2.1--平面向量的实际背景及基本概念.doc

2.1 平面向量的实际背景及基本概念
教案1
教学目标：
知识与技能
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
2. 掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
3. 并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
过程与方法
本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）
情感.态度与价值观
1. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
学情分析：

教学重点.难点
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学关键：向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量概念的理解．
教学突破方法：本节课内容简单，可让学生仔细阅读课本，并合作探究，得出结论．最后老师画龙点睛．
教法与学法导航
教学方法：启发诱导，探究合作．
学习方法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教学准备
教师准备：多媒体，投影仪
学生准备：练习本
教学过程
（一） 创设情境导入新课：
A
B
C
D
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
由此引出新课
（二） 主题探究，合作交流
提出问题
①在物理课中，我们学过力的概念.请回顾一下力的表示方式是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？你能否给出准确的定义呢？
②数量与向量的区别在哪里？
活动:教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量.
至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.
提出问题
1、如何表示向量？
2、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
3、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
4、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
5、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
6、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
活动:教师指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论以上问题.
A(起点)
B
（终点）
a
1、向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
2、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
3、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
4、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
5、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
6、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.

图
又如图a，b，c是一组平行向量，任作一条与a所在直线0平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出＝a，=b，=c.这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
（三） 拓展创新，应用提高
例1 如图5，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)

图5
分析:本例是一个简单的实际问题，要求画出有向线段表示位移，目的在于巩固向量概念及其几何表示.
解:表示A地至B地的位移，且||≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)
表示A地至C地的位移，且||≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)
点评:位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5，由A点确定B点、C点的位置.

图8
例2 如图8，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与相等的量.
解:==;==;===.
点评:向量相等是一个重要的概念，今后经常用到.让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同.
（四） 小结
1、本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；
2、介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好.
板书展示
一、基础知识： 二、典例分析：
1. 向量的概念 例3：
2.向量的表示 例4：
3. 单位向量与零向量 三、小结
4. 相等向量与平行向量

课堂作业
1.若正多边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，…，an，则这n个向量… ( )
A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等

图1
2.如图1所示，在△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有( )
A.一组 B.二组 C.三组 D.四组
3.若命题p为a=b，命题q为|a|=|b|，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不必要又不充分条件

图2
4.如图2所示，在四边形ABCD中，若，则下列各组向量相等的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
5.已知a，b是任意两个向量，有下列条件:①|a|=|b|;②a=b;③a与b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a与b都是单位向量.其中是向量a与b共线的充分不必要条件的为._________(把你认为正确的序号全都填上)
6.如图15所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.

图3
(1)写出与相等的向量;
(2)若||=3，求向量的模.
参考答案:1.D 2.C 3.A 4.D 5.②③④
6.(1)与相等的向量有和，因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，
故==.
(2)向量的模||=6.
教学反思

教案2
课 题
2.1.1 向量的物理背景与概念
2.1.2 向量的几何表示
2.1.3 相等向量与共线向量
教学目标
一、知识与技能
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系；
3.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
二、过程与方法
引导发现法与讨论相结合．这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性．体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用．
三、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的．
教学重点
向量概念、相等向量概念、向量几何表示
教学难点
向量概念的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题

向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法
教学过程：
一、复习引入
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.
向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.
二、讲解新课：
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
注意：（1）数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小
（2）从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
注意：起点一定写在终点的前面
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的
注意与0的区别
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量a与b相等，记作a＝b；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
探究：1.对向量概念的理解
要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB的两个端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为，需要学生注意的是：的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.
既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用点(起点)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者.
2．向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
三、讲解范例：
例1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
例2下列命题正确的是（ ）
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.
评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.
例3下列命题正确的是（ ）
D
E
O
A
B
C
F
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与相等的向量.
解：

四、拓展发现
思考：
（1）如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种不同的向量？（共20种）
A
B
C
D

分析（从向量的长度与方向考虑．）
（2）“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
答：错误．向量与有向线段的联系与区别：
联系：向量可以用有向线段表示．
区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
五、小结
向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量