n）重叠，求m+n；

6、求直线关于点A（2，3）对车的直线方程

7、与关于直线对称，求直线的方程；

8（选）、入射光线沿直线射到x轴后反射，这时又沿着直线射到y轴，由y轴再反射沿着直线射出，求直线的方程；

二、圆的方程及有关问题
（一）、圆及圆的一般方程
1.圆的一般方程 ：
2．推导：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为
(x－a)2+(y－b)2=r2. ①
展开整理得：
令则得
　　　　　②
将方程②左边配方得：。
（1）当时，方程②表示以为圆心，为半径的圆。
（2）当时，由方程②得它表示一个点。
（3）当时，方程②没有实数解，因而它不表示任何图形。
因此，当时，方程②表示一个圆，方程②叫做圆的一般方程。
3 圆的一般方程的特点
（1）的系数相同且不等于零；
（2）不含的项。
具有以上两个特点的二元二次方程仅符合方程②的形式，还需要满足的条件，才能表示圆，因此，上述两个特点是二元二次方程表示圆的必要条件，不是充分条件。
4、圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参数方程为（θ为参数）。

（二）、直线与圆
直线和圆的位置关系，制定直线和圆的位置关系主要有两种方法，方法：

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1、方法一:利用判别式来讨论位置关系

方法二:圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较

2．圆的弦长的求法：
（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为，根据垂径定理，则有：；
（2）代数法：设的斜率为，与圆交点分别为，则
注意：求直线被圆截得的弦长问题一般用几何法。
3．直线与圆相切
（1）若点在圆；则过点点的切线方程为：；
（2）已知斜率为且与圆相切的切线方程为：；
已知斜率为且与圆 相切的切线方程的求法，可设切线为，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求；
（3）当点在圆外面时，可设切方程为，利用圆心到直线之距等于半径即，求出即可，或利用，求出，若求得只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线，此时应补上。
（4）当直线和圆相切时，切点的坐标为的方程和圆的方程联立的方程组的解，或过圆心与切线垂直的直线与切线联立的方程组的解。
（5）若点在圆外一点；则过点点的切线的切点弦方程为：；
若点在圆；则过点点的切线的切点弦方程为：；
题型二：圆的方程的综合应用
例2： 已知方程
（1）若此方程表示圆，求实数a的范围；
（2）求此方程表示的圆的面积最大时a的值及此时圆的方程。

【变式与拓展】：已知方程表示的图形是圆。
（1）求t的取值范围；（2）其中面积最大的圆的方程。

题型三：与圆有关的最值问题
例3 已知圆的方程为，求圆上的点到直线x-y-8=0的距离的最大值和最小值。

【变式与拓展】已知圆C：点A（-1，0），B（1，0），点P在圆上运动，求的最值及相应的点P的坐标。

（二）、直线与圆

（例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。

2.求圆的方程
例：求圆的圆心在直线y=-4x上，并且与直线
a：x+y－1＝0 相切， 求切于点p(3、-2)的圆的方程。
解：求圆的方程存在下列两种思路
思路1：
思路2：

4.求字母参数取值范围
例：已知圆的方程为 x2+ y2+ ax+ 2y+ a2=0，一定点为A(1、2)，要使过定点(1、2)，作圆的切线有两条，求a的取值范围。

㈡直线与圆相交
一条直线与圆相交可以求相交弦长
例：已知圆的方程为：x2 + y2 =9,直线y=x+1与圆相交于A、B，求相交弦的长。

㈢直线与圆相离
已知圆的方程 x2 －2x+ y2 + 6y = 6，求圆与直线4x-3y+12=0的距离的最大值和最小值。

三、圆与圆
1．、两圆的位置关系：
（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆的半径为，圆的半径为
①两圆外离； ②两圆外切；
③两圆相交；④两圆内切；
⑤两圆内含；
注意：判断两圆的位置关系多用几何法。
2．两圆相切时，两圆心所在直线经过切点，外切时有3条公切线，内切时有1条公切线。
3．两圆外离时，有4条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆连心线垂直平分公共弦。
注意：两圆相交时，相交弦的方程是将两圆方程相减，消去和后得到的直线方程。
4．圆系方程：
（1）经过两个圆：与圆： 的交点的圆系方程是（不含圆，）；当时，表示过两个圆交点的直线；
（2）经过直线与圆的交点的圆系方程是
（）；

灵活使用圆系方程解题，可以起到简化计算的目的，避免求交点坐标。
题型一 圆与圆位置关系的判断

判断下列两圆的位置关系。
（1）：，：；
（2）：，：。

题型二 两圆相交
例2 已知两圆和相交于A、B两点。
（1） 求弦AB所在直线方程；
（2） 求A、B两点坐标；
（3） 求弦长AB。

【变式与拓展】：若两圆和相交，其中一个交
点为(1,3)，求另一个交点坐标。

题型三 圆系方程的综合应用
例5 已知圆的方程为，其中。
（1）求证：当a为不等于1的实数时，上述圆过定点。
（2）求圆心的轨迹方程。
（3）求恒与圆相切的直线方程。
直线和圆的方程测试题
一、选择题（4分×12=48分）
1、过定点P(2,1)，且倾斜角是直线l：x－y－1=0的倾斜角两倍的直线方程为……………………（ ）
（A）x－2y－1=0 （B）2x－y－1=0 （C）y－1=2(x－2) （D）x=2
2、下列四个命题中的真命题是…………………………………（ ）
（A）经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y－y0=k(x－x0)表示
（B）经过两个任意不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)=(x－x1)(y2－y1)表示
（C）不经过原点的直线都可以用方程表示
（D）经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
3、直线l与两直线y=1,x－y－7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是(1，－1)，则直线l的斜率是………………………………………………………………（ ）
（A） （B） （C）－ （D）－
4、已知两条直线l1:y=x；l2:ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是………………………………………………………（ ）
（A）(0,1) （B） （C） （D）
5、已知，则x+y的最大值和最小值分别是………………（ ）
（A）4,18 （B）4,8 （C）18,4 （D）8,4
6、直线y=绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x－2)2+y2=3的位置关系是（ ）
（A）直线过圆心 （B）直线与圆相交，但不过圆心
（C）直线与圆相切 （D）直线与圆没有公共点
7、圆x2+y2－4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=90°，则c的值为（ ）
（A）－3 （B）3 （C）8 （D）－2
8、圆x2+y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于………………………（ ）
（A） （B） （C）1 （D）5
9、若直线：ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆C的位置关系是（ ）
（A）在圆外 （B）在圆上 （C）在圆内 （D）不确定
10、过圆x2+y2=4外一点M(4,－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为………（ ）
（A）4x－y－4=0 （B）4x＋y－4=0 （C）4x＋y＋4=0 （D）4x－y＋4=0
11、动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点轨迹方程是………………（ ）
（A）(x＋3)2＋y2=4 （B）(x－3)2＋y2=1 （C）(2x－3)2＋4y2=1 （D）(x＋)2＋y2=
12、曲线y=1+[－2,2])与直线y=k(x－2)+4有两个公共点时，实数k的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（3分×4=12分）
13、若直线l1：2x－y－10=0，l2：4x+3y－10=0，l3：ax+2y+8=0，相交于一点，则a= ；
14、以点(－2,3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 ；
15、一个以原点为圆心的圆与圆x2+y2+8x－4y=0关于直线l对称，则直线l的方程 ；
16、过点P(1,2)的直线l把圆x2+y2－4x－5=0分成两个弓形，当其中较小弓形面积最小时，直线l的方程是 。
三、解答题（12分×4=48分）
17、（本题8分）三角形的两条高所在直线方程为：2x－3y+1=0和x+y=0，点A(1,2)是它的一个项点，求：（1）BC边所在直线方程.
（2）三个内角的大小.

18、（本题10分）某校食堂长期以面粉和大米为主食，面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才即科学又费用最少？

19、（本题10分）已知直线l：kx－y－3k=0，圆M：x2＋y2－8x－2y＋9=0
（1）求证：直线l与圆M必相交；
（2）当圆M截l所得弦最短时，求k的值，并求l的直线方程。

20、（本题12分）已知与曲线C：x2＋y2－2x－2y＋1=0相切的直线l交x，y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a>2,b>2）.
（1）求证：(a－2)(b－2)=2；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积最小值。