学而思高中数学10函数的单调性.doc

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板块一.函数的单调性

典例分析

题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。
1.定义法
【例1】 试用函数单调性的定义判断函数在区间上的单调性．

【例2】 证明函数在定义域上是增函数．

【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．

【例4】 证明函数在定义域上是减函数．

【例5】 讨论函数的单调性．

【例6】 求函数f(x)=x+的单调区间。

【例7】 求证:函数在上是增函数.

【例8】 （2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。

【例9】 （2001天津，19）设，是上的偶函数。
（1）求的值；（2）证明在上为增函数。

【例10】 已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。

【例11】 已知函数对任意实数，均有．且当＞0时，，试判断的单调性，并说明理由．

【例12】 已知给定函数对于任意正数，都有＝·，且≠0，当时，．试判断在上的单调性，并说明理由．

2.图象法
【例13】 如图是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

【例14】 求函数的单调减区间

【例15】 求下列函数的单调区间：
⑴ ；⑵ （）．

【例16】 求下列函数的单调区间：
⑴；⑵

【例17】 作出函数的图象，并结合图象写出它的单调区间．

【例18】 画出下列函数图象并写出函数的单调区间
（1） （2）

3.求复合函数的单调区间
【例19】 函数（，）的递增区间是（ ）
A． B．或 C． D．或

【例20】 已知是偶数，且在上是减函数，求单调增区间。

【例21】 求函数的单调区间．

【例22】 讨论函数的单调性．

【例23】 求函数㏒的单调区间

【例24】 （1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性。

题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围
【例25】 设函数是R上的减函数，则的范围为( )
A． B． C． D．

【例26】 函数)是单调函数的充要条件是( )
A． B． C． D．

【例27】 已知（且）是上的增函数．则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．

【例28】 设是实数，，
⑴试证明对于任意，为增函数；
⑵试确定值，使为奇函数．

【例29】 设定义域为R上的函数f(x)既是单调函数又是奇函数，若对一切正实数t成立，求实数k的取值范围。

【例30】 已知f（x）是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数且0＜θ＜时,,求t的取值范围.

【例31】 已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。

题型三：函数的单调性与方程、不等式
【例32】 比较的大小.

【例33】 已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（ ）
A． B．
C． D．

【例34】 若是上的减函数，且的图象经过点和点，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．

【例35】 解方程.

【例36】 设f(x)在R上是偶函数，在区间（-∞,0）上递增，且有f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),求a的取值范围。

【例37】 设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。
（1）求证：； （2）证明：时恒有；
（3）求证：在R上是减函数； （4）若，求的范围。

【例38】 设是定义在上的单调增函数，满足
求：（1）f（1）；（2）当时x的取值范围.

【例39】 已知是定义在上的增函数，且．
⑴求证：，；
⑵若，解不等式．

【例40】 已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。

【例41】 已知 a、b、c，求证：

【例42】 已知x＞-1，且x≠0，，求证：

【例43】 设，是定义在有限集合上的单调递增函数，且对任何，有．那么，（ ）
A． B． C． D．

【例44】 已知是定义在上的增函数，且当时，，，则 ．

题型四：函数的最值
【例45】 求函数，的最小值．

【例46】 求函数的最小值．

【例47】 求函数的最值．

【例48】 （2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R。
（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。

【例49】 设m是实数，记M={m|m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)。
(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M；
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值；
(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。

板块一.集合的性质