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第一讲 极限 连续
数学分析选讲
第一讲 极限 连续
一、 数列极限的若干方法
1、ɛ-N方法（定义+柯西准则）
例1 证明limn→∞nn+1=1
例2证明limn→∞ n2an = 0 ( a >1 )
例3 证明 xn= ……收敛
例4 证明limn→∞sinn不存在
2、利用迫敛性
例5 证明limn→∞
例6 求limn→∞ （ 1 ）
3、利用定积分定义
例7 求limn→∞ （ln2）
例8 求limn→∞ （）
迫敛性+定积分
求limn→∞
练习：limn→∞ （1ln2）
4、利用stolz定理
{}严格↑且limn→∞= +∞limn→∞=limn→∞(a是有限数、+∞、-∞)
注：stolz公式可重复使用
例9 证明limn→∞（P ϵ N*）
例10 设,求limn→∞
*例11 设，（n=1,2…） 证明：limn→∞n=1
*例12设,，证明limn→∞
5、单调有界定理
判断单调性
1）∀ n∈N*， -≥0 ↑ 2）∀ n∈N*，≥1 ↑
-≤0 ↓ ≤1 ↓
3）若=f()，f '( x ) ≥ 0，当 时，↑
当 时， ↓
例13 设，，n=0,1,2…，证明{}收敛并求其极限值 （a=2）
6、利用收敛级数余项性质
例14 求limn→∞ （0）
7、利用收敛级数通项性质
例15 求limn→∞ （0）
例16 求limn→∞ （0）
8、利用“压缩映像”原理
若存在常数r，使∀ n∈N,恒有xn+1-xn≤rxn-xn-1 0<r<1， 则数列{xn}收敛。
例19证明{}：2、、，……收敛，并求其极限
例20设， (c>1且为常数，n=1、2…) 证明：{}收敛并求limn→∞xn (c)
9、利用基本结果，归结原理、洛必达法则
基本结果：limn→∞； limn→∞； limn→∞；
limn→∞； limn→∞； limn→∞
(，,∞)
例21 limn→∞ ( 1 )
例22 limn→∞
例23 limn→∞ 1
例24 limn→∞
例25 设，，求limn→∞
练习：求limn→∞（）

二、 函数的极限
例1 limx→0
例2 limx→-∞ 1
例3 limx→∞ 2
例4 limx→0
例5 limx→0 1
例6 求limx→0
例7 limx→0 -
例8 limx→0
例9 limx→+∞ 1
例10 limx→0 1
例11 limx→1 不存在
例12 求limx→0 1
例13 求limn→∞
例14 已知limn→∞∞)
例15 将limx→1 （4,-6）
例16 设limx→+∞（25,20）
例17 设limx→+∞证明limx→+∞
10

第二讲 一元函数微分学
三、函数的连续性与一致连续性
例1 讨论limx→+∞的连续性
例2 设在点处连续且满足(-∞，+∞)
证明：为(-∞，+∞)上的常量函数。
例3 设在(0,+ ∞)上满足且limx→+∞，证明，(0,+ ∞)
例4 设在处连续且对任何，有，证明为常函数
例5 证明方程必有实根
例6 设在连续，证明存在
使得成立
例7 设在[0,1]上连续，，证明对∀ n∈N+,存在使得
例8 证明在(0,+ ∞)上一致连续
例9 设在[a,+∞）上一致连续，在[a,+∞）上连续，且有limx→∞
证明在[a,+∞）上一致连续

第二讲 一元函数微分学
一、导数与微分及其求导
例1 设，则limn→0 -1
例2 设存在，则lim∆x→0 fx0+a∆x-f(x0-b∆x)∆x =_______
例3 设可导，，若使在处可导，则必有____ a)
a) ; b) ; c)
例4 设可导，且对任何实数a、b满足，
求与之间的关系
例5 设在有定义，且对任意非零实数x、y，且存在
证明：存在（对一切）并求
例6 证明：黎曼函数= ，（p、qϵN+，q/p为互质真分数） 在[0,1]上
任一点处不可微 0，
例7 证明= 的各阶导数（n=1、2……）
0
例8 设=，求
例9 设=，求
二、微分中值定理及其应用
例1 若为实数，且满足
证明方程：在（0,1）内至少有一实根
例2 若在上连续，在（0,1）上可导，且，
证明：在（0,1）内至少有一点，使得
例3 设在上连续，在可导，且
证明：存在一点，使得（k为不等于0的常数）
例4 若在上连续，在可导，且，
证明对任意实数k,存在，使得
例5 试确定方程的实根个数
例6 设，证明：
例7 设在(-∞，+∞)上满足，，则，xϵ(-∞，+∞)
例8 设在（0，+∞)上可微，，并且存在A>0，使得对∀xϵ[0，+∞)，有 证明：
例9 设a、b>0,试证存在，使得
例10设在上连续，在上可导，且
试证：存在，使
例11 设在上连续，在上可导，且
试证：存在，使 （柯西+拉格朗日中值定理）
例12设在上有连续一阶导数，在二阶可导，且，， 证明：对一切有
例13 设在上二阶可导，，
试证在[0,1]内存在一点，使

三、泰勒展式的应用
例1 设在上有二阶导数，且当时，
例2 设在上有二阶连续导数，且满足及
试证对一切，有
例3 设为上二次可微函数，（k=0,2）
试证：，且
例4 设在上连续可微，若limx→+∞存在，且在上有界
试证：limx→+∞
例5 设上的,
证明：limn→0θ=
例6 设在内n阶连续可微，且，但，，当时，有，
试证：limn→0

四、导数的应用
例1 设
例2 设
例3 设
例4 设
例5 设：
例6 设
利用凸函数性质证明不等式
例1 证明伯努利（Bernoulli）不等式: 当且仅当x=0时等号成立
，
,
例2 设证明：
例3 设，证明：
例4 应用詹森（Jensen）不等式证明：
1） 设（i=1，2……n）
2） 设（i=1，2……n）有，且
例5 设当时成立不等式：
例6 证明：、
导数的综合应用
例1 设在的某个领域内可导，且limx→0，则 a)
a) 一定是极大值 b)一定是极小值 c)不是极值
例2 设在的某领域内有定义，且limx→，则___ b)
a)取极小值 b)取极大值 c）不取极值
例3 设有二阶连续导数，，limx→0，则
a）极大值 b)极小值 c）（0，f（0））为拐点
例4 设n为自然数，求的最大项
例5 试讨论方程的实根个数
例6 设在上连续，在上两次可微，且，，其中是一给定的函数，证明：
例7 设定义在给定区间（开、闭、半开半闭）I上可微函数，在I上只有唯一一点，使 证明：若为的极大值点，则必为的最大值点