2024-2025学年广西玉林市福绵区高二下数学期末考试模拟试题含解析.doc

2024-2025学年广西玉林市福绵区高二下数学期末考试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “”是“函数在内存在零点”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
3．从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若实数满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若变量x,y满足约束条件则目标函数的取值范围是
A．[2,6] B．[2,5] C．[3,6] D．[3,5]
7．若A＝{(x，y)|y＝x}， ，则A，B关系为(　　)
A．AB B．BA
C．A＝B D．AB
8．推理“①圆内接四边形的对角和为；②等腰梯形是圆内接四边形；③”中的小前提是（　）
A．① B．② C．③ D．①和②
9．甲乙两人有三个不同的学习小组， ， 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．在复平面内，复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如表数据．由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）

4
6
8
10
12

1
2
3
5
6
A． B． C． D．
12．抛物线的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．
14．如图，正四棱柱的底面边长为4，记，，若，则此棱柱的体积为______．

15．组合恒等式，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求和的展开式中的系数．前者的展开式中的系数为；后者的展开式中的系数为.因为，则两个展开式中的系数也相等，即．请用“算两次”的方法化简下列式子：______．
16．展开式的常数项为 ．（用数字作答）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是的中点，是的中点，点在上，且满足.

（1）证明：.
（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角最大值的正切值.
（3）若平面与平面所成的二面角为，试确定P点的位置.
18．（12分）第18届国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国北京、广州等八座城市举行.届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到、、三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
（1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（2）设随机变量为这四名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列及数学期望.
19．（12分）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
20．（12分）已知等式.
（1）求的展开式中项的系数，并化简：；
（2）证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
21．（12分）第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：

（Ⅰ）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
总计
男

女

总计

附参考公式与数据：，其中.

22．（10分）在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含的项．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
分析：先求函数在内存在零点的解集，，再用集合的关系判断充分条件、还是必要条件。
详解：函数在内存在零点，则，所以的解集那么是的子集，故充分非必要条件，选A
点睛：在判断命题的关系中，转化为判断集合的关系是容易理解的一种方法。
2、D
【解析】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
3、B
【解析】
算出总的个数和满足所求事件的个数即可
【详解】
从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，总共有种情况
其中满足甲乙两人仅有一人入选的有种情况
所以甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为
故选：B
本题考查了古典概型的求法，组合问题的简单应用，属于基础题
4、A
【解析】
分析：首先，由的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，从而得到在内恒成立，分离参数后，转化成在内恒成立，从而求解得到a的取值范围.
详解：的几何意义为：
表示点与点连线的斜率，
实数，在区间，故和在区间内，
不等式恒成立，
函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，
由函数的定义域知，
在内恒成立，
即在内恒成立，
由于二次函数在上是单调增函数，
故时，在上取最大值为15，
.
故选：A.
点睛：本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题.
5、B
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大．
由，解得，即，
代入目标函数得．
即目标函数的最大值为1．
故选B．

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决
此类问题的基本方法．
6、A
【解析】
画出不等式组对应的可行域，将目标函数变形，画出目标函数对应的直线，由图得到当直线过A点时纵截距最大，z最大，当直线过（2，0）时纵截距最小，z最小．
【详解】
画出可行域，如图所示：

将变形为，平移此直线，
由图知当直线过A（2，2）时，z最大为6，当直线过（2，0）时，z最小为2，
∴目标函数Z＝x+2y的取值范围是[2，6]
故选A．
本题考查画不等式组表示的平面区域：直线定边界，特殊点定区域结合图形求函数的最值，属于基础题．
7、B
【解析】
分别确定集合A,B的元素，然后考查两个集合的关系即可.
【详解】
由已知 ，故 ，故选B.
本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，属于基础题.
8、B
【解析】
由演绎推理三段论可知, ①是大前提；②是小前提；③是结论．
【详解】
由演绎推理三段论可知, ①是大前提；②是小前提；③是结论，故选B．
本题主要考查演绎推理的一般模式．
9、A
【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.
10、D
【解析】
分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可.
详解：由复数的运算法则有：，
则，其对应的点位于第四象限.
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11、A
【解析】
分析：求出样本点的中心，求出的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有（，共2个，求出概率即可．
详解：
故，解得：，
则
故5个点中落在回归直线下方的有，共2个，
故所求概率是，
故选A．
点睛：本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题．
12、D
【解析】
化简抛物线方程为标准方程，然后求解准线方程．
【详解】
抛物线的标准方程为：，准线方程．
故选：D．
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用侧面展开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之比.
【详解】
设正方形的边长为，圆柱的底面半径为，则，，
所以圆柱的全面积为，故侧面积与全面积之比为，填.
圆柱的侧面展开图是矩形，其一边的长为母线长，另一边的长为底面圆的周长，利用这个关系可以得到展开前后不同的几何量之间的关系.
14、
【解析】
建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，

设，又，
则，，，，
，，
，，即．
此棱柱的体积为．
故答案为．
本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量解决线线垂直问题，是中档题．
15、
【解析】
结合所给信息，构造，利用系数相等可求.
【详解】
因为，则两个展开式中的系数也相等，在中的系数为，而在
中的系数为，
所以可得.
本题主要考查二项式定理的应用，精准理解题目所给信息是求解关键，侧重考查数学抽象和数学建模的核心素养.
16、-160
【解析】
由，令得，所以展开式的常数项为.
考点：二项式定理.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；（2）设出平面ABC的一个法向量，我们易表达出，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正线值；（3）平面PMN与平面ABC所成的二面角为，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角余弦值的绝对值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可求出对应值，进而确定出满足条件的点P的位置．
【详解】
（1）证明：如图，以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
则，，，
从而，，
，
所以．

（2）平面ABC的一个法向量为，
则（※）．
而，当最大时，最大，无意义，除外，
由（※）式，当时，，．
（3）平面ABC的一个法向量为．
设平面PMN的一个法向量为，
由（1）得．
由得，
解得，令，得，
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为，
∴，
解得．
故点P在的延长线上，且．
本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键．
18、 (1) (2)见解析
【解析】
（1）先记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，根据题意求出，再由，即可得出结果；
(2)根据题意，先确定可能取得的值，分别求出对应概率，即可得出分布列，从而可计算出期望.
【详解】
解：（1）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，
那么.
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.
（2）由题意，知随机变量可能取得的值为1，2.
则.
所以.
所以所求的分布列是

所以.
本题主要考查古典概型以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概念以及概率计算公式即可，属于常考题型.
19、 (1) (2)见解析
【解析】
（1）根据离心率为，点在椭圆上联立方程组解得答案.
（2）设存在定点，联立方程，利用韦达定理得到关系式，推出，代入数据计算得到答案.
【详解】
解：（1）由题可知又，解得，，
所以，，即所求为
（2）设存在定点，并设，
由联立消可得
所以，
因为，所以，即
所以，整理为
所以
可得
即，所以
所以存在定点满足题意
本题考查了椭圆离心率，定点问题，将转化为是解题的关键.
20、（1） ；（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）详见解析.
【解析】
（1） 的展开式中含的项的系数为，二项式定理展开，展开得到含项的系数，利用，即可证明；（2）（ⅰ）用组合数的阶乘公式证明；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论和组合数的性质得到，最后结合（1）的结论证明.
【详解】
（1） 的展开式中含的项的系数为
由
可知的展开式中含的项的系数为 ，
，
；
（2）（ⅰ）
当 时， ；
（ⅱ）

由（1）知，
，
.
本题考查二项式定理和二项式系数和组合数的关系，以及组合数公式的证明，意在考查变形，转化，推理，证明的能力，属于难题，本题的（ⅱ）的关键步骤是这一步用到了（ⅰ）的结论和组合数的性质.
21、（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析，没有
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于分的人数及男女分别各几人，可知的可能取值为，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.
（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得的观测值，与临界值作比较即可进行判断.
【详解】
（Ⅰ）人中得分不低于分的一共有人，其中男性人，女性人.
所以的可能取值为.
则，，
，.
所以的分布列为

所以.
（Ⅱ）

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
合计
男

女

合计

所以，
因为，所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.
本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.
22、（1）第3项的系数为24＝240.（2）含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
【解析】
试题分析：(1)根据二项展开式的通项，即可求解第项的二项式系数及系数；
（2）由二项展开式的痛项，可得当时，即可得到含的系数.
试题解析：(1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C (2)42＝24·Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C (2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.