2.4极限运算法则.doc

§2.4 极限运算法则
一、极限运算法则
定理 如果 , 那么
(1) ;
(2) ;
(3) (B¹0).
证明(1): 因为 , 根据极限与无穷小的关系, 有
f(x)=A+a, g(x)=B+b,
其中a及b 为无穷小. 于是
f(x)±g(x)=(A+a) ± (B +b) = (A±B) + (a±b),
即f(x) ± g(x)可表示为常数(A ± B)与无穷小(a± b)之和. 因此

推论1 如果存在, 而c为常数, 则
.
推论2 如果存在, 而n是正整数, 则
.
定理1 如果 , 而, 那么 .
二、求极限方法举例
例1. 求 .
解:
.
讨论: 若, 则
提示:

.
若, 则.
例2. 求 .
解:

.
例3. 求
解:
例4. 求 .
解: =,
根据无穷大与无穷小的关系得 =¥.
讨论:
有理函数的极限
提示:
当时, .
当且时, .
当Q(x0)=P(x0)=0时, 先将分子分母的公因式(x-x0)约去.
例5. 求
解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限:
.
例6. 求 .
解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限:
.
例7. 求 .
解: 因为 , 所以
.
讨论:
有理函数的极限
提示:
.
例8.
解:

商的极限存在，必须

1+a=0, a+b＝2
得 a＝－1，b＝3。
例9.

例10.
求 .
解: 当x®¥时, 分子及分母的极限都不存在, 故关于商的极限的运算法则不能应用.
因为, 是无穷小与有界函数的乘积,
所以 .
例10
解

左右极限存在且相等,

定理2(复合函数的极限运算法则) 设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义. 若g(x)®u0(x®x0), f(u)®A(u®u0), 且在x0的某去心邻域内g(x)¹u0, 则
.
简要证明 设在{x|0<|x-x0|<d0}内g(x)¹u0.
要证"e >0, $d>0, 当0<|x-x0|<d 时, 有|f[g(x)]-A|<e .
因为f(u)®A(u®u0), 所以"e >0, $h>0, 当0<|u-u0|<h时, 有|f(u)-A|<e .
又g(x)®u0(x®x0), 所以对上述h>0, $d1>0, 当0<|x-x0|<d1时, 有|g(x)-u0|<h.
取d=min{d0, d1}, 则当0<|x-x0|<d时, 0<|g(x)-u0|<h, 从而
|f[g(x)]-A|=|f(u)-A|<e .

注:
把定理中换成或,
而把换成可类似结果.
例如
例9 求.
解 是由与复合而成的. 因为, 所以 .