函数的奇、偶性.doc

函数的单调性和奇偶性
例1 奇函数在时，，求在时的表达式．
解：设，则，又由题意可知，
∵，
∴
小结：
在一般情况下，问啥设啥，然后再转化到已知区间上，利用函数的奇偶性，问题也就迎刃而解.
例2 求证：是奇函数．
分析：函数解析式是分式，利用“时，若有，也是奇函数”
来证明要简单.
证明：∵，
∴
，
∴，即，定义域是，
∴是奇函数.
例3 画出函数的图像
解：（1）定义域
（2）值域：

（3）奇偶性：
∴是偶函数，
当时，函数的图像如图，然后以轴为对称轴翻折，得到函数的图像.

巩固练习
1．设为定义在上的偶函数，且在上是增函数，试判断的大小关系．
解：∵为定义在上的偶函数，∴
又在上是增函数，且
∴
∴
2．已知函数满足，求．
解：由已知
∴
∴
3．设是上的奇函数，且当时，，
求时，的解析式．
解：令，则
∴
又是上的奇函数
∴
∴即
4．若奇函数在上是增函数，且最小值为5，那么在区间上是（ B ）
（A）增函数且最小值为 （B）增函数且最大值为
（C）减函数且最小值为 （D）减函数且最小值为
5．画出的图像．
作业：
1．已知函数是定义在上的偶函数，且当 时，，则当时，求的解析式.
解：设，则
∴
又是定义在上的偶函数
∴
∴
2．已知为偶函数，试判断在区间的单调性.
解：当即时，为非奇非偶函数，故
又为偶函数
∴，即
∴
∴在上是增函数，在上是减函数
补充：
1．关于奇、偶函数的重要结论：
（1）函数、的定义域为、的奇函数，那么在上，
是奇函数（奇奇=奇）
是偶函数（奇奇=偶）
（2）函数、的定义域为、的偶函数，那么在上，
是偶函数（偶偶=偶）
是偶函数（偶偶=偶）
（3）函数的定义域为上的奇函数，为定义域上的偶函数，那么在上，是奇函数（奇偶=奇）
2．对于复合函数，
（1）若是偶函数，则是偶函数；
（2）若是奇函数，是奇函数，则是奇函数，
若是奇函数，是偶函数，则是偶函数
3．若函数的定义域关于原点对称，
则是偶函数，是奇函数
4．函数既是奇函数又是偶函数的充要条件是（定义域关于原点对称）
证明：（1）充分性
若，则， ，故是奇函数又是偶函数
（2）必要性
由是奇函数，则有 （1）
由是偶函数，则有 （2）
由（1）（2）消去，得
5．学习函数的奇偶性要注意掌握以下几点：
第一，函数是奇函数或偶函数的必要不充分条件是它的定义域关于原点对称。否则，至少存在一个，使得或没有意义，这是因为原点的两侧的值的数目至少相差1，因此，判断一个函数的奇偶性时，如果能够肯定函数的定义域关于原点不对称，立即可以断定函数是非奇非偶函数。
第二，函数的奇偶性是“全局”性质，研究函数的奇偶性要在整个函数的定义域内研究；
第三，在处有意义的奇函数使得恒成立；
第四，既是奇函数又是偶函数的函数的对应法则必须是。
在的后面标注的取值范围，如果这个范围是关于原点对称，则这样的函数既是奇函数又是偶函数，否则是非奇非偶函数。如果后没有标注的取值范围，这时使有意义的的取值范围是，关于原点对称
第五，奇函数、偶函数的本质主要表现在两个方面：
（1）解析式的转化
具有奇偶性的函数满足，使得对在上的研究缩小至对在上的研究，另一部分的有关性质不过是在对部分研究的基础上加“”号罢了，实际上这里面隐含这研究范围缩小的内涵。
（2）函数图象的转化。
图象是函数的一种表现形式，由于奇函数、偶函数的图象关于原点、轴具有对称性，所以从图象的角度研究奇偶函数也包含缩小研究范围的内涵。
例题
1．证明（判断）函数的奇偶性问题
用定义证明（判断）函数的奇偶性的一般步骤：
（1）求出定义域，并判断定义域是否关于原点对称；若定义域关于原点对称，进行第二步；
（2）判断与是否成立；
（3）作出判断
例1 判断下列函数的奇偶性
（1）（）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
解：（1）函数的定义域关于原点不对称，故函数为非奇非偶函数
（2）函数的定义域为关于原点不对称，
故函数为非奇非偶函数
（3）奇函数；
（4）偶函数
（5）函数的定义域为

函数是奇函数
（6）函数的定义域为

函数是偶函数
（7）函数的定义域为

函数是奇函数
（8）由，得
∴函数的定义域为关于原点不对称，
故为非奇非偶函数
例2 判断函数的奇偶性
解：（1）当时，

（2）当时，

（3）当时，，满足
综上
∴函数是奇函数
2．奇偶函数的解析式的转化问题
数学的本质是研究“数”和“形”。奇偶函数在“数”的意义下的内涵是“与的相互转化”，这是奇偶函数的个性。
例3 已知是上的偶函数，且当时，。求当时，的解析式。
解：令，则
∴
又是上的偶函数
∴
∴
说明：首先在哪个区间求解析式，就设在那个区间里。
其次要通过已知区间上的解析式代入，
最后通过的奇偶性把转化为或，从而解出
练习：
已知是奇函数，且当时，，求时，的解析式
解：设，则
∴
又是奇函数
∴
∴即
例4 设是上的奇函数，，当时，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
说明：周期函数特征，可向学生渗透
解：∵是上的奇函数，且
∴

又当时，
∴
例5 已知函数对一切都有
（1）求证：是奇函数；
（2）设，用表示
证明：由已知的定义域为
（1）在中，
令，则有，∴
令，得
∴
∴是奇函数
（2）由函数对一切都有，且是奇函数

3．函数的奇偶性与单调性的关系问题
例6 偶函数的定义域为，且在上是增函数，则下列式子正确的是（ B ）
（A） （B）
（C） （D）
解：
又函数在上是偶函数，且在上是增函数
∴在上是减函数，
∴
例7 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，求实数的取值范围。
分析：运用函数的奇偶性、单调性去掉函数关系符号“”，将抽象不等式转化为具体不等式问题去解决。
解：由，得
由，解得（舍），或
∵是定义在上的偶函数，且在上为增函数
∴在上是减函数，
又
∴
（1）当时，，不满足题意，
（2）当时，，
∴，解得
解得
（3）当时，
∴，解得，或
∴
综上，实数的取值范围是
例8 已知奇函数，它在区间（）上还是一个函数值大于0的减函数，函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论。
结论：在区间上是增函数
证明：设，则
由在区间上恒大于0且是减函数
∴
又∵是奇函数，
∴
∴（）
∴
∴在区间上是增函数
例9 设，，，是否存在实数，使在区间上是减函数，且在区间上是增函数？
解：∵
∴
∴，即
设存在实数，使满足题设条件，即在区间上是减函数，且在区间上是增函数
任意，有，∴，即

（1）当时，有在区间上是减函数
∴，即
∴，即对任意，恒成立，
而
∴只要
（2）当时，有在区间上是增函数
∴，即
∴，即对任意，恒成立，
而
∴只要
综合（1）（2）知当时，在区间上是减函数，且在区间上是增函数