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线性代数论文 工管二班 于淞 2013年6月22日

矩阵在管理学中的应用

于淞
(沈阳药科大学 ,工管二班 11401223)

【摘 　要】：矩阵管理在企业管理中大量被采用。分析了矩阵管理的优势劣势，并对矩阵结构的分类进行说明，提出在运用矩阵
管理中需要注意的问题．以供运用者借鉴。
【关键词】　矩阵 ;直接消耗矩阵 ;完全消耗矩阵
To Analyse on the Matrix Management Was Used in the Modern Enterprise
yusong
【 Abstract】As the matrix management was largely used in the enterprise management，the article analyzes the advantages and disadvantages and structure of the matrix for the classification of it．and the needs attention in the use of that．It plays a certain Role
in management for the users．
【Key words】　：matrix management；project management；functions of the organization：performance
0 　引言
近些年来，随着科技突飞猛进的发展，线性代数已经深入到经济，金融，信息，社会等各个领域。以上两个例子详细的说明的线性代数在我们的现实生活中应用之广泛，除此之外线性代数还在药物配制问题，人口迁徙问题，情报检索模型，信号流图模型，产品成本计算，编译保密码，空运航线路径，平板稳态温度计算，化学方程配平，飞行器外形设计比例，卫星遥感图像处理，等方面有着重要的应用。

1 　主要结论
矩阵型结构．是指从各个职能部门中抽调有关专家．分派他们在一个或多个项目经理领导的项目小组中工作的这样一种组织设计。矩阵型组织中的员工有两个上司．他们所属职能部门的经理和他们所1二作的产品或项目小组的经理。两位经理共同享有职权。一般地．项目经理对于作为其项目小组成员的职能人员拥有与实现该项目目标相关的职权。然而．诸如晋升、工薪建议和年度评价等决策，则仍由职能经理来行使。为使矩阵型结构有效地运作．项目经理和职能经理必须经常保持沟通．并协调他们对所属共同员工提出的工作要求．共同解决冲突。
1.1 生产管理的具体问题解答
举一个最简单的例子，假如一个自给自足的经济体由三个部门组成，它们是煤炭业、电力业和钢铁业。它们的单位消耗列向量和销售收入列向量p如下表：
由下列部门购买
每单位输出的消耗分配
销售价格p
（收入）
煤炭业
电力业
钢铁业
煤炭业
0.
0.4
0.6
pc
电力业
0.6
0.1
0.2
pe
钢铁业
0.4
0.5
0.2
ps
如果电力业产出了100个单位的产品，有40个单位会被煤炭业消耗，10个单位被自己消耗，而被钢铁业消耗的是50个单位，各行业付出的费用为：

这就是内部消耗的计算方法，把几个部门都算上，可以写出
其中
于是总的价格平衡方程可以写成为：
p – Vp = 0
( I – V ) p =0
此等式右端常数项为零，是一个齐次方程。它有非零解的条件是系数行列式等于零，或者用行阶梯简化来求解。
用MATLAB语句写出其解的表示式：
V=[0.,0.4,0.6;0.6,0.1,0.2;0.4,0.5,0.2],U0=rref([[eye(3)-V],zeros(3,1)])
程序运行的结果为

这个结果是合理的，简化行阶梯形式只有两行，说明[I-V]的秩是2，所以它的行列式必定为零。由于现在有三个变量，只有两个方程，必定有一个变量可以作为自由变量。记住U0矩阵中各列的意义，它们分别是原方程中pc，pe，ps，的系数，所以简化行阶梯矩阵U0表示的是下列方程：

这里取ps为自由变量，所以煤炭业和电力业的价格应该分别为钢铁业价格的0.94和0.85倍。如果钢铁业产品价格总计为100万元，则煤炭业的产品价格总计为94万，电力业的价格总计为85万

1.2：在复杂管理问题上的应用
设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？
这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即其中xc为市区人口所占比例，xs为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。在k=0的初始状态：。
一年以后，市区人口为xc1= (1-0.02) xc0+0.06xs0，郊区人口xs1= 0.02xc0 + (1-0.06)xs0，用矩阵乘法来描述，可写成：

此关系可以从初始时间到k年,扩展为,用下列MATLAB程序进行计算：
A=[0.94,0.02;0.06,0.98]
x0=[0.3;0.7]
x1=A*x0,
x10=A^10*x0
x30=A^30*x0
x50=A^50*x0
程序运行的结果为：

无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数 0.25/0.75。为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A的效果。选u1为稳态向量[0.25,0.75]T的任意一个倍数，令u1=[1,3]T和u2=[-1,1]T。可以看到，用A乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角（方向）：

初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合；

因此
式中的第二项会随着k的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要k>27，这第二项就可以忽略不计而得到

适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，避免相角项出现，使得问题简单化。这也是方阵求特征值的基本思想。
这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。所得到的向量序列x1,x2,...,xk称为马尔可夫链。马尔可夫过程的特点是k时刻的系统状态xk完全可由其前一个时刻的状态xk-1所决定，与k-1时刻之前的系统状态无关。

2 　总结
本文用矩阵研究了一个简化了的系统内的生产 消耗问题。由于矩阵是从许多实际问题中抽象出来 的一个概念 ,因而 ,矩阵等数学基础知识在自然科学 的各个领域以及经济管理、经济分析中有着广泛的 应用。例如工业活动中的电路图、电话网络图、电话 的呼叫路线、随机中断对网络的影响、煤气管道图、 城市交通图等问题都可引入矩阵来描述他们的关系 并进行研究 ,我们可以继续尝试运用矩阵知识去解 决更多的其它实际问题 ,并作深入的探讨。
[参考文献]
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