三角函数的易错点以及典型例题与高考真题.docx

三角函数的易错点以及典型例题
三角函数的易错点以及典型例题与真题

1.三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。
万能公式：
(1) (sinα)2+(cosα)2=1 (2)1+(tanα)2=(secα)2 (3)1+(cotα)2=(cscα)2
(4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（证明：利用A+B=π-C ）
同理可得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论：
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA）2+(cosB）2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC
(8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC
(9)设tan(A/2)=t
　 　sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）
　　 tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）
cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z）

2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
3.在三角中，你知道1等于什么吗？（
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）
4.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如 等）
5.你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）
6.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos2x=(1+cos2x)/2;sin2x=(1-cos2x)/2
7.你还记得某些特殊角的三角函数值吗？
（）
8.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()
9. 辅助角公式：(其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用.
10.三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴、对称中心，取最值时的x值的集合吗？（别忘了kZ）
三角函数性质要记牢。函数y=k的图象及性质：
振幅|A|，周期T=, 若x=x0为此函数的对称轴，则x0是使y取到最值的点，反之亦然，使y取到最值的x的集合为——————————， 当时函数的增区间为————— ，减区间为—————；当时要利用诱导公式将变为大于零后再用上面的结论。
五点作图法：令依次为 求出x与y，依点作图
注意（1）的整体化法思维求单调性、对称轴、对称中心、值域等。
（2）用换元法时，注意新的定义域范围。

11.三角函数图像变换还记得吗？
平移公式（1）如果点 P（x，y）按向量 平移至P′（x′，y′），则
（2） 曲线f（x，y）=0沿向量平移后的方程为f（x-h，y-k）=0
12.解三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式

13.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是。
②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。
③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是。
14.三角函数易错点的典型例题
（1） 隐含条件
例1．设，，则的值为 。
错解：，∵，∴。
正解：∵且，
∴，∴，∴。
例1－1．已知，则 。
错解：或。
正解：。
例1-2.一组似是而非的问题
①在ΔABC中，，，求的值。
②在ΔABC中，，，求的值。
③在ΔABC中，，，求的值。

①解∵，
∴，，
∴，
∴，或，
又∵C为三角形的内角，∴，∴。

②解：∵，
∴，，
∴，
∴当时，； 当时，，
∵
∴，即， ∴。
注：舍去增解是难点，可利用单位圆中的余弦线段先作直观判断。

③解：∵，
∴，，
∴，
∴，或。
注：此题两解均成立。
若求，必为两情形之一：两解均成立或一解为负值；

例2．已知方程（为大于1的常数）的两根为，，且、，则的值是 。
错解：或－2。
正解：由知：，∴的值是－2。
例2－1.已知和是方程的两根，则、间的关系是（ ）
（A）（B）（C）（D）
答案：C。

例2－2.已知，则（ ）
（A）120（B）150（C）180（D）200
答案：B。

（2） 综合应用题型时，注意考虑全
例3.关于的方程的两根为、，且。若数列1，，，……，的前100项和为0，求的值。
错解：由韦达定理知：，∴，
由得，∵，∴或或或。
正解：（1）当与时，等比数列的求和公式不同；
（2）方程有解还应考虑△≥0。
∴。
（3） 去绝对值要注意分类讨论
例4．若，，则 。
错解：由解得，
∴，∴。
正解：。
∵当时，为第三象限角，，当时，为第四象限角，，当时，。
例4-1若（定值），则的最大值为 。
错解：，
∴的最大值为。
正解：。
（4）注意tan的分式表达形式是否分类讨论分母为0.
例5. 终边上一点,且求.
错解：。
正解：①若时， ，
②当x≠0时，
（5）式子处理考虑要全面

例6.已知求的取值范围.
错解：，∴，
∴
正解分析：时也成立，故为
例6-1.已知sinsin=，求coscos的取值范围。
解：令coscos=m 则sinsin+coscos=m+
cos (－)=m+ m= cos (－)－
-1cos (－)1 -m
分析：又由coscos－sinsin＝m－，同理得
∴。
（6）式子处理导致有增根要代入验证
例7.在△中,求∠的大小.
解：两式平方相加：，∴A＝300，或A＝1500。∴C＝300。
当A＝300时，故应舍去。
注：舍去A＝300对学生来说是一个难点。

（7） 注意换元后的取值范围
例8.已知，求的最大值和最小值。
错解一：，
当时，取得最小值；当时，取得最大值1；
错解二：，
当时，取得最小值；当时，取得最大值；
正解分析：解法二忽略了范围限制，
应由 得：。
15.三角函数高考真题汇集

真题汇集答案
（1）2017年1卷理科17题

（2）2017年2卷理科17题

（3）2017年3卷理科17题

（4）2017年文科1卷11题：C=30度。所以选B
（5）2017年文科2卷16题：B=60度。
（6）2017年文科3卷15题：A=75度。

（7）2016年理科1卷17题

（8）2016年理科2卷13题：
（9）2016年理科3卷8题：

（10）2016年文科1卷17题：b=3; 所以选D
（11）2016年文科2卷15题同理科13题：
（12）2016年文科2卷15题同理科8题：

（13）2015年理科1卷16题：

（14）2015年理科2卷17题：

（15）2014年理科1卷16题：

（16）2014年理科2卷4题：AC=； 因此选B。

（17）2013年理科1卷17题

（18）2013年理科2卷17题

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