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第23章 一元二次方程 中考链接

趋势1 运用适当的方法解一元二次方程
1．解方程：x2+4x－1=0．

2．解方程：=0．

3．解方程组．

趋势2 会用根的判别式判断一元二次方程根的情况，会依据一元二次方程根的情况，确定方程待定系数的取值范围
4．已知关于x的一元二次方程x2+（m－1）x－2m2+m=0（m为实数）有两个实数根x1，x2．
（1）当m为何值时，x1≠x2；
（2）若x12+x22=2，求m的值．

5．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1，x2，且满足x1>0，x2－x1>1．
（1）试证明c>0；
（2）证明b2>2（b+2c）；
（3）对于二次函数y=x2+bx+c，若自变量取值为x0，其对应的函数值为y0，则当0<x0<x1时，试比较y0与x1的大小．

6．已知x1，x2是一元二次方程2x2－2x+m+1=0的两个实根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果m满足不等式7+4x1x2>x12+x22，且m为整数，求m的值．

7． k取什么值时，方程有一个实数解，并求出这时方程组的解．

趋势3 保证一元二次方程有实数根的前提下，利用根与系数关系解题
8．已知关于x的方程2x2－kx+1=0的一个解与方程=4的解相同．
（1）求k的值．
（2）求方程2x2－kx+1=0的另一个解．

9．设x1，x2是方程2x2－5x+6=0的两根，求的值．

10．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m－1=0．
（1）请你为m选取一个合适的整数，使得方程有两个不相等的实数根；
（2）设α、β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值．

趋势4 能够将现实生活中的实际问题抽象为数学问题，同时能运用一元二次方程这一数学模型来解决
11．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备的润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设计的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲，乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？

参考答案
1．x1=－2+，x2=－2－ 2．x=－ 3．
4．（1）△=（m－1）2－4（－2m2+m）
=m2－2m+1+8m2－4m
=9m2－6m+1=（3m－1）2．
要使x1≠x2，需△>0，即△=（3m－1）2>0，
∴m≠．
（2）∵x1=m，x2=1－2m，x12+x22=2，
∴m2+（1－2m）2=2，解得m1=－，m2=1．
5．（1）证明：原方程可化为x2+（b－1）x+c=0．
∵x1>0，x2－x1>1，即x2>x1+1>0．
∴x1·x2=c>0．
（2）∵方程有两个实根，∴△≥0．
即（b－1）2－4c≥0，整理得b2≥2（b+2c）+1．
∴b2>2（b+2c）．
（3）由题意知y0=x02+bx0+c=x0，
且0<x0<x1，∴y0<x1．
6．（1）根据题意得△=4－8（m+1）≥0，∴m≤－，当m≤－时，方程2x2－2x+m+1=0有实数根．
（2）根据题意得x1+x2=1，x1x2=．
∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=1－2×=－m．
∵7+4x1x2>x12+x22．
∴7+2（m－1）>－m，∴m>－3．
∴－3<m≤－且m为整数，∴m=－2，－1．
7．k=2，方程组的实数解是．
8．（1）由方程=4得x=，把x=代入方程2x2－kx+1=0中得k=3．
（2）把k=3代入2x2－kx+1=0中，2x2－3x+1=0
解之得x1=1，x2=．
∴方程2x2－kx+1=0的另一解为x=1．
9．依题意得：
所以=．
10．解：（1）由题意，须△>0，即42－4（m－1）>0，解之得m<5，如m=3，
所以方程为x2+4x+2=0．
（2）如果α、β是方程x2+4x+2=0的两根，根据根与系数的关系可得：α+β=－4，α·β=2，则α2+β2+α·β=（α+β）2－2αβ+αβ=（－4）2－2=14．
11．（1）28千克
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量x千克，
得x[1－（90－x）×1.6%－60%]=12．
解方程得x1=75，x2=－10（舍去）．
（90－75）×1.6%+60%=84%．
∴用油量为75千克，用油的重复利用率为84%．
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