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立体图形的截面与三视图
【小故事】
数学名人——商高
商高（公元前1100年左右）
中国周朝时期数学家，他的许多成就没有留传下来。我们仅从古代数学文献《周髀算经》中得知，他是最早发现“勾股定理”的人，周公姬旦与商高有一段对话，商高说：“故折矩，以为勾广三、股修四、径隅五”。用现代话说就是，沿长方形（矩形）对角折叠可得两个直角三角形，若短直角边（勾）是3，长直角边（股）是4，那么斜边（弦）长一定是5，也即，勾：股：弦=3：4：5。
商高还提出了勾股测量术：利用相似关系和直角三角形来确定水平、测量高度、深度及距离的方法。勾股定理比国外最早发现这个定理的毕达哥拉斯超前500余年，因而勾股定理也叫“商高定理”。
【典型例题】
例1 用一个平面去截一个正方体，可能出现哪些图形。

例2 用一个平面去截三棱柱最多可以截得五边形；用一个平面去截四棱柱最多可以截得六边形，用一个平面去截五棱柱最多可以截得七边形；如果用一个平面去截n个棱柱，最多能截得几边形？

例3 从一个正方体上截去一角（一个四面体）使得剩下部分的棱分别为12条、13条、14条、15条，问应该怎样去截，并画出示意图。
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1
2
1
1
1
3
1
1
1

例4 如图是由小立方体搭成的几何体的俯视图，小立方体的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出它的主视图和左视图。

主视图
左视图
俯视图
例5 用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如下，试确定该几何体用了多少块小方块。

十二面体
例6 在五彩缤纷的世界里，其中有各种各样的立体图形，已知一个十二面体如下图所示，试求该十二面体的顶点数和棱数。

立体图形的截面与三视图练习
1．一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（ ）
A．长方形 B．三角形 C．梯形 D．七边形
2．三棱柱的表面展开图形是________形和_________形。
3．正方体的截面中，边数最多的多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
4．把一个正方体截去一个角剩下的几何体最多有（ ）
A．4个面 B．5个面 C．6个面 D．7个面
5．用一个平面去截一个三棱柱，截出的面可能是什么形状？可能是三角形吗？可能是四边形吗？可能是五边形吗？可能是六边形吗？先做一做，再想一想。
6．试一试：用平面去截一个正方体，你能截得一个等边三角形吗？能截得一个直角三角形或钝角三角形吗？

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A
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2
B
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1
2
C
1
2
1
1
1
2
1
D
7．如图，是由几个小立方体块搭成的几何体，小正方形内的数字表示在该位置小立方块的个数，其主视图、左视图正确的是（ ）

从正面看

8．请画出图中几何体的主视图、左视图、与俯视图.

1
2
3
3
2
1
2
2
（1）
1
4
3
2
1
1
（2）
9．如图，是由几个小正方体所搭成的两个几何体的俯视图.小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，请画出相应几何体的主视图和左视图.

10．一个正方体的积木堆在桌上，从前、左两个方向看去，看到的主视图、左视图都如图（1）所示，从上面看下去，看到的俯视图如图（2）所示。试求该物体由几个小正方体组成？
图（1）

图（2）

10．一个长方体的长、宽、高分别为19厘米、14厘米、10厘米，现从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩下的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次切割剩余的部分中再次尽可能大地切下一个正方体，最后剩下的几何体的体积是多少立方厘米？

11．已知一个二十面体如图所示，试求该几何体的顶点数面数与棱数之和。
二十面体

主视图
左视图
俯视图
11．一个立方组合体的三视图如下.试回答下列问题：
（1）该组合体最高有几层？
（2）最高部分位于哪里？
（3）该组合体共有多少个小正方体？

12．小川用正方体木块搭建大楼，右图展示了该大楼从前面和左面看到的形状.为搭建这座大楼，需要正方体木块的最大和最小量各是多少？

13．三棱柱有9条棱，6个顶点，5个面；三棱锥有6条棱，4个顶点，4个面：四棱柱有12条棱，8个顶点，6个面；四棱锥有8条棱，5个顶点，5个面等等.问能否组成一个有24条棱，10个面，15个顶点的多面体？

14．一个球的内部挖去一个最大的正方体（正方体的八个顶点都在球的表面上），用一个平面去截这个几何体，是截面形状的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D．4个

15．画出下图的三视图.

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A
1
2
1
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B
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2
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1
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C
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3
D
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俯视图
16．下图是一个几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方块的个数，那么这个几何体的主视图和左视图是（ ）。

17．在下列立体图形中，不属于多面体的是（ ）
A．正方体 B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥体