振动波动作业习题及解答.doc

Ch.10.振动、Ch.11波动作业习题及解答
10-1. 一小球与轻弹簧组成的谐振动系统,振动规律为(t的单位为秒, x的单位为米)。
求: (1) 振动的角频率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值； (2) t=1s、t=2s、t=10s时刻的相位；
(3) 分别画出位移、速度和加速度与时间的关系曲线。
解(1): 将小球的运动方程与谐振动的表达式比较知，
系统的角频率、周期、振幅和初相分别为：

系统振动速度、加速度的表式分别为

速度和加速度的最大值为：
解(2): 由相位表达式知， t=1s、t=2s、t=10s时刻振子的相位分别为：

ωA
A
ω2A
x,v,a
O
v-t
x-t
a-t
t
解(3): x(t), v(t), a(t)曲线如下图所示。

10-2.（选作题）某个与轻弹簧相连的小球，沿X轴作振幅为A的简谐振动，周期为T。其振动表达式用余
旋函数表示。若t=0时小球的运动状态分别为：(1) ； (2) 过平衡位置向X正向运动；
(3) 过x=0.5A向X负向运动； (4) 过处向X正向运动。
试分别:以初态旋矢图定出相应的初相; 写出相应的振动表达式.。

𝛚
O
X
t =0
图2

图1
𝛚
t =0
O
X
图3
𝛚
X
O
A/2

t =0
图4
t =0

𝛚
O
X

解: 谐振动系统的圆频率为由初态旋矢图可知相应的初相为：

由谐振动的表达式知，各振动表达式分别为：

10-3.某个简谐振动规律曲线如图,
求: (1) 简谐振动表达式； (2) P点相应的相位； (3) 由初始至P点相应的位置的时刻。
解(1): 该简谐振动表达式形式为：
A=0.10m
tp
1.0
X/m
A/ 2
t /s
O
-A
P
t=1.0s
tp
A
t0=0

O
X
A/2
ω

由初态旋矢图可知相应的初相为：
由t=1.0s旋矢图可知相应相位为：

则该简谐振动表达式为

解(2): 由tp时刻的旋矢图可知相应相位为：
解(3):
10-4. 某质量为10g的物体作简谐振动,其振幅为24cm, 周期为T=4.0s，t=0时物体位于24cm,
求: (1) t=0.5s时刻物体的位置；(2) t=0.5s时物体所受的作用力；(3)由初始位置至x=12cm处所需的最小时间；
(4)在x=12cm处，此物体的速度、动能、系统的势能、系统的机械能。
解(1):该谐振子的圆频率为
由初态t=0时,振子初位置为：x0=24cm=A, 可知相应相位为
则该振子谐振动表达式为
则t=0.5s时,该振子的位置为：
A
O
X
A/2
t0=0
tp
ω
解(2): t=0.5s时物体所受作用力为:
或: 该振子谐振动速度、加速度表达式分别为

解(3): 由于物体是从起始时刻的最大位移处向平衡位置方向移动，
故运动至x=12cm处所需的最小时间为图中的tp时刻，由待求的tp时刻的旋矢图可知相应的相位为

解(4): 在x=12cm处此振子的速度、动能、势能、机械能分别为

10-9.某个简谐振动的弹簧振子,振幅A=0.20m，弹簧的劲度系数k=2.0N/m，与弹簧相连物体的质量m=0.50kg，
试求: (1) 振子的动能与势能相等时，该振子的位置；
(2) 若t=0s时，该振子的位置x0=A，则至动能与势能相等状态的时刻tp=？(此过程不超出一个周期)
解(1): 该谐振动表达式形式为:
谐振子的动能与势能表达式分别为:

振子的动能与势能相等，则有

解(2):由t=0s时,该振子位于x0=A, 则可知其振动初相为
由题目可知,该振子的圆频率、周期分别为
由上述结论
则该振子由初态至动能与势能相等状态的时刻tp，在所求过程不超出一个周期的限制下，为

10-22. 一个质点同时参与两个在同一直线上的谐振动：

试求: 其合振动的运动学方程（式中x以m计，t以s计）。
解: 这是两个振动方向相同（OX轴），振动频率相同的谐振动的合成，合振动仍为OX轴上同频率的谐振动。
由已知，这两个分振动的相位在任何时刻都反相，由旋矢图知，
t0=0
ω
A
X
O
A2
A1
合矢量在方位，如图所示。所以，
合振幅为：
初相为:
合振动的运动学方程为:
10-23. 某个振子的两个同振动方向、同频简谐振动表达式分别为:
.
试求: (1) 为何值该振子的合振幅为最大？合振幅A=？ (2) 若合振动初相, 则
解(1): 显然两谐振动同相位时，振子的合振幅为最大。可取：
合振幅为:

解(2): 合振动初相为，由合振动与第一个分振动的旋矢图可知，
t0=0
ω
A
X
O
A1
A2
第二个分振动的初相应为:
显然在此情况下，合振动的合振幅为：

11-3. 设有一平面简谐波，
x,y以m计， t以s计。求：(1) 振幅、波长、频率和波速。(2) 求x=0.1m处质点的初相位。
解(1): 将波动表达式：
与标准波动方程 ，比较可得：
A=0.02m，λ=0.3m，ν=100Hz，φ0=0，并有：u = λ ν = 30 m/s
解(2): x=0.1m处质点在t=0时刻振动的初相位为：
10
O
-10
-5
20
X/cm
u
t0=1/3(s)
Y/cm
P
11-5.如图为t0=1/3(s) 时的平面简谐正向波的波形
示意图，又知周期T=2(s)。
(1) 写出O点处(即x0=0)质元振动表达式y0(t );
P点处(即xp处)质元的振动表达式yp(t );
(2) 写出波的表达式y(x, t ); (3) 求xp=？
𝛚

-A/2
O
Y
(4) 若为负向波,再就第(1)、(2)问进行解答.
解(1):该平面简谐波的振幅A= 10(cm); 波长λ= 40(cm);
频率ν=1/T=0.5(s-1)；圆频率ω=2πν=π(s-1)
t0=1/3(s)时, x0=0处质元的状态为：
; v0(t0 ) <0
由旋矢图，知该质元此时刻的相位为

则O点处质元的振动表达式为:
t0=1/3(s)时, xp处质元的状态为：yp(t0 )=0; vp(t0 )>0.
计入P点处质元的振动落后于O点的振动，则P点处质元的t0时刻的相位为

则P点处质元的振动表达式为：
解(2):显然该平面简谐正向波的表达式为：

解(3):若为负向波，由t0=1/3(s)时x0=0处质元的旋矢图知，

该质元此时刻的相位为𝛚

O

-A/2
Y
：

O点处质元的振动表达式为：
t0=1/3(s)时, xp处质元的状态为: yp(t0 )=0; vp(t0 )<0
计入P点处质元的振动超前于O点的振动，则P点处质元t0时刻的相位为：

则P点处质元振动表达式为：
该平面简谐负向波的表达式为:

11-10. 某声波(视为平面简谐纵波)，在直径为D=0.14m的圆柱形管道中沿轴向传播。知该波的波强为
I=9.1×10-3(W·m-2)，频率为f=300HZ, 波速为u=300(m·s-1)。
问: (1) 该波的平均能量密度为多少？该波的最大能量密度为多少？
(2) 任意两个相邻的同相位面之间该波的平均能量为多少？
解(1):显然该波的平均能量密度为
该波的最大能量密度为
解(2):任意两个相邻的同相位面之间该圆柱形管道的体积为
则该体积中此波的平均能量为
11-12. 某波源以N=3500W的功率向空间均匀辐射球面电磁波，在某处测得该波的平均能量密度为
，取电磁波速为c≈3.0×108(m·s-1)。求:上述位置处与该波源的距离r=?
解: 以该波源为球心,则通过一系列同心球面的平均能流为

11-23. 两个相干平面简谐波源S1、S2相距λ/4，S1振动超前于S2的振动π/2相位。设两波在S1S2连线上
(如图中的X轴)波强皆为I0,
问: 在S1外侧各点的合成波的波强如何？在S2外侧各点的合成波的波强又如何？
P
x<0
S1
S2
X
Y
O
P
x
解: 取坐标系如图。由题意，设两个相干波源S1、S2的振动表达式为

S1外侧，即x<0的区域，两波源传播负向平面简谐波，表达式为：

此两列负向波在x< 0区域任意点的振动总是反相位即，则在该区域各点的合振幅为

则此两列负向波在x<0区域任意点因干涉相消，合成波的波强为： I=0
S2外侧，即x >λ/4的区域，两波源传播正向平面简谐波，表达式为：

此两列正向波在x >λ/4区域任意点的振动总是同相位，则在该区域各点的合振幅为：

则此两列正向波在x >λ/4区域任意点因干涉相长，合成波的波强为： I=4I0
11-24.同一介质中,两个相干平面简谐波源A、B相距L=30m,两波源振动相位差为π,两波等幅同频(υ=100Hz)，
波速皆为u=400m·s-1, 试求:在AB连线上(如图中的X轴)因干涉而静止的各点的位置。
Y
x<0
P
A
B
O
P
x
X
x
P
解: 取坐标系如图。由题意，设两个相干波源A、B的振动表达式为

波长为λ=u/υ=4(m),
Ÿ A外侧，即x<0的区域，两波源传播负向平面简谐波，表达式为

此两列负向波在x<0区域任意点的振动总是同相位，则在该区域不存在因干涉而静止的点。
Ÿ B外侧，即x > L的区域，两波源传播正向平面简谐波，表达式为：

此两列正向波在x >L区域任意点的振动总是同相位，则在该区域不存在因干涉而静止的点。
﹡在AB线段，即0≤ x ≤ L的区域,：波源A传播正向波，波源B传播负向波，表达式为

在0≤ x ≤ L的区域，各点因干涉而静止，应满足的关系为：

则在AB连线段上因干涉而静止的各点的位置为：xk=(1, 3, 5, 7,……, 29)m，共15个点。

11-26.如图,三个相干平面简谐波源S1、S2、S3(其振动皆正交于纸面). 传播中在P点相遇,知三个波源的独立
振动表达式分别为：
知S2P=4l；S1P=S3P=5l (l为已知波长).设三个波等幅且在传播过程中不变。
S3
P
S1
S2
试求: 在P点处质元的合振动的表达式。
解: 显见S1、S3的振动总是反相位，故二者对于P点处质元的合振动无贡献。
则P点处质元的合振动即为S2的平面简谐波引起该处质元的振动。
S2P=4λ，则P点落后S2点处质元振动8π相位，故
所求合振动表达式为：
11-32.如图，某频率为ν，振幅为A的平面简谐波沿X轴正向传播，设在t =0时此波在原点O引起的振动使该
处质元由平衡位置向Y轴的负向运动。M是垂直于X轴的波密媒质反射面，已知x0= 11λ/4, OQ=31 λ /12,

X
φ0
ω
t=0

O
Y
( λ为该波波长, 设反射波与入射波同频同振幅）
求: (1)入射波与反射波的表达式; (2)两波合成波的表达式;
(3) 原点至反射面之间的节点、腹点的位置;
(4) Q点处质元由入射波与反射波引起的合振动的表达式。
解(1):由t =0时刻O点处质元振动对应的旋矢图，可知初相位为: φ0=π/2
则O点处质元的振动表式为：yO(t )=Acos(2πνt+π/2)
则入射平面简谐波的表式为：
反射平面简谐波的表式为(由于被波密媒质反射面反射，应计入半波损失):

解(2):入射与反射平面简谐波的合成波表式为

解(3):由反射面的反射点(x0= 11λ/4)必为波节点、由相邻节点间距为λ/2,可知各节点的位置为:
x节点0= (λ/4; 3λ/4; 5λ/4; 7λ/4; 9λ/4; 11λ/4)
由相邻节点与腹点的间距为λ/4,可知各腹点的位置为: x腹点0= (0; λ/2; λ; 3λ/2; 2λ; 5λ/2 )
或: 令合成波表式中准振幅的大小,
解出相应坐标值x(0≤x≤x0), 即为所要求的节点与腹点的位置。
解(4): Q点处质元坐标为xQ=31λ/12, 则该处质元的振动方程为:

补充题1: 如图, x=0处有一振动方程为的波源S, 发出沿X轴正、负向传播的平面简谐波。
X(m)

S
O
M
N
Y
B
MN为波密媒质的反射面(考虑半波损失)，距离波源3λ/4。
求: (1)波源S所发射的正向、负向平面简谐波的表达式；
(2)由反射面MN的B点反射的反射波的表达式；
(3)在O—B区域内形成的驻波表式及波节和波腹的位置；
(4)在x>0区域内合成波的表达式。
解(1):正向波的表达式为
负向波的表达式为
解(2):反射波的表达式(应计入半波损失)为

解(3): 应用和差化积公式,则在O—B区域内形成的驻波表达式为：

则在O—B区域内形成驻波的波节点位置为:

则在O—B区域内形成驻波的波腹点位置为:

解(4): 在x>0区域内合成波的表达式为:

Y /m
t /s
-A
1
O
M
d
X
ω

O
φM0
Y
t=0
u

补充题2: 某平面简谐波沿X轴正向传播，波长为λ，波射线
上与原点距离为d的M点处质元的振动规律如图所示,
(1) 求M点处质元的振动表达式；
(2) 求此平面简谐波的表达式；
(3) 若图中d=λ/ 2，求坐标原点O处质元的振动表达式。
解：(1) 由图可知，M处质点的振动周期为4s，所以波速：

角频率：(s-1)
M点处质元振动初相旋矢图如图,可知: φM0=π
所以，M处质点的振动规律表达式为：
(2) 此正向平面简谐波的表达式为:

(3) 若图中d=λ/ 2，则坐标原点O处质点的振动规律表式为：

d=λ/ 2，坐标原点O处质元的波程超前M点处质元的波程为：λ/ 2
显然, 坐标原点O处质元的振动相位超前M点处质元的振动相位为：π
M
u
Y
O
d
X
x
êxú
v 若该平面简谐波沿X轴负向传播, 再就上述各问进行解答:
解(1): 显然, M点处质元振动表式仍为:
解(2): 此负向平面简谐波的表达式为：

解(3): 若d= λ/ 2，则坐标原点O处质元的振动表达式为：

B
A
C
r1
r2
补充题3:平面简谐波表式为 . . ,
传至隔板上的两个小孔A、B(如图),两孔间距为2.31m; CA ^ AB;
A、B发出的子波传到C点处恰好相长相干.
求: C到A点的最小距离.
解: 由波表达式

显见，波长为λ=1.1(m)
C点处相长相干条件为……(1)
由几何关系有
(1)与(2)式联立消去r2，有
k=1时,得到C至A点的距离为
k=2时,得到C至A点的距离为
k≥3时,算得C至A点距离为负值。显然，所要求的C至A点的最小距离为
﹡若两孔间距为1m, A、B发出的子波传到C点处恰好相消相干. 再求: C点到A点的最小距离.
解: C点处相消相干条件为…… (1)
由几何关系有
(1)与(2)式联立消去r2,有

k=0时,得到C至A点的距离为
k=1时,得到C至A点的距离为
k≥1时,算得C至A点距离为负值。显然，所要求的C至A点的最小距离为

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