多元函数积分概念与性质省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,将一元函数积分学中,“分割、近似、求和、,取极限”,思想推广，利用到多元函数情形。,第1节 多元数量函数积分,概念和性质,第1页,1.曲顶柱体体积,曲顶柱体,：以,XOY,平面上闭区域,D,为底，以,D,边界曲线为准线，母线平行于,Z,轴,柱面为侧面，,并,以,z,=,f,(,x,y,),为顶空间立体.,一.两个实例：,怎样求此曲顶柱体体积,V？,微元法思想,.,分割,：把,D,任意分成,n,个小区域,(同时用 表示第,i,个小区域面积），分别以 边界为准线作母线平行于,z,轴柱面，则原曲顶柱体分成了,n,个小曲顶柱体。,第2页,近似,：任取 ，,则以 为底小曲顶柱,体体积:,y,x,z,D,o,求和：,取极限,：区域中任意两点距离最大值称为该区域直径，记,则：,第3页,设有一物体对应于空间曲面,(,x,y,z,),为密度,函数(连续）,，,现要求该物体质量,m,。,2.质量：,分割,：把,任意分成,n,小块 ，,表示 第,i,小块曲面面积。,近似,：任取 ，则第,i,小块曲面质量,取极限,：,求和：,第4页,二.数量函数积分概念,定义1,第5页,二重积分；,三重积分：,其中,称为,积分域,，,f,称为,被积函数,，,f,(,M,)d,称为,被积式,或,积分微元,。,几个详细类型：,第6页,第一型曲线积分,（对弧长曲线积分）：,第一型曲面积分,（对面积曲面积分）：,L,称为积分路径。,第7页,数量函数积分几何意义：,当 时，,=,以,D,为底,以,为顶曲顶柱体体积；,第8页,数量函数积分物理应用之一：,第9页,三.积分存在条件和性质.,必要条件:,f,在,上可积，则,f,在,上有界。,第10页,1.,线性性质,：,2.,可加性,3.,积分不等式,若,则,第11页,5.,中值定理,尤其地，有,若 则,第12页,边界为准线，母线平行于,z,轴柱面为侧面，,D,为底面，曲面,由二重积分几何意义知：以,xoy,平面上区域,为顶面曲顶柱体体积为,第2节 二重积分计算,一.直角坐标系中二重积分计算：,x,b,x,a,o,y,z,第13页,任取 ，过,x,轴作平行于,yoz,坐标面平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，设其面积为 ，则,先,y,后,x,二次积分(累次积分),而该体积也可用定积分方法求得:,b,x,a,o,x,y,z,第14页,X-,型区域：任一平行,y,轴直线与,D,边界交点至多只有两个。,上面假定 ，但实际上上公式对普通 也成立。对各种不一样类型积分区域,D,，,二重积分化为二次积分情况总结以下：,第15页,D,a,b,o,y,x,o,y,x,D,a,b,第16页,D,d,c,o,y,x,D,c,d,o,y,x,Y-,型区域：任一平行,x,轴直线与,D,边界交点至多只有两个。,第17页,o,y,第18页,例 1,计算,解,o,x,y,1,1,第19页,解,法一 先对,y,后对,x,积分,o,y,x,例 2,第20页,法二 先对,x,后对,y,积分,o,y,x,第21页,解,因为 原函数不能用初等函数表示，故不能先对,y,积分,例3,计算,o,y,x,1,D,第22页,注意,：在例2中，法1比法2简便，在例3中，因为被积函数中含有 ，只能先对,x,积分.所以，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当积分次序是非常主要，而要计算二重积分，关键是要化为二次积分。,例,4,作出积分域，并改变积分次序：,解,原积分=,(4,2),o,第23页,解,原积分=,o,(2,1),o,解,原积分=,第24页,解,原积分,o,第25页,例5,求两个底面半径相同正交圆柱体所围成立体体积。,解,第26页,二,.,极坐标系下二重积分计算,则得极坐标系下二重积分计算公式:,作极坐标变换,第27页,o,x,D,第28页,若区域,D,可用极坐标不等式,o,x,D,o,x,D,第29页,若区域,D,可用极坐标不等式,o,x,D,第30页,若区域,D,可用极坐标不等式,o,x,D,第31页,若区域,D,可用极坐标不等式,o,x,D,a,b,第32页,解,令,则在极坐标系中，,于是,例,6,计算,第33页,显然,因为,从而,例,7,计算反常积分,解,设,例,6,例,6,第34页,而,从而,所以,第35页,例,8,将以下二次积分化为极坐标形式下 二次积分：,解,第36页,积分区域：,D:,在极坐标下，,D：,于是,解,第37页,在极坐标下，将,D,分为二部分表示：,于是,解,第38页,在极坐标下，,D,分为二部分表示：,于是,解,第39页,例,9,求,Bernoulli,双纽线,围成面积,A.,解,双纽线在极坐标下方程为：,第40页,由 周期性得图形对称性，而且当 从,增加到 时，由零增加到 ，再降低,到零，于是可得如图所表示双纽线图形。,第41页,（2）变换,T：,把,uov,平面上区域 一对一变为,D，,定理1,设（1）,（3）,(,u,v,),(,u,v,),在 上含有一阶连续偏导数，且：,三.二重积分换元法,二重积分换元公式,第42页,例,10,计算,解,于是,第43页,例,11,求由曲线,所围区域,D,面积,S。,解,令,D,第44页,于是,第45页,例1,2,求椭圆 围成区域面积,A。,解,令,广义极坐标，,第46页,作 业,P93-97,习题6.2,1(1,)(b)2(3)3(2)4(1)(2)(3)6(2),7(2)(7)(9)8(2)(4)9(1)(3),10(2)(3)(6)11(2)(3)12(1)(2)13(1)(2)14(1)16,第47页,