高中数学必修五试题.doc

必修五阶段测试四(本册综合测试)
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．不等式≥1的解集是(　　)
A. 　B. C. D．{x|x<2}
2．(2017·存瑞中学质检)△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC外接圆的直径为(　　)
A．4 B．5 C．5 D．6
3．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解为(　　)
A．x>5a或x<－a B．x>－a或x<5a C．－a<x<5a D．5a<x<－a
4．若a＞0，b＞0，且lg(a＋b)＝－1，则＋的最小值是(　　)
A. B．10 C．40 D．80
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，a3＝5，Sk＋2－Sk＝36，则k的值为(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
6．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A.< B.> C.> D．a|c|>b|c|
7．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　)
A．12 B．8 C．6 D．4
8．若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a—b的值是(　　)
A．48 B．30 C．24 D．16
9．设{an}是等比数列，公比q＝2，Sn为{an}的前n项和，记Tn＝(n∈N*)，设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
10．设全集U＝R，A＝{x|2(x－1)2<2}，B＝{x|log(x2＋x＋1)>－log2(x2＋2)}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{x|1≤x<2} B．{x|x≥1} C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}
11．在等比数列{an}中，已知a2＝1，则其前三项的和S3的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
12．(2017·山西朔州期末)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，设数列的前n项和为Sn，若Sn<m对一切正整数n恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2017·福建莆田二十四中期末)已知数列{an}为等比数列，前n项的和为Sn，且a5＝4S4＋3，a6＝4S5＋3，则此数列的公比q＝________.
14．(2017·唐山一中期末)若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．
15．如右图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°.灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．

16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2017·山西太原期末)若关于x的不等式ax2＋3x－1>0的解集是.
(1)求a的值；
(2)求不等式ax2－3x＋a2＋1>0的解集．
18.(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：
(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．
19．(12分)(2017·辽宁沈阳二中月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝.
(1)求sin2＋cos2A的值；
(2)若a＝，求bc的最大值．
20.(12分)(2017·长春十一高中期末)设数列{an}的各项都是正数，且对于n∈N*，都有a＋a＋a＋…＋a＝S，其中Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求a2；
(2)求数列{an}的通项公式．
21．(12分)已知点(x，y)是区域(n∈N＋)内的点，目标函数z＝x＋y，z的最大值记作zn.若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且点(Sn，an)在直线zn＝x＋y上．
(1)证明：数列{an－2}为等比数列；
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
22.(12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．
(1)该厂从第几年起开始盈利？
(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？

答案与解析
1．B　由≥1，可得－1≥0，所以≥0，即≥0，所以解得≤x<2.
故选B.
2．C　∵S△ABC＝acsinB＝2，
∴×1×c＝2，∴c＝4，
∴b2＝c2＋a2－2accosB＝32＋1－2×1×4×＝25，
∴b＝5，∴外接圆的直径为＝＝5，故选C.
3．B　(x＋a)(x－5a)>0. ∵a<0, ∴－a>5a.
∴x>－a或x<5a，故选B.
4．C　若lg(a＋b)＝－1，则a＋b＝，
∴＋＝10(a＋b)＝
10≥10(2＋2)＝40.
当a＝b＝时，“＝”成立，故选C.
5．A　∵a1＝1，a3＝5，∴公差d＝＝2，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
Sk＋2－Sk＝ak＋2＋ak＋1＝2(k＋2)－1＋2(k＋1)－1＝4k＋4＝36，∴k＝8，故选A.
6．C　∵a>b，>0，∴>，故选C.
7．B　由等差数列的性质知，a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，
∴a8＝8.又am＝8，∴m＝8.
8．C　
如图所示，当直线z＝5y－x经过A点时z最大，即a＝16，经过C点时z最小，即b＝－8，∴a－b＝24，故选C.
9．A　Sn＝＝a1(2n－1)，S2n＝＝a1(22n－1)，an＋1＝a1·2n，
∴Tn＝＝＝17－≤17－8＝9，当且仅当n＝2时取等号，∴数列{Tn}的最大项为T2，则n 0＝2，故选A.
10．A　由2(x－1)2<2，得(x－1)2<1.解得0<x<2.
∴A＝{x|0<x<2}．由log(x2＋x＋1)>－log2(x2＋2)，
得log2(x2＋x＋1)<log2(x2＋2)．
则解得x<1.
∴B＝{x|x<1}．∴∁UB＝{x|x≥1}．
∴阴影部分表示的集合为
(∁UB)∩A＝{x|1≤x<2}．
11．D　设数列{an}的公比为q，则a2＝a1q＝1，∴q＝，
∴S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝a1＋1＋，当a1>0时，S3≥1＋2＝3，当且仅当a1＝1时，取等号；当a1<0时，S3≤1－2＝－1，当且仅当a1＝－1时，取等号．
故S3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
12．D　a1＝1，an＋1－an＝n＋1，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(n－1＋1)＋(n－2＋1)＋…＋(1＋1)＋1
＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝，
当n＝1时，也满足上式，
∴an＝，
＝＝2，
∴Sn＝2＝
2.
∵Sn<m对一切正整数n恒成立，∴m≥2，故选D.
13．5
解析：由题可得a5－a6＝4S4－4S5＝－4a5，
∴a6＝5a5，∴q＝5.
14．4
解析：∵x＋2y＋2xy＝8，
又2xy≤2，
∴x＋2y＋2≥8，
∴(x＋2y)2＋x＋2y－8≥0，
∴x＋2y≥4，
当且仅当x＝2y＝2时，等号成立．
∴x＋2y的最小值为4.

15.3a km
解析：由题意知，∠ACB＝120°，
∴AB2＝3a2＋3a2－2a×acos120°＝9a2,
∴AB＝3a km.
16.
解析：由正弦定理及(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，又a＝2，
∴b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得
cosA＝＝＝，∴A＝60°.
又22＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc，
∴bc≤4.当且仅当b＝c时取等号．
∴S△ABC＝bcsinA≤×4×＝.
17．解：(1)依题意，可知方程ax2＋3x－1＝0的两个实数根为和1，
∴＋1＝－且×1＝－解得a＝－2，
∴a的值为－2，
(2)由(1)可知，不等式为－2x2－3x＋5>0，即2x2＋3x－5<0，
∵方程2x2＋3x－5＝0的两根为x1＝1，x2＝－，
∴不等式ax2－3x＋a2＋1>0的解集为.
18．解：(1)由·＝2得c·acosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sinB＝B＝ ＝，
由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.
因a＝b>c，所以C是锐角，因此cosC＝＝ ＝.
于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.

19.解：(1)在△ABC中，∵cosA＝，
∴sin2＋cos2A＝[1－cos(B＋C)]＋2cos2A－1＝(1＋cosA)＋2cos2A－1＝－.
(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
∴bc≤，当且仅当b＝c＝时，等号成立，
∴bc的最大值为.
20．解：(1)在已知式中，当n＝1时，a＝a，∵a1>0，∴a1＝1，
当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝S，①
a＋a＋a＋…＋a＝S，②
①－②得a＝an(2a1＋2a2＋…＋2an－1＋an)．
∵an>0，∴a＝2a1＋2a2＋…＋2an－1＋an，即a＝2Sn－an，
∴a＝2(1＋a2)－a2，解得a2＝－1或a2＝2，
∵an>0，∴a2＝2.
(2)由(1)知a＝2Sn－an(n∈N*)，③
当n≥2时，a＝2Sn－1－an－1，④
③－④得a－a＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an＝n.

21.解：(1)证明：由已知当直线过点(2n,0)时，目标函数取得最大值，故zn＝2n.
∴方程为x＋y＝2n.
∵(Sn，an)在直线zn＝x＋y上，∴Sn＋an＝2n.①
∴Sn－1＋an－1＝2(n－1)，n≥2.②
由①－②得，2an－an－1＝2，n≥2.∴an－1＝2an－2，n≥2.
又∵＝＝＝，n≥2，a1－2＝－1，
∴数列{an－2}是以－1为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)得an－2＝－n－1，∴an＝2－n－1.
∵Sn＋an＝2n，∴Sn＝2n－an＝2n－2＋n－1.
∴Tn＝＋＋…＋
＝[0＋2＋…＋(2n－2)]＋0＋＋…＋n－1
＝＋＝n2－n＋2－n－1.
22．解：由题意知f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.
(1)由f(n)>0，即－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.由n∈N＋知，该厂从第3年起开始盈利．
(2)方案①：年平均纯利润＝40－2，
∵n＋≥2 ＝12，当且仅当n＝6时取等号，
∴≤40－2×12＝16.
因此方案①共获利16×6＋48＝144(万元)，此时n＝6.
方案②：f(n)＝－2(n－10)2＋128.从而方案②共获利128＋16＝144(万元)．比较两种方案，获利都是144万元，但由于第一方案只需6年，而第②种方案需要10年，因此，选择第①种方案更合算．
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