第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷-初一组.doc

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第十六届华罗庚金杯少年数学邀 请赛初赛试卷（初一组）

时间：2011年3月19日上午10:00~ 11:00

一、选择题（每小题10分，满分60分。以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）
1．船在江中順水航行与逆水航行的速度之比为7：2，那么它在两港间往返一次的平均速度与顺水速度之比为( )．
(A) (B) (C) (D)
2．如右图所示，三角形ABC的面积为1 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则与三角形PBC的面积相等的长方形是( )

3．设a，b是常数，不等式的解集为x<，则关于x的不等式bx-a>0的解集是( )。
(A) (B) (C) (D)
4．右图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定。如果在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添如( )个螺栓。
(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
5．一对四堆石子进行如下“操作”：每次允许从每堆中各拿掉相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。若四堆石子的个数分别为2011，2010，2009，2008，则按上述方式进行若干次“操作”后，四堆石子的个数可能是（ ）
(A)0，0，0，1 (B)0，0，0，2 (C)0，0，0，3 (D)0，0，0，4
6．对于0≤≤100，用[]表示不超过的最大整数，则[]+[]的不同取值的个数为( )。
(A) 267 (B) 266 (C) 234 (D) 233
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．对整数按以下方法进行加密：每个数位的数字变为与7乘积的个位数字，再把每个数位上的数字“变为，如果一个数按照上面的方法加密后为“473392”， 则该数为 。
8．老师问A、B、C、D、E五位学生：“昨天你们有几个人玩过游戏？”他们的回答分别为 A：没有人；B：一个人；C：二个人；D：三个人；E：四个人，老师知道：他们之中有人玩过游戏，也有人没有玩过游戏，若没有玩过游戏的人说的是真话，那么他们5个人中有 个人玩过游戏．
9．公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如下图所示。

由于坏了一支荧光管，某公交线路号变成“351”．若该线路号恰好等于两个不同的两位质数的积，则正确的线路是 路。
10．在下面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“华杯初赛”的最小值是 。

【参考答案】
一、
1． (D)

2．(B)，延长AP交线段BC于D点，BP为角分线，又是AD的垂线，故垂直平分线段AD。图中，红绿两三角形等底同高，面积相等；蓝黄两三角形面积相等（等底同高）。三角形BPC面积是三角形ABC面积的一半。

3．设a,b是常数，不等式的解集为x<，则关于x的不等式bx-a>0的解集是( )。
(A) (B) (C) (D)
4． (B)2

5．首次，四个数同减去2008，得（3，2，1，0）；
从第二个数拿出一个给第四个数，得（3，1，1，1）；
四个数同减去1，得（2，0，0，0），把第一个数给第四个数，得到答案（B）。
6．对于0≤≤100，用[]表示不超过的最大整数，则[]+[]的不同取值的个数为( )。
(A) 267 (B) 266 (C) 234 (D) 233

二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．逐步还原，即得结果。
“473392”→“637718”→“8（7×8＝56）9（7×9＝63）1（7×1＝7）1（7×1＝7）4（7×4＝28）”，结果“89114”。
8.老师问A、B、C、D、E五位学生：“昨天你们有几个人玩过游戏？”他们的回答分别为 A：没有人；B：一个人；C：二个人；D：三个人；E：四个人，老师知道：他们之中有人玩过游戏，也有人没有玩过游戏，若没有玩过游戏的人说的是真话，那么他们5个人中有 个人玩过游戏．
按题中条件：“老师知道：他们之中有人玩过游戏，也有人没有玩过游戏”推断，A显然说的是假话，A玩游戏了，即至少有1人玩过游戏。
假设有1人玩游戏，其它4人没玩儿，则4人说真话，B显然是对的，且B没有玩游戏，A、C、D、E没玩游戏，按题中条件，他们中也有3人说的是真话，显然是不可能的，故不止1人玩游戏；
假设有2人玩游戏，其它3人没玩儿，则3人说真话，C显然是对的，且C没有玩游戏，另外还有2人没玩游戏，说的是真话，显然是不可能的，故不止2人玩游戏；
假设有3人玩游戏，其它2人没玩儿，则2人说真话，D是对的，D也没玩游戏，那么，还有一个人没玩，说的也是真话。B、C、E回答中，都与D的回答不一致，不成立；
假设有4人玩游戏，其它1人没玩儿，则1人说真话，E成立，说的是真话。
9．
尝试可能的数除以两位质数，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，61，67，71，73，79，83，97。上述各数相乘，所得结果的个位可能为“1”、“3”、“7”、“9”。
百位数可变为“9”，951＝3×317，非两个两位质数之积，不符合题中要求，舍弃；
十位数可变为“9”和“6”，可能的数为“391”和“361”末位是“1”，质数的个位应该是
“□1×□1”：（11×11＝121，11×31＝341，11×41＝451，11×61＝671，11×71＝781）；
“□3×□7”：（13×17＝221，17×23＝391，13×37＝481）；
“□9×□9”：（19×19＝361）。
个位数可变为“7”，可能的数为“357”，357＝7×51＝7×3×17，不符合题意要求，舍弃。
10.

“十”+“杯”+□＝末位为“0”，提示要进位，故“华”＝1，后面数字中不再出现；
百位上的两个数字可能为：0+9、2+7、3+6、4+5；
十位上两数相加之和末位为“1”，須进位1，可能为：“2+3+5，2+8+0，3+7+0，4+6+0”；
个位三个数相加之和末位为“1”，須进位1，可能为：“2+3+6，2+4+5，2+9+0，3+8+0，4+7+0，5+6+0”；
百位上数字尽可能小，若百位有“2”时，十位上不能安排；
百位有“3”时，十位上为“2+8+0”，个位上不能安排，不成立；
百位上为“4+5”时，十位上为“2+8+0”或“3+7+0”。“2+8+0”时，个位不能安排，不成立；“3+7+0”时，个位上三个数无法选取；
1（0，8）（4，7，9）（2，3，6），最小1042；
1（2，6）（3，8，9）（4，7，0），最小1230；
1（0，9）（2，3，4）（6，7，8），最小1026；
1（2，7）（0，3，6）（4，8，9），最小1204；
1（3，6）（0，2，7）（4，8，9），最小1304；
1（3，5）（2，8，9）（6，7，8），最小1326。