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2009年05月04日 15:53:11 来源:数学交流社区【字体：大 中 小】
椭圆及其标准方程
一.教材分析
1.教材的地位和作用
《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。从知识上讲，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它帮助我们运用类比方法更好地研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线的性质；因此，这节课具有承前启后的作用，是本章和本节的重点。
2.教学的重点和难点
椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的一个教学重点。
     学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识。但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受,而由已知条件求曲线方程恰恰是解析几何所要研究的重要组成部分。所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点。
重点:根据椭圆的标准方程的运用为本课的教学重点；
难点:椭圆定义与椭圆标准方程的联系为本课的难点.如何启发学生构思出椭圆标准方程的推导方案.

二．目标分析
高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用。
根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标。
1．知识目标：使学生掌握椭圆的两类标准方程；能根据定义推导出椭圆的标准方程；能应用椭圆的定义和标准方程解决简单的应用问题；使学生进一步掌握求曲线求方程的步骤，并注意数与形的转化.
２．能力目标：培养学生分析问题,探索问题,解决问题的能力,在求解椭圆标准方程的过程中更充分体现了学生归纳、运算的能力。
３．情感目标：渗透由具体到抽象，由感性到理性的认识规律,使学生懂得数学来源于生活,服务于生活的特点。在椭圆的标准方程化简过程中,培养学生细致、耐心、抗挫折的能力,培养学生积极动脑,勇于探索的能力。
三．教法分析：
１．学情分析：
学生已经学习了圆锥曲线的概念，掌握了圆锥曲线方程的求法。同时，学生已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。
２．教学方法：
根根教材分析和目标分析，结合学生的实际，贯彻启发示教学的原则，体现教师为主导学生为主体的思想，深化课堂改革特制定以下教法．
①多媒体教学(采用多媒体技术，目的在于充分利用其优良的传播功能。大容量信息的呈现和生动形象的演示（尤其是动画效果）对提高学生学习兴趣、激活学生思维、加深概念理解有积极作用。制作中，采用交互技术，使课件的机动性得到加强)；
②讨论式教学；③讲练结合教学；④分层教学．
四．学法分析
本节教学让学生动手，动脑，主体参与。通过观察，联想，猜测，归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇于探索。
 (1) 通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示由于椭圆位置的不确定所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导；通过实际问题的解决，进行化归思想运用的指导。
(2) 通过解题思路的脉络分析，对学生进行解题思考的指导。
(3) 通过对学生发言的点评，规范语言表达，指导学生进行交流和讨论。
五．教学程序
在教学过程中，首先通过多媒体展示生活中的椭圆，让学生对椭圆图形再次熟悉，从圆的定义和圆的方程的联系出发，借助类比的思想复习椭圆定义,使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，达到学习活动的高潮。在此基础上，借助于几何画板的演示，帮助学生巩固椭圆定义中要注意的关键并加以理解、强化。
在知识建构过程中，由求轨迹方程的一般步骤具体到已知椭圆定义求椭圆方程。首先根据定义列出表达式，而后的方程变形化简过程，是比较繁琐的，因为等式左边有两个根号出现,一般处理它的思路是移项平方化简后再次平方，这种方法是可以根据以前的知识分析出来的。当然,方程变形的方法不是唯一的。比如移项平方化简后得到，这样事实上就得到了椭圆第二定义。除此之外，也可以把两个根式换元,同样可以推导出方程。在实际上课的过程中，不一定要作这样全面的讲解,但作为教者，理应有这样的分析和思考，而且也为下面介绍椭圆第二定义和性质埋下伏笔。这一过程培养了学生细致、耐挫折的能力，也加强了运算能力。
在对焦点在轴上的椭圆标准方程推导完毕后，要求学生用类比方法猜测焦点在轴上的椭圆方程，并对两种方程进行比较，加深认识。
例题是教材上的。作为对椭圆定义和椭圆的标准方程及其联系的理解和初步应用，可让学生自主完成，并让学生初步体会到分类讨论的思想。
练习与总结是课堂教学中进行反馈梳理的重要形式。练习是掌握和应用数学知识和技能所必需的；小结内容可由师生合作总结，体现“教师为主导，学生为主体”的思想。通过师生合作要对本节课内容作出全面小结，除知识外，对所用到的数学方法，也进行适当的小结。通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，能抓住重点进行课后复习。

（一）      教学流程图
（二）      教学过程
教学过程
设计意图
（一）复习定义（生活中的椭圆）
多媒体演示：
油罐车的横截面
用一个平面截圆锥
卫星运行轨道
１．椭圆的定义:
椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
通过讨论总结得如下规律：
F1和F2的距离越大，画出的椭圆越扁平；F1和F2的距离越小，画出的椭圆越接近圆；当F1和F2重合时，椭圆变成了圆；当F1和F2的距离等于绳长时，椭圆就“退化”为一条线段．

目的：使学生对椭圆有一个感性的认识，感受数学的应用价值。

（二）新课讲解
2．椭圆的标准方程：
回顾求曲线方程的步骤：(提问学生)
①建系②条件③条件坐标化成方程④化简⑤证明
根据求曲线方程的步骤求椭圆的方程：
①    启发学生怎样建立直角坐标系？
②    椭圆上的点Ｐ满足的条件是什么？（抽学生回答）
问：＞  ，＜分别表示什么？
③    无理方程怎样求解？（抽学生回答）
化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？请学生分析后试求解。
（老师叙述）：(1)方程中只有一个根时,需将它单独留在方程的一边,把其它项留在方程的另一边；(2)方和中有两个根时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项．

师生共同推导焦点在Ｘ轴上的方程．（略）

在推导过程中由变到（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)后下一步如何处理？(体现换元思想)
设b2=a2-c2，从而得到标准方程，（a＞b＞0）．
④    观察此方程，你能猜想焦点在Ｙ轴上的标准方程吗？

①   

（图2）
巩固求曲线方程的步骤.

②    通过此种提示分析使学生在化简过程中首先扫除心理障碍，能敢于去探究、尝试，从而化解难点．

③    无理方程的求解是学生的一个难点，此处意在巩固无理方程的求解，从而降低推导过程的难点．
方程①两次平方，得到方程（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)②后，为了使方程简单易记，且具有对称美，可设b2=a2-c2，从而得到标准方程， （a＞b＞0）．同时设出的b还有着特殊意义．（为下一节讲椭圆的性质设下伏笔）
给学生大胆猜想，有利于培养学生的感性思维和探索精神．

3．对椭圆标准方程的再认识
仔细观察分析两个标准方程你能得到什么？（分组讨论）
归纳总结：
①    a,b,c的关系
a>b>0；c2=a2-b2
②    方程的特点:焦点总在长轴上
③    形如方程，只要Ａ，Ｂ，Ｃ同号，就是椭圆方程．
让学生对椭圆的方程有进一步的认识，同时也培养了学生归纳总结知识的目的，从而有利于提高技能技巧．
通过讨论学习也有利于培养学生合作学习与数学交流的能力．
４．巩固训练
①    范例讲解:
例题:求适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点的坐标分别是（-4，０）（4，0），椭圆上一点M到两焦点距离的和等于10；
两个焦点的坐标分别是（0，-2）（0，2），并且椭圆经过点

②    课堂训练(由多媒体投放)；（抽不同层次的学生完成）
1、椭圆上一点P到焦点的距离为6,则 P到另一个焦点的距离为(    )
A.5      B.6        C. 10        D. 4
2、动点P到定点F1（-5，0），F2（5，0）的距离的和是10，则动点P的轨迹为（    ）
（A）   椭圆          （B）线段F1F2
（C）直线F1F2       （D）不能确定

3、已知椭圆的焦距为2,则 m=(    )
A.5     B 3     C.3 或 5     D. 6
4、椭圆的一个焦点为(0,2),则k=____.
5、已知三角形ABC的一边BC长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程.
①例题,巩固椭圆的定义
课堂训练1,2,3是为了巩固椭圆的义；其３会让学生对椭圆的定义有更新的认识．４是巩固椭圆的标准方程．以及焦点，焦距等基本概念．
练习时注意：（1）运用定义;（2）由定义的推导过程思考;（3）利用分类讨论思想及a2＝b2＋c2的关系求解

5．课堂小结：(多媒体投放)
(1)、定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)、标准方程：
①（a>b>0），焦点F1（－c，0），F2（c，0），c2＝a2－b2;
②（a>b>0），焦点F1（0，－c），F2（0，c），c2＝a2－b2．
对于Ax2＋By2＝C，只要A、B、C同号就是椭圆方程，可化为．

六．评价分析
现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：
（1）在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”．
（2）设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。
        建构主义理论认为：知识不是被动接受的,而是认知主体积极主动建构的.本课的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设情境——探究概念——注重反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程,体验参与数学知识的发生、发展过程 ，发展“用数学”的意识和能力,成为积极主动的建构者 。