中考数学专题练习圆周角定理(含解析).doc

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2019中考数学专题练习-圆周角定理（含解析）
一、单选题
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，连接BD，OD，则∠AOD+∠ABD的度数为（   ）

A. 100°                                    B. 110°                                    C. 120°                                    D. 150°
2.已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是(    )
A. 10°                                       B. 20°                                       C. 40°                                       D. 80°
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（   ）
A. 60°                                       B. 50°                                       C. 40°                                       D. 30°
4.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是(    )

A.30≤x≤60
B.30≤x≤90
C.30≤x≤120
D.60≤x≤120
5.如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（  ）

A. 50°                                     B. 100°                                     C. 130°                                     D. 200°
6.下列各命题正确的是 :                              （    ）
A. 若两弧相等，则两弧所对圆周角相等          B. 有一组对边平行的四边形是梯形.
C. 垂直于弦的直线必过圆心                           D. 有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.
7.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为10的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（   ）

A.                                          B.                                          C.                                          D. 
二、填空题
8.如图，P是⊙0直径AB延长线上的点，PC切⊙0于C．若∠P=40o ， 则∠A的度数为________ 。
.
9.如图， 是半圆 的直径， ，则 的大小是________度

10.如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________．
11.如图，AB是⊙的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交O于点D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DEA=________。
12.如图，⊙O的半径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD=∠BCD，则弧BD的长为________．

13.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，∠A=55°，∠B=70°，则∠E的度数是________ ．

14.如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD交AC于点B，若OB=5，则BC等于________．

15.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=105°，则∠BOD等于________．

三、解答题
16.如图，在⊙O中，AC与BD是圆的直径，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；
（2）求证：BE=CF．

17.如图，已知AB是⨀O的直径，点C在⨀O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⨀O的切线；
（2）求证：BC= AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.
四、综合题
18.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．

（1）操作：请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；
（2）说理：结合图②，说明你这样画的理由．
19.如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA= ，cot∠ABC= ，AD=8．
（1）⊙D的半径；
（2）CE的长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠CAB=40°，
∴∠BDC=40°．
∵CD⊥AB，
∴∠ABD=90°﹣40°=50°，
∴∠AOD=2∠ABD=100°，
∴∠AOD+∠ABD=100°+50°=150°．
故答案为：D．
【分析】利用圆周角定理和圆心角定理可得出∠CAB=∠BDC=40°，∠AOD=2∠ABD=100°.
2.【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.
【分析】此题考查了原周角和圆心角的联系.
3.【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径）， ∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；
∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB，
∴∠COB=100°；
又∵∠A= ∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠A=50°，
故选B．
【分析】在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．
4.【答案】A
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：依题可得：当点B与点O重合时，∠POF最小，
∴∠POF=∠AOB=30°，
当点B与点E重合时，∠POF最大，
∴∠POF=2∠AOB=60°.
故答案为：A.
【分析】在移动的过程中，当点B与点O重合时，∠POF最小，即为∠AOB度数；当点B与点E重合时，∠POF最大，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出答案.
5.【答案】A
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】∠BOC，∠BAC是同弧所对的圆周角和圆心角，∠BOC=2∠BAC，因为圆心角∠BOC=100°，所以圆周角∠BAC=50°.
【点评】本题考查圆周角和圆心角，解本题的关键是掌握同弧所对的圆周角和圆心角关系，然后根据题意来解答。
6.【答案】D
【考点】垂径定理，圆周角定理，命题与定理
【解析】
【分析】根据圆周角定理对A进行判断；根据梯形的定义对B进行判断；根据垂径定理的推论对C进行判断；根据直角三角形斜边上的中线性质对D进行判断．
【解答】A、在同圆或等圆中，若两弧相等，则两弧所对圆周角相等，故A选项错误；
B、有一组对边平行，且另一组对边不平行的四边形是梯形，故B选项错误；
C、垂直平分弦的直线必过圆心，故C选项错误；
D、有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
7.【答案】D
【考点】圆周角定理，锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，连接AD．

∵OD是直径，
∴∠OAD=90°，
∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，
∴∠AOB=∠ADO，
∴sin∠AOB=sin∠ADO= = ，
故答案为：D．
【分析】如图，连接AD．根据直径所对的圆周角是直角得出∠OAD=90°，根据同角的余角相等得出∠AOB=∠ADO，根据等角的同名三角函数值相等得出sin∠AOB=sin∠ADO，根据正弦函数的定义即可得出答案。
二、填空题
8.【答案】25°
【考点】圆周角定理，切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，
∵PC切⊙0于C．
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠OCP=50°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO=25°，
故答案为：25°．
【分析】连接OC，有切线的性质和等腰三角形的性质即可求出∠A的度数．

9.【答案】125
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵AB是半圆O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=90°-35°=55°
∴∠D=180°-55°=125°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，则∠ABC的度数可求，再根据圆内接四边形的对角互补可求∠ D 的大小。
10.【答案】此题答案不唯一，如：x2﹣ x+1=0
【考点】根与系数的关系，勾股定理，正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AD，BD，OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵四边形DCFE是正方形，
∴DC⊥AB，
∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=∠CDB，
∴△ACD∽△DCB，
∴ ，
又∵正方形CDEF的边长为1，
∵AC•BC=DC2=1，
∵AC+BC=AB，
在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2 ，
∴OD= ，
∴AC+BC=AB= ，
以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2﹣ x+1=0．
故答案为：此题答案不唯一，如：x2﹣ x+1=0．
【分析】连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，则可求得AC•BC=DC2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一．
11.【答案】30°
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB∴∠DCO=90°
∵点C时半径OA的中点
∴OC= OA= OD
∴∠CDO=30°
∴∠AOD=60°
∵弧AD=弧AD
∴∠DEA= ∠AOD=30°
故答案为：30°
【分析】根据垂直的定义可证得△COD是直角三角形，再根据中点的定义及特殊角的三角函数值，可求出∠AOD的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出结果。
12.【答案】4π
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长的计算
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°
弧BD长= ，
故答案为：4π.
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补得出∠BCD+∠A=180°，又∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，故∠A=60°，∠BOD=120°，根据弧长计算公式算出答案。
13.【答案】35°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=55°，∠B=70°，
∴的度数+的度数为110°，的度数+的度数为140°，
∵的度数+的度数为110°+的度数为180°，
∴的度数为70°，
∴∠E=35°．
故答案为35°．
【分析】根据圆周角的度数求得所对的弧的度数，求得的度数为70°，根据弧的度数即可求得∠E的度数．
14.【答案】5
【考点】含30度角的直角三角形，圆周角定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接CD；

Rt△AOB中，∠A=30°，OB=5，则AB=10，OA=5 ；
在Rt△ACD中，∠A=30°，AD=2OA=10 ，
∴AC=cos30°×10
= ×10
=15，
∴BC=AC﹣AB=15﹣10=5．
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质得AB=10，进而得出OA的长度，据直径所对的圆周角是直角得出△ADC是直角三角形，在Rt△ACD中再利用锐角三角函数的出AC的长度，进而得出BC的长度。
15.【答案】150°
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=105°，
∴∠C=75°，
∴∠BOD=150°．
故答案为：150°．
【分析】利用圆内接四边形的对角互补求出∠C的度数，再利用一条弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半就可以求出答案。
三、解答题
16.【答案】解（1）：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵AC与BD是圆的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）证明：∵BO=CO，
又∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
在△BOE和△COF中，，
∴△BOE≌△COF（AAS）．
∴BE=CF．
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD=90°，即可得出四边形ABCD是矩形；
（2）由AAS证明△BOE≌△COF，得出对应边相等即可．
17.【答案】（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC= AB．
（3）解：连接MA，MB，
∵点M是 的中点，
∴ = ，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴ ，
∴BM2=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径， = ，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=4，
∴BM=2 ．
∴MN•MC=BM2=8．

【考点】圆周角定理，切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由半径OA=OC，可得等边对等角∠A=∠ACO，则∠COB=2∠A，已知∠COB=2∠PCB，∠A=∠ACO=∠PCB．由直径所对的圆周角是直角可得∠ACO+∠OCB=90°．从而转换得到∠PCB+∠OCB=90°即可证得；（2）“等角对等边”与“等边对等角”相互运用可证OC=BC；（3）连接MA，MB，先证明△MBN∽△MCB．则 ，即BM2=MN•MC．由AB是⊙O的直径， = ，AB=4，解出BM，从而可解得MN•MC．
四、综合题
18.【答案】（1）解：如图①，AP即为∠P的平分线；图②中，连接PE即为∠P的平分线；

（2）解：如图②，∵AB=AC，

∴AE是BA的垂直平分线，
∴=  ，
∴∠BPE=∠CPE，即PE即为∠P的平分线．
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得弧AB=弧AC，可证出AP即为∠P的平分线；（2）由AB=AC,可得AO垂直平分线即直径AE垂直平分BC，弧BE=弧CE，可得即PE即为∠P的平分线.
19.【答案】（1）解：∵CD⊥AB，AD=8，tanA= ， 在Rt△ACD中，tanA= = ，AD=8，CD=4，
在Rt△CBD，cot∠ABC= = ，BD=3，
∴⊙D的半径为3；
（2）解：过圆心D作DH⊥BC，垂足为H，
∴BH=EH，
在Rt△CBD中∠CDB=90°，BC= =5，cos∠ABC= = ，
在Rt△BDH中，∠BHD=90°，cos∠ABC= = ，BD=3，BH= ，
∵BH=EH，
∴BE=2BH= ，
∴CE=BC﹣BE=5﹣ = ．
【考点】圆周角定理，解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义得出CD和BD，从而得出⊙D的半径；（2）过圆心D作DH⊥BC，根据垂径定理得出BH=EH，由勾股定理得出BC，再由三角函数的定义得出BE，从而得出CE即可．
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