2-1-矩阵的左逆与右逆.doc

第二专题 广义逆矩阵
广义逆矩阵是E.H.Moore于1920年首次提出来的，1955年R.Penrose利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。为此，我们从线性方程组的解开始讨论(称为超定方程；称为亚定方程)。
若存在向量，使成立，则称线性方程组为相容方程组，否则称为不相容方程或矛盾方程。对于相容方程组，若是列满秩的，则有唯一解；否则有无穷多解。我们要找到唯一的极小范数解。对于矛盾方程我们要找到它的近似解——最小二乘解；如果最小二乘解不唯一，我们要找到唯一的最小二乘解，称为最佳的最小二乘解（或极小范数最小二乘解，或最佳逼近解），。

§1 矩阵的左逆与右逆
设是阶矩阵，可逆当且仅当存在阶矩阵，使得

当可逆时，其逆唯一，记为.
下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到矩阵上，定义一种单侧逆.
一、满秩矩阵与单侧逆
定义1 设，若存在矩阵，使得

则称是左可逆的，称为的一个左逆矩阵，记为.
若存在矩阵，使得

则称是右可逆的，称为的一个右逆矩阵，记为.
下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件.
定理1 设，则下列条件是等价的：
(1)是左可逆的； (2)的零空间；
(3),即是列满秩的；(4)是可逆的.
证明
，设是左可逆的，则存在，使得， ，于是，即证的解空间.
，由，再根据线性方程组解的理论知，，从而是列满秩的，当然有.
，设,由,知是可逆的.
，由可逆，得知是的一个左逆矩阵，即。
注：左逆的一般表达式为：

其中是使关系式成立的任意阶方阵。
定理2 设，则下列条件是等价的：
(1)是右可逆的； (2)的列空间；
(3),即是行满秩的；(4)是可逆的。
其证明留给读者.
，由得，，是行满秩的；由，知是的一个右逆矩阵，即。
注：右逆的一般表达式为：

其中满足。
例1 矩阵是右可逆的，不是左可逆的。由于

注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。
一般地,一个矩阵左可逆未必右可逆,而且右逆矩阵和左逆矩阵都不是唯一的。若同时左可逆和右可逆，则此矩阵存在正则逆。
二、单侧逆与解线性方程组
定理3 设是左可逆的，是的一个左逆矩阵，则线性方程组有形如解的充要条件是

若上式成立，则方程组有唯一解

证明
设方程组有解，则，从而.反过来，若，则，从而是方程组的解.
当方程组有解时，因为左逆，所以，从而方程组有唯一解.由是的一个左逆矩阵，所以，即为的唯一解。
注：虽然左逆矩阵不唯一，但方程的解唯一。
定理4 设是右可逆的，则线性方程组对任何都有解。 且对的任意一个右逆矩阵，是其解。 特别地，是方程组的一个解。
证明
因右可逆，则，对任何，都有
,
即是方程组的解。
事实上，矩阵的左逆（或右逆）矩阵还是矩阵的减号逆，自反减号逆，最小范数广义逆，最小二乘广义逆和加号逆。