ODE45函数的使用——翻译.doc

在Matlab中使用ode45简介
Matlab中常微分方程常用的函数是ODE45，这个函数能够利用--龙哥库塔法--有效求解带时间变量步长的计算。Ode45用于求解如下的一般问题：
（1）
其中，时间t是独立变量，x为时间相关矢量，是时间t和x的函数。当（1）右边的是固定的，且给定x的初始值，那么问题的解是唯一的。
在ME175中，解法是不完整的，但是只要你解决了问题，就可以获得ODE代表的系统运动趋势。这有利于得到一个直观的印象，看起来很复杂的常微分方程，代表的质点运动轨迹确实简单明了的。以下简要解释如何得到运动轨迹：

第一步：
对给定的ODE方程进行降阶处理，得到一系列一阶方程
这就是你要做的第一步，在一张草稿纸上处理。例如，给定ODE方程如下：
（2）
对本问题，矢量x有两个组成分量：y和，或
（3）
且
（4）
其中，用（3）中的式子代表了y，，，于是把（2）改写为（4）。

如果求解的问题有更多阶数更多变量呢？例如，我们除了有上面的方程（2），同时还有以下的方程：
（5）
那么，我们可以通过构造更大的矢量x同时求解y，z：
（6）
然后
（7）
以及
（8）
其中，y变量和z变量的放置位置对求解不造成影响。实际上，任意次序都是有效的，例如
和
但是重要的是，在整个计算过程中，你使用的顺序都必须和一阶ODE方程中定义的变量顺序相同。之后，如果你使用的是（7）中给定的的式子，那么系统的一阶ODE方程，由以下方程组组成。
（10）
而涉及的表征变量结果如下：
（11）
基本上，可以处理任意数量的高阶ODE方程。重要的是把它们处理成多个一阶的ODE方程，并且确保记住被求解的矢量X中，不同变量所分配的顺序。

第二步 编写代码
既然你已经有所求解问题的一阶格式，在你编程的主要代码中，将会用到以下的命令

·fname是函数的M文件名用于求解方程（1）右边代数式的值。这个函数将被输入一阶ODE系统中，并且被积分（见（10），（11））。后面，将会更详细的解释。
注：当然关于ODE45如何积分给定的方程有细微的差别，但是对于简单的问题，不分先后次序的积分，是可以接受的。
·tspan 是矢量定义了积分的起始点和终点，同时也定义了时间步长。例如，我们需要积分t=0到t=10，希望步数是100步，那么tspan=[0:0.1:10]或者tspan=linspace（0,10,100).
·xinit是初始条件矢量。确保初始值的顺序和给定的x中变量和它倒数的顺序是一致的。同时注意如果x有5个变量，那么同时要输入5个初始值。
·option这个在matlab的帮助文件中有很好的说明。对于大部分的问题，使用默认值就可以满足计算要求。
·t是独立变量，计算数组x在时间点t的数值。这个矢量不必等于tspan，ODE45自动调节步数以取得最大的效率和精确度。（在快速变化部分采用小步长，在变化缓慢部分采用大步长）。
·x相关内容如下。X是数组或矩阵，大小为length（t）*length（xinit）。每一列x代表不同的因变量。例如，，为简单假定t=0,1,2....,10,将会计算函数在11个点的值。
（12）

如果是x的第四个变量，那么得到了在t=0时候的值，得到了在t=6时候的值，得到了t=10时候的值。简而言之，
·代表x的第k个变量，k=1与变量y相关，k=2与变量相关。
·计算所有变量在某一时间点j的数值
注：在产生hokey pokey舞蹈前，史前儿童围坐在篝火前齐唱：
You put your left foot in
You put your left foot out'
You put your left foot in
And you shake it all about
当你使用matlab函数ODE45及时完成作业时，x就是要做得全部内容。
不幸的是由于缺乏matlab软件，使得这本书过时了。
·

命令的作用是重新定义变量。、，然后，如果使用变量顺序为
，应该这么写程序：

当然，也不应该认为定义y，ydot麻烦。直接表达为x的形式（例如，使用代表y），清晰的定义方式有利于后面的调试。

以下，你将以（或是被要求）绘图的形式描述感兴趣的轨迹：质点随时间运动轨迹，在平面中表示角度和径向关系等。绘图和绘制子图的命令在matlab帮助文件中有清晰的说明，这里不再详细说明。记住如果你想在一张图中放多个图，应该使用子图的概念，当然在一张图片中画多个图，不是一个好主意。别忘记给图加标签：包括标题，x轴，y轴的含义，如果多条曲线应该分别标明。

最后，请注意在中包含的仅仅是变量而已，依据自己的喜好使用字母，T替换t，x0替换xinit都是可以的。只有记住使用新变量名，之后的每个引用都用一样的名称。
另一个普遍的错误在于，同一变量的重复定义。例如，定义，如果足够幸运的话，会有错误警告；不幸的话，这种错误很难发现，要花数小时时间检查您的程序以解决问题。

此外，fname是什么呢？
回忆下，我们还没有告诉matlab程序应该对什么函数进行积分，是吧？这就是为什么需要fname文件，fname文件含有所有之前在稿纸上重写的ODE一阶函数。你可以对这个文件起任意的名称，只要与中使用的fname一致。
例如，你对fname取名superman那么
是对的，而
就不正确了。
更进一步说，函数不必须像在原始代码中写的在同一个m文件中，一些人喜欢在程序末尾书写子程序，特别是代码不长，比较简单的时候。
例如，你的代码名称ME175example文件，那么m文件将如下：

Function dxdt=ME175example(t,x)
%这里 t,x 和 dxdt are 只是变量而已。你可以起任意名称
%只要 t 是独立变量，而X是因变量
%dxdt 是推到的一阶因变量
% 定义常数
m= 1;
%定义变量使之清晰易懂
%Recall that x = [y, ydot, z, zdot, zdotdot]y=x(1);
ydot=x(2);
z=x(3);
zdot=x(4);
zdotdot=x(5);
%注意x仅仅是1列五行的数组
%[t,x] = ode45(@fname, tspan, xinit, options)
%数组dxdt与x的大小相同
dxdt = zeros(size(x));
dxdt(1) = ydot;
dxdt(2) = 1/m(5 x(2)exp(y) +y2)
; %This is ydotdot
dxdt(3) = zdot;
dxdt(4) = zdotdot;
dxdt(5) = t-zdotdot+sin(z); %This is zdotdotdot
%Note that the input arguments must be t and x (in that order) even in the case where t is not
explicitly used in the function.

基本模板
以下是基本模板，当你想对一个高阶常微分方程进行积分时，把它复制黏贴到Matlab中

Function 任何你想要的名字
%定义起始时间tstat，终止时间tend，时间步数n
Tstart=？;
Tend=？;
N=?;
Tspan=linspace(Tstart, Tend, N);

%定义初始值，确保正确的顺序
Xinit=[...; ...; ...; ...;...];
%获得矢量x。把option设置为默认值即可

%定义输出变量

...
%所需要画图的函数
Subplot（?, ?, ?)
Plot(需要的图像）
%plot3（）画3D图
Title（' ')
Xlabel(' ')
Ylabel(' ')
Zlabel(' ')
-----------------------------------
%积分函数，可以作为独立m文件，或在本程序底部，语法如下
Function dxdt=积分函数（t，x）
%定义积分中使用的常数
%定义新变量；
%也可以不定义，这样的好处是，便于其他人阅读你的程序
%写下你得到的一阶ODE方程
dxdt=zeros（size（x））
dxdt（1）=?;
dxdt（2）=?;
dxdt（3）=?;
Etc.

小结：
如果所有的步骤都对了，方程也是正确的。你将发现你的到的关系图是很优美的，不用你艰难的推到。干的好！
最后，同样地问题又多种不同的解法。多用matlab尝试，你将有所发现，比起其他算法有些算法非常有效率。我使用Matlab三年了，仍然可以发现很多新的有效的算法。总之，乐在其中。Despite what you think, MATLABis not out to get you (it has it's hands full giving me a hard time)

感谢 Nur Adila Faruk Senan 伯克利 加利福尼亚大学 机械工程系
您写的文档，对此帮助很大。