2025届北京市房山区4中数学高二下期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025届北京市房山区4中数学高二下期末达标检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
3．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入万
8.3
8.6
9.9
11.1
12.1
支出万
5.9
7.8
8.1
8.4
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ）
A．12.68万元 B．13.88万元 C．12.78万元 D．14.28万元
4．已知为坐标原点，双曲线上有两点满足，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，或，则（ ）
A． B．
C． D．
6．函数在区间上的最大值和最小值分别为()
A．25,-2 B．50,-2 C．50,14 D．50,-14
7．在的二项展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．若关于的一元二次不等式的解集为，则（　　）
A． B． C． D．
10．抛物线的焦点坐标为
A．（0，2） B．（2，0） C．（0，4） D．（4，0）
11．若复数满足，则复数为（ ）
A． B． C． D．
12．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于( )

A．4 B．8 C．16 D．32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且（3+i）为纯虚数（是的共轭复数）则＝_____
14．若的展开式中的系数为，则实数的值为__________.
15．已知复数集中实系数一元二次方程有虚根，则的取值范围是_______.
16．求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距2倍的直线方程为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）将个不同的红球和个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出个球.
（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；
（2）取出一个红球记分，取出一个白球记分，若取出个球的总分不少于分，则有多少种不同的取法；
（3）若将取出的个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到个红球并且恰有一次取到个白球的概率.
18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值.
19．（12分）已知函数在上是奇函数，且在处取得极小值.
（1）求的解析式；
（2）求过点且与曲线相切的切线方程.
20．（12分）设函数.
（1）求函数的单调区间及极值；
（2）若函数在上有唯一零点，证明：.
21．（12分）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，.

（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）求四棱锥的侧面积.
22．（10分）某县教育局为了检查本县甲、乙两所学校的学生对安全知识的学习情况，在这两所学校进行了安全知识测试，随机在这两所学校各抽取20名学生的考试成绩作为样本，成绩大于或等于80分的为优秀，否则为不优秀，统计结果如图：

甲校 乙校
（1）从乙校成绩优秀的学生中任选两名，求这两名学生的成绩恰有一个落在内的概率；
（2）由以上数据完成下面列联表，并回答能否在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关。

甲校
乙校
总计
优秀

不优秀

总计

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，一阶导函数有根在，且左侧函数值小于1，右侧函数值大于1，列不等式求解
详解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）．
a＝1时，f′（x）＝4x+1＞1，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
a≠1时，△＝16﹣12a．
由△≤1，解得，此时f′（x）≥1，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
由△＞1，解得a（a≠1），由f′（x）＝1，解得x1，x2．
当时，x1＜1，x2＜1，因此f′（x）≥1，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
当a＜1时，x1＞1，x2＜1，∵函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，
∴必然有f′（x1）＝1，∴12，a＜1．
解得：a．
综上可得：a．
故选：C．
点睛：极值转化为最值的性质：
1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值；
2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值；
2、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
3、A
【解析】
由已知求得，，进一步求得，得到线性回归方程，取求得值即可．
【详解】
，．
又，∴．
∴．
取，得万元，故选A．
本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．
4、A
【解析】
讨论直线的斜率是否存在：当斜率不存在时，易得直线的方程，根据及点O到直线距离即可求得的关系，进而求得离心率；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线方程，结合及点到直线距离即可求得离心率。
【详解】
（1）当直线的斜率不存在时，由点到直线的距离为可知直线的方程为
所以线段
因为，根据等腰直角三角形及双曲线对称性可知，即
双曲线中满足
所以，化简可得同时除以 得
，解得
因为，所以
（2）当直线的斜率存在时，可设直线方程为
，联立方程可得
化简可得
设
则，

因为点到直线的距离为
则，化简可得
又因为
所以
化简得
即
所以，双曲线中满足
代入化简可得
求得，即
因为，所以
综上所述，双曲线的离心率为
所以选A
本题考查了双曲线性质的应用，直线与双曲线的位置关系，注意讨论斜率是否存在的情况，计算量较大，属于难题。
5、C
【解析】
首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.
【详解】
根据题意得，等价于，解得，
于是，故答案为C.
本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.
6、B
【解析】
求导，分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值．
【详解】
∵函数f（x）＝2x3+9x2﹣2，
∴f′（x）＝6x2+18x，
当x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]时，f′（x）＞0，函数为增函数；
当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＜0，函数为减函数；
由f（﹣4）＝14，f（﹣3）＝25，f（0）＝﹣2，f（2）＝50，
故函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为50，﹣2，
故选：B．
本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值及函数的单调性问题，属于中档题．
7、B
【解析】
由题意，先写出二项展开式的通项，由此得出二项式系数的最大值，以及含项的系数，进而可求出结果.
【详解】
因为的二项展开式的通项为：，
因此二项式系数的最大值为：，
令得，
所以，含项的系数为，
因此.
故选：B.
本题主要考查求二项式系数的最大值，以及求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
8、D
【解析】
；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.
9、D
【解析】
根据一元二次不等式与二次函数之间的关系，可得出一元二次不等式的解集为的等价条件.
【详解】
由于关于的一元二次不等式的解集为，
则二次函数的图象恒在轴的下方，所以其开口向下，且图象与轴无公共点，所以，故选：D.
本题考查一元不等式在实数集上恒成立，要充分利用二次函数的开口方向和与轴的位置关系进行分析，考查推理能力，属于中等题.
10、A
【解析】
根据抛物线标准方程求得，从而得焦点坐标．
【详解】
由题意，，∴焦点在轴正方向上，坐标为．
故选A．
本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．解题时要掌握抛物线四种标准方程形式．
11、D
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
由，
得．
故选D．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
12、C
【解析】
初如值n=11,i=1,
i=2,n=13,不满足模3余2.
i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1.
i=8,n=25, 不满足模3余2,
i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1.
输出i=16.选C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先求出的表达式，再由纯虚数的定义，可求出的值，进而可求出.
【详解】
由题意，，，则为纯虚数，故，解得.
故，.
本题考查了复数代数形式的四则运算，考查了共轭复数、复数的模、纯虚数的定义，属于基础题.
14、.
【解析】
利用二项展开式通项，令的指数为，解出参数的值，再将参数的值代入展开式，利用系数为，求出实数的值.
【详解】
二项式展开式的通项为，
令，解得，由题意得，解得，故答案为：.
本题考查利用二项式指定项的系数求参数的值，解题的关键就是充分利用二项式定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.
15、
【解析】
复数集中实系数一元二次方程有虚根，可得△，解得．利用求根公式可得，再利用模的计算公式即可得出．
【详解】
复数集中实系数一元二次方程有虚根，
则△，解得．
因为，则，
所以的取值范围是．
故答案为：．
本题考查不等式的解法、实系数一元二次方程与判别式的关系、模的计算公式，考查推理能力与计算能力．
16、
【解析】
根据截距是否为零分类求解.
【详解】
当在轴上的截距为零时，所求直线方程可设为，因为过点，所以；
当在轴上的截距不为零时，所求直线方程可设为，因为过点，所以；
所以直线方程为
本题考查根据截距求直线方程，考查基本分析求解能力，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有红、红白、红白三种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；
（2）若取出的球的总分不少于分，则有红、红白、红白和红白四种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；
（3）由题意得出箱子里红球和白球都是个，并求出操作三次的情况总数，以及恰有一次取到个红球且有一次取到个白球的情况数，然后利用古典概型的概率公式可得出答案.
【详解】
（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有红、红白、红白三种情况，
其中红有种取法，红白有种取法，红白有种取法.
因此，共有种不同的取法；
（2）若取出的个球的总分不少于分，则有红、红白、红白和红白四种情况.
其中红有种取法，红白有种取法，红白有种取法，红白有种不同的取法.
因此，共有种不同的取法；
（3）由题意知，箱子中个球中红球有个，白球也为个，从这个球中取出个球，取出个红球只有一种情况，取出个白球也只有一种情况，取出红白有种情况，总共有种情况.
若取出的个球放入一箱子里，记“从箱子中任意取出个球，然后放回箱子中去”为一次操作，如果操作三次，共有种不同情况.
恰有一次取到个红球且有一次取到个白球共有种情况，
因此，恰有一次取到个红球并且恰有一次取到个白球的概率为.
本题考查分类计数原理以及概率的计算，在解题时要熟练利用分类讨论思想，遵循不重不漏的原则，考查运算求解能力，属于中等题.
18、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）将，代入，得再利用同角三角函数关系消去参数得.由题意可设圆的方程，将点代入可得，即得的方程为，（2）先将直角坐标方程化为极坐标方程：，再将点，代入解得，最后计算的值．
试题解析：解：（Ⅰ）将及对应的参数，代入，得即
∴曲线的方程为（为参数），或.
设圆的半径为，由题意，圆的方程，（或）．　
将点代入，得，即，
所以曲线的方程为或．
（Ⅱ）因为点，在曲线上，
所以，，
所以 ．
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据奇函数性质可知；利用极值点和极值可得到方程组，解方程组求得解析式；（2）设切点坐标，利用切线斜率等于在切点处的导数值，又等于两点连线斜率来构造方程求得，进而得到切线斜率，从而得到切线方程.
【详解】
（1）是定义在上的奇函数
则 ，解得：

（2）设切点坐标为：，则在处切线斜率：
又 ，解得：

过的切线方程为：，即：
本题考查利用函数性质和极值求解函数解析式、求过某一点处切线方程的求解问题；考查学生对于导数与极值的关系、导数几何意义的掌握情况，属于导数的基础应用问题.
20、（1）的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值（2）见解析
【解析】
（1）求出函数的定义域以及导数，利用导数求出函数的单调区间，并由单调性得出函数的极值；
（2）利用参变量分离法得出关于的方程在上有唯一解，构造函数，得出，构造函数，求出该函数的导数，判断导数的符号，得出函数的单调性，求出函数的最小值转化即可。
【详解】
（1）的定义域为，∵，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
∴有极小值，无极大值，
故的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；
（2）函数在上有唯一零点，即当时，方程有唯一解，
∴有唯一解，令，则
令，则，
当时，，故函数为增函数，
又，，
∴在上存在唯一零点，则，且，
当时，，
当时，，∴在上有最小值.ly，∴.
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、以及利用导数研究函数的零点问题，构造新函数是难点，也是解题的关键，考查转化与化归数学思想，属于难题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）先得到平面的垂线,可得即为所求角；
（2）容易证明侧面的各个面均为直角三角形,有勾股定理求出各棱长后,将面积求和即可
【详解】
解：（1）底面是正方形,
,
底面,底面,
,

平面

,
直线与平面所成的角为,

（2）由题可知,侧面由,,,四个三角形构成
由（1）知,,
,即是直角三角形

本题考查线面角,考查侧面积,考查线面垂直,考查运算能力
22、 (1) ;(2) 在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关.
【解析】
分析：（1）根据频率分布直方图中矩形面积为1，求得a的值，再计算乙校成绩优秀的学生数，求出基本事件数，计算所求的概率值；
（2）由题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论.
详解：（1）∵频率分布直方图中矩形面积为1

成绩落在内的人数为
成绩落在内的人数为
从乙校成绩优秀的学生中任选两名的基本事件的总数为：
两名学生的成绩恰有一个落在内的基本事件的个数为：
则这两名学生的成绩恰有一个落在内的概率为：
（2）由已知得列联表如下

甲校
乙校
总计
优秀
11
5
16
不优秀
9
15
24
总计
20
20
40

所以在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关。
点睛：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图与概率的计算问题，是中档题.