2025届河北省承德二中数学高二第二学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025届河北省承德二中数学高二第二学期期末联考模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力

识图能力

由表中数据，求得线性回归方程为，,若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为( )
A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10
6．甲、乙、丙、丁4个人跑接力赛，则甲乙两人必须相邻的排法有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
7．已知直线l1：与直线l2：垂直，则的值为（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．
8．、两支篮球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局队获胜的概率是外，其余每局比赛队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.则队以获得比赛胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．若点在椭圆内，则被所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，可求得：被所平分的双曲线的弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的图象关于直线对称，且在上为单调函数，下述四个结论：
①满足条件的取值有个
②为函数的一个对称中心
③在上单调递增
④在上有一个极大值点和一个极小值点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③
11．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为

A． B． C． D．
12．若集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．从字母中选出个字母排成一排，其中一定 要选出和，并且它们必须相邻(在前面)，共有排列方法__________种.
14．已知点，，则__________．
15．对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.
16．从这十个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是6的概率为 __________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

附：的观测值
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？请说明理由.
18．（12分）已知椭圆：的上顶点为，右顶点为，直线与圆相切于点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.
19．（12分）设
（I）若的极小值为1，求实数的值；
（II）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.
20．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝m，点M是棱CD的中点．

（1）求异面直线B1C与AC1所成的角的大小；
（2）是否存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直？说明理由；
（3）设P是线段AC1上的一点（不含端点），满足λ，求λ的值，使得三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等．
21．（12分）已知集合，，
.
（1）求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
22．（10分）已知复数.
（I）若，求复数；
（II）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由虚数的定义求解．
【详解】
复数的虚部是－1．
故选：B．
本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础．
2、D
【解析】
根据数列是等比数列得到公比，再由数列的通项公式得到结果.
【详解】
因为数列是等比数列，故得到进而得到，则
故答案为：D.
这个题目考查了等比数列的通项的求法，是简单题.
3、D
【解析】
分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.
详解：.
点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为.
4、C
【解析】
根据双曲线的性质，即可求出。
【详解】
令，即有
双曲线的渐近线方程为，故选C。
本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。
5、B
【解析】
试题分析：
当时
考点：回归方程
6、B
【解析】
甲乙两人捆绑一起作为一个人与其他2人全排列，内部2人全排列．
【详解】
因为甲乙两人必须相邻，看成一个整体，所以甲乙两人必须相邻的排法有种，
故选：B.
本题考查排列问题，相邻问题用捆绑法求解．
7、A
【解析】
根据两直线垂直的条件，得到，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，直线l1：与直线l2：垂直，
则满足，解得，故选A.
本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
分析：若“队以胜利”，则前四局、各胜两局，第五局胜利，利用独立事件同时发生的概率公式可得结果.
详解：若“队以胜利”，
则前四局、各胜两局，
第五局胜利，
因为各局比赛结果相互独立，
所以队以获得比赛胜利的概率为
，故选A.
点睛：本题主要考查阅读能力，独立事件同时发生的概率公式，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.
9、A
【解析】
通过类比的方法得到直线方程是，代入数据得到答案.
【详解】
所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，
可求得双曲线的所平分的弦所在的直线方程是
代入数据，得到：
故答案选A
本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力.
10、D
【解析】
依照题意找出的限制条件，确定，得到函数的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确．
【详解】
因为函数的图象关于直线对称，所以
，又在上为单调函数，，即，
所以或，即或
所以总有，故①②正确；
由或图像知，在上单调递增，故③正确；
当时，只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确；
综上，所有正确结论的编号是①②③．
本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力．
11、C
【解析】
试题分析：由三角形面积为，，所以阴影部分面积为，所求概率为
考点：定积分及几何概型概率
12、A
【解析】
先解出集合，由，得出，于此可得知实数的值.
【详解】
解方程，即，得，由于，，则，
，，，故选：A.
本题考查集合间的包含关系，利用包含关系求参数的值，解本题的关键就是将集合表示出来，考查计算能力，属于基础题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、36
【解析】
从剩余的4个字母中选取2个，再将这2个字母和整体进行排列，根据分步计数原理求得结果．
【详解】
由于已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有种，
再将这2个字母和整体进行排列，方法有种，
根据分步计数原理求得所有的排列方法共有种，故答案为36.
本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题．
14、5
【解析】
分析：运用向量坐标的求法以及向量的模长公式即可.
详解：点，，
，
.
故答案为5.
点睛：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
15、7
【解析】
n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
从到共用去奇数个数为，而是从3开始的第24个奇
数，当时，从到共用去奇数个数为个，当时，从到共用去奇数个
数为个，所以.
故答案为：7
本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.
16、
【解析】本题考査古典概型.从10个数中任取5个不同的数，有种方法，若5个数的中位数为6,则只需从0,1,2,3,4,5中选两个，再从7,8,9中选两个不同的数即可，有种方法，故这5个数的中位数为6的概率.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
(1)用需要志愿者提供帮助的人数除以老年人总数可得;
(2)利用观测值公式以及列联表可计算观测值,再结合临界值表可得;
(3)根据需要志愿者提供帮助的男女人数存在显著差异,可得采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好.
【详解】
（1）调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为.
（2）随机变量的观测值.由于，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
（3）由（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好.
本题考查了分层抽样,独立性检验,属中档题.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】
（Ⅰ）根据题中条件得知可求出直线的斜率，结合点在直线上，利用点斜式可写出直线的方程，于是可得出点、的坐标，进而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）可知直线的斜率不为零，由椭圆定义得出，设该直线方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，利用弦长公式以及，并结合韦达定理可求出的值，于此可得出直线的方程．
【详解】
（Ⅰ）∵直线与圆相切于点，∴，
∴直线的方程为，
∴，，即，，
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）易知直线的斜率不为零，
设直线的方程为，代入椭圆的方程中，
得：，
由椭圆定义知，
又，从而，
设，，则，.
∴，
代入并整理得，∴.
故直线的方程为或.
本题考查椭圆方程的求解、直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆中弦长的计算，解决这类问题的常规方法就是将直线与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理与弦长公式计算，难点在于计算，属于中等题．
19、（I）；（II）
【解析】
（I）求出的定义域以及导数，讨论的范围，求出单调区间，再结合的极小值为1，即可求得实数的值；
（II）求出的定义域以及导数，利用导数研究最小值的范围，即可求出。
【详解】
（I）
①时，，故在上单增，故无极小值。
②时，
故在上单减，在上单增，故.故
（II）当时，
由于在上单增，且
故唯一存在使得，即
故在上单减，在上单增，
故
又 且在上单增，故，
即
依题意：有解，故，又，故
本题考查已知极值求参数，利用导数研究函数单调区间以及最值，综合性强，属于中档题。
20、（1）90° （2）存在，m，理由见解析 （3）λ
【解析】
（1）根据题意只需证明平面，即可得到B1C⊥AC1，从而可得答案.
（2）存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直．只需证明BM⊥AC1，AC1⊥D1M，即可得到直线AC1⊥平面BMD1；
（3）计算，，设AC1 与平面B1CD1 的斜足为O，则AO＝2OC1，则P为AO的中点，从而可得答案.
【详解】
（1）连接BC1，如图所示：

由四边形BCC1B1为正方形，可得B1C⊥BC1，
又ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面ABC1，而AC1⊂平面ABC1，∴B1C⊥AC1，
即异面直线B1C与AC1所成的角的大小为90°；
（2）存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直．
事实上，当m时，CM，
∵BC＝1，∴，则Rt△ABC∽Rt△BCM，
则∠CAB＝∠MBC，
∵∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠MBC+∠ACB＝90°，即AC⊥BM，
又CC1⊥BM，AC∩CC1＝C，∴BM⊥平面ACC1，则BM⊥AC1，
同理可证AC1⊥D1M，
又D1M∩BM＝M，∴直线AC1⊥平面BMD1；
（3）∵，
，
设AC1 与平面B1CD1 的斜足为O，则AO＝2OC1，
∴在线段AC1上取一点P，要使三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等，
则P为AO的中点，即．
本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱和棱锥的体积公式，属于中档题.
21、 (1) .
(2) .
【解析】
分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.
详解：
(1),
．
则
(2)，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以且．
由，得，解得．
经检验，当时，成立，
故实数的取值范围是．
点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.
22、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：
(1)由题意计算可得,若，则，.
(2)结合(1)的计算结果得到关于实数a的不等式，求解不等式可得的取值范围为.
试题解析：
（1）,若，则，∴，∴.
（2）若在复平面内对应的点位于第一象限，则且，
解得，即的取值范围为.