六年级数学上册组合图形的周长和面积.doc

六年级数学上册组合图形的周长和面积
例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这是最基本的方法： 圆面积减去等腰直角三角形的面积，
　　 ×-2×1=1.14（平方厘米）

例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的面积。
　　设圆的半径为 r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以 =7，
　　所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米

例3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：最基本的方法之一。用四个 圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，
　　所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。

例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：同上，正方形面积减去圆面积，
　　16-π()=16-4π
　　　　　　 =3.44平方厘米
例5.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，
　　我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，
　　π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米
　　另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。

例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？
解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）
　　π-π()=100.48平方厘米
　　（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）

例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)
　　正方形面积为：5×5÷2=12.5
　　所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米
　　(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形)

例8.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，
　　所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米
例9.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形，
　　所以阴影部分面积为：2×3=6平方厘米

例10.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个长方形，
　　所以阴影部分面积为2×1=2平方厘米
　　(注: 8、9、10三题是简单割、补或平移)

例11.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求。
　　（π -π）×=×3.14=3.66平方厘米
例12.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：三个部分拼成一个半圆面积．
　　π()÷２＝14.13平方厘米

例13.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解: 连对角线后将"叶形"剪开移到右上面的空白部分,凑成正方形的一半.
　　所以阴影部分面积为：8×8÷2=32平方厘米

例14.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：梯形面积减去圆面积，
　　(4+10)×4-π=28-4π=15.44平方厘米 .
例15.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。
分析: 此题比上面的题有一定难度,这是"叶形"的一个半.
解: 设三角形的直角边长为r，则=12，=6
　　圆面积为：π÷2=3π。圆内三角形的面积为12÷2=6，
　　阴影部分面积为：(3π-6)×=5.13平方厘米

例16.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：［π＋π－π］
　 =π(116-36)=40π=125.6平方厘米

例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：上面的阴影部分以AB为轴翻转后，整个阴影部分成为梯形减去直角三角形，或两个小直角三角形AED、BCD面积和。
　　所以阴影部分面积为：5×5÷2+5×10÷2=37.5平方厘米
例18.如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形,求阴影部分的周长。
解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在一起为一个半圆弧，
　　所以圆弧周长为：2×3.14×3÷2=9.42厘米

例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。
解：右半部分上面部分逆时针，下面部分顺时针旋转到左半部分，组成一个矩形。
　　所以面积为：1×2=2平方厘米

例20.如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。
解：设小圆半径为r，4=36, r=3，大圆半径为R，=2=18,
　　将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环,
　　所以面积为:π(-)÷2=4.5π=14.13平方厘米
例21.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积。
解：把中间部分分成四等分，分别放在上面圆的四个角上，补成一个正方形，边长为2厘米，
　　所以面积为：2×2=4平方厘米

例22. 如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。
解法一: 将左边上面一块移至右边上面,补上空白,则左边为一三角形,右边一个半圆.
　　　　阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和. π()÷2+4×4=8π+16=41.12平方厘米
解法二: 补上两个空白为一个完整的圆.
　　　　所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶形面积为:π()÷2-4×4=8π-16
　　　　所以阴影部分的面积为:π()-8π+16=41.12平方厘米
例23.图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，，它们的公共点是该正方形的中心，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少？
解：面积为４个圆减去８个叶形，叶形面积为：π-1×1=π-1
　　所以阴影部分的面积为:4π-8(π-1)=8平方厘米

例24.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周π率取3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少平方厘米？
分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形，各个小圆被切去个圆，
这四个部分正好合成３个整圆，而正方形中的空白部分合成两个小圆．
解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和．
　　为：4×4+π=19.1416平方厘米

例25.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位:厘米)
分析：四个空白部分可以拼成一个以２为半径的圆．
　　　所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积，
　　　4×(4+7)÷2-π=22-4π=9.44平方厘米

例26.如图，等腰直角三角形ABC和四分之一圆DEB，AB=5厘米，BE=2厘米，求图中阴影部分的面积。
解: 将三角形CEB以B为圆心，逆时针转动90度，到三角形ABD位置,阴影部分成为三角形ACB面积减去个小圆面积,
　　为: 5×5÷2-π÷4=12.25-3.14=9.36平方厘米
例27.如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积。
解: 因为2==4，所以=2
　　 以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形AC面积， 　　
　　π-2×2÷4+[π÷4-2]
　 =π-1+(π-1)
　 =π-2=1.14平方厘米
例28.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解法一：设AC中点为B,阴影面积为三角形ABD面积加弓形BD的面积,
　　三角形ABD的面积为:5×5÷2=12.5
　　弓形面积为:[π÷2-5×5]÷2=7.125
　　所以阴影面积为:12.5+7.125=19.625平方厘米
解法二：右上面空白部分为小正方形面积减去小圆面积，其值为：5×5-π=25-π
　　阴影面积为三角形ADC减去空白部分面积，为：10×5÷2-（25-π）=π=19.625平方厘米
例29.图中直角三角形ABC的直角三角形的直角边AB=4厘米，BC=6厘米，扇形BCD所在圆是以B为圆心，半径为BC的圆，∠CBD=，问：阴影部分甲比乙面积小多少？
解: 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形BCD，一个成为三角形ABC，
　　此两部分差即为：π×－×4×6＝5π-12=3.7平方厘米

例30.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。求BC的长度。
解：两部分同补上空白部分后为直角三角形ABC，一个为半圆，设BC长为X，则
　　40X÷2-π÷2=28
　　所以40X-400π=56 则X=32.8厘米

例31.如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积。
解：连PD、PC转换为两个三角形和两个弓形，
　　两三角形面积为：△APD面积+△QPC面积=（5×10+5×5）=37.5
　　两弓形PC、PD面积为：π-5×5
　　所以阴影部分的面积为：37.5+π-25=51.75平方厘米
例32.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。
解：三角形DCE的面积为:×4×10=20平方厘米
　　梯形ABCD的面积为:(4+6)×4=20平方厘米 从而知道它们面积相等,则三角形ADF面积等于三角形EBF面积，阴影部分可补成圆ABE的面积，其面积为：
    π÷4=9π=28.26平方厘米
例33.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解:用大圆的面积减去长方形面积再加上一个以2为半径的圆ABE面积，为
　 (π+π)-6
　=×13π-6
　=4.205平方厘米
例34.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：两个弓形面积为：π-3×4÷2=π-6
　　阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积，结果为
　　π+π-（π-6）=π（4+-）+6=6平方厘米

例35.如图，三角形OAB是等腰三角形，OBC是扇形，OB=5厘米，求阴影部分的面积。
解：将两个同样的图形拼在一起成为圆减等腰直角三角形
　　[π÷4-×5×5]÷2
　　=（π-）÷2=3.5625平方厘米
例36.A
如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。

B
O1
O

解：因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。所以
3.14×12××2＝1.57（平方厘米）
答：长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。

例37.如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
C

II

6B

D

I

EB
B
A

4B
19－14

解：我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右图所示），因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积分别相等，所以I和II的面积相等。
6×4＝24（平方厘米）

答：阴影部分的面积是24平方厘米。
例38如图19－18所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
C
O
B
A
D
D
C

O
B
A

19－18

解：阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度）
扇形的面积：2×2×3.14×≈2.09（平方厘米）
三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.16平方厘米。
★组合图形的周长与面积练习题
圆的周长和面积(一)
【知识要点】：用剪拼移补的方法计算组合图形的面积
1、计算下面图形中涂色部分的面积。（单位：厘米）
　①　　　　　　　　　　　　　　 ②
3 1
5 3

2、求下面图形中涂色部分的面积。（单位：厘米）
　①　　　　　　　　　　 　　　　 ②
5 5
8

3、下面两个圆中直角等腰三角形的面积都是5平方厘米，求圆的面积。
①　　　　　　　　　　 　　　　 ②
O

4、如下图示，AB＝4厘米，求涂色部分的面积。

A O B

5.求阴影面积

←　15厘米　→
6、如下图所示，一个圆的周长是15.7厘米，求长方形的面积。

圆的周长和面积(二)
一、关键问题：
对于组合图形的面积，可以通过把其中的部分图形进行平移，翻折或旋转，化难为易。
二、典型例题：
（一）基础部分：
1、例1、将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。
2厘米 3厘米
O1
O22

2、例2、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）

6

6
6

3、例3、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）

4
o

（二）拓展部分：
1、例1：两条细绳各自牢牢地绑住如（甲）（乙）两图所示的卷筒纸，每个卷筒纸的半径是10㎝。请问这两条细绳的长度分别是几厘米？
（甲） （乙）

三、热身演练：
（一）基础练习：
1、如图：正方形的边长是5厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？
5
o

2
45º
3
o
2、求阴影部分的周长。

3、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
6
6
6

4、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
4
4

(二)拓展练习：
1、有7根直径都是2分米的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米长的绳子？（打结用的绳长不计）

2、直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，（如图），试求金属带的长度。

3、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
6

4、下图：大圆直径上的所有小圆的周长之和与大圆的周长有什么关系？如果小圆的直径分别是3厘米、1厘米、4厘米、2厘米。请求出大圆直径上所有小圆的周长之和，以及大圆的周长。

5、下图：小圆的周长是12.56厘米，环形的宽度是2厘米，请求出环形的面积。

6、下图：长方形的长是6厘米，宽是3厘米。请求出阴影部分的面积。

7、下图：大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米，请求出阴影部分的面积。

8、求出下图阴影部分的面积。

9、 求出下图阴影部分的面积。

10、下图：正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。阴影部分占正方形的百分之几？

11、下图是由两个边长是5厘米正方形的拼成长方形，请求出阴影部分的面积。

12、下图正方形的面积是8平方厘米，画出其对称轴，并求出阴影部分的面积。

13、下面正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。

14、根据上图，以及上图的条件求出阴影部分的面积。

15、下图：圆的周长是25.15厘米，请求出阴影部分的面积。

16、下图：直角三角形的两直角边分别是8厘米，6厘米，斜边是三角形周长的，求出阴影部分的面积。

17、下图：正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。

18、 如图8，已知EO=8㎝，求阴影部分的周长和面积。

19、 如图10，求阴影部分的周长和面积。（单位：㎝）

20、如图11，求阴影部分的面积及阴影弧线长的和。（单位：㎝）

21、 如图12，已经半圆的直径为10㎝，求阴部分的面积及阴影弧线长的和。
22、如下图，已知AB=12厘米，且阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积大12平方厘米。求BC的长是多少厘米？

23、如下图，求出阴影部分的周长和面积。（单位：㎝）

24、如下图，已知AC=CD=DB=2㎝，求阴影部分的周长和面积。

25、已经半圆的直径为9㎝，求阴影部分的面积。

26、如下图，求阴影部分的周长与面积。（单位：㎝）

C
27、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。

D
A
C
B
1
2

A
C
B
D
8
28、如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的重点，求阴影部分的面积。

29、 如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。

B
c
A

30、 如图所示，求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）
C

3

D

45○

B
A

7

C
31、 如图19－16所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。

F
D

38

19－16
B
E
A

32.图19－17是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分的面积（单位：厘米）。

40
30

5
120

19－17

33、如图19－19所示，∠1＝15度，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。

34、 如图19－20所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，BD：DC＝3：1。求阴影部分的面积。

35、 如图19－21所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。

O
A
B
D
C
C
A

5.2

30○
60○
B
O

12
B
A

19－21
19－20
19－19

三角形面积计算
【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=2/3BC，求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=2/3BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1：
1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。

2．如图所示，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。

3．如图所示，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面积。

【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为6÷2＝3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷2＝3。
答：△AOD的面积是3。
练习2：
1．两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？

2．已知AO＝1/3OC，求梯形ABCD的面积（如图所示）。     

3．已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。（如图所示）。

【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。
【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3：
1．四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图）。

2．已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。    

3．如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。

【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4：
1．如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。

2．已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积（如图所示）。  

3．已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积（如图所示）。      

【例题5】如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。
【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。
练习5：

1．如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。

2．如图所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方厘米，求三角形AEF的面积。

3．如图所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米，求三角形AEF的面积。       
简单几何体的表面积与体积的计算
一、四种常见几何体的平面展开图
　　1.正方体
　　沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。

　　图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
　　2.长方体
　　沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

　　3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。

4.（直）圆锥体
　　沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图6—4。

二、四种常见几何体表面积与体积公式
1.长方体
长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）
长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
2.正方体
正方体的表面积=6×a2
正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。
3.圆柱体
圆柱体的侧面积=2πRh
圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）
圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
4.圆锥体
圆锥体的侧面积=πRl
圆锥体的全面积=πRl+πR2

母线长与高）。
三、例题选讲
例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
分析与解：从图6—5和图6—6中可知： 与；与；与互相处于相对面的位置上。只要在图6—7

　　（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。
　　先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与处在互为对面的位置上。
　　再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。
　　最后再看图6—7中的（c），同上，1与，2与4处在互为对面的位置上。
　　图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。

例2 图6—9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。
分析与解：只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图6—10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。

例3 在图6—11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？
分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6—12和图6—13。

例4 图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π=3.14）？

分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。
　　正方体的表面积为42×6=96（平方厘米）
　　一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）
　　几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）
　　答：（略）
例5 图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？
分析与解：从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的。因为小正方体的棱长是1厘米，所以

　　上面的表面积为12×9=9（平方厘米）
　　前面的表面积为12×8=8（平方厘米）
　　左面的表面积为12×7=7（平方厘米）
　　几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=
　　答：（略）
例6 图6—16中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？（π=3.14）
分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。
　　因为圆锥形铅锤的体积为

　　设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）2×x=100πx（立方厘米）
　　所以有下列方程：
　　60π=100πx，解此方程得：
　　x=0.6（厘米）
　　答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少（π=3.14）？
分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积×高。假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子：
　　2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）2
　　=2πx+4π
　　根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：2πx+4π=75.36
　　　　解方程：

　　圆钢的体积为π×（2÷2）2×10≈31.4（立方分米）
　　答：（略）。

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