2025届余江县第一中学高二数学第二学期期末考试试题含解析.doc

2025届余江县第一中学高二数学第二学期期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　　)
A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－8
3．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示阴影部分是由函数、、和围成的封闭图形，则其面积是（）

A． B． C． D．
5．已知命题p：，.则为( ).
A．， B．，
C．， D．，
6．若在可导，且，则（　　）
A． B． C． D．
7．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
8．函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于点对称，则函数的解析式为
A． B．
C． D．
9．刍薨（），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（ ）

A．24 B． C．64 D．
10． “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）

A． B． C． D．
11．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是
①若则;②若则;
③若,则;④若则
A．①②④ B．②③ C．①④ D．②④
12．已知全集U＝Z，，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 （ ）

A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设集合，，则_______.
14．各棱长均相等的正三棱锥，其任意两个相邻的面所成的二面角的大小为________.
15．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为________.
16．在棱长均为的正三棱柱中，________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

18．（12分）的内角的对边分别为已知.

（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且,求的面积.
19．（12分）已知集合U＝R，集合A＝{x|（x－2）（x－3）<0}，函数y＝lg的定义域为集合B．
（1）若a＝，求集合A∩（∁UB）；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
20．（12分）如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售情况的某项指标统计：

（I）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；
（Ⅱ）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行比对分析，共选了3次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的分布列及数学期望
21．（12分）阅读：
已知、，，求的最小值.
解法如下：，
当且仅当，即时取到等号，
则的最小值为.
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，求函数的最小值；
（3）已知正数、、，，
求证：.
22．（10分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学。高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于分者为“成绩优秀”）

（1）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？

（2）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为，求的分布列和期望.
参考公式
临界值表

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴⇒d＝2
2、C
【解析】
E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.
3、A
【解析】
令分离常数，构造函数，利用导数研究的单调性和极值，结合与有三个交点，求得的取值范围.
【详解】
方程可化为，令，有，
令可知函数的增区间为，减区间为、，
则，，
当时，，则若函数有3个零点，实数的取值范围为．故选A.
本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
4、B
【解析】
根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积。
【详解】
由定积分的几何意义可知：
阴影部分面积
故选B.
本题考查定积分的几何意义和积分运算，属于基础题．
5、C
【解析】
因为特称命题的否定是全称命题，即改变量词又否定结论，
所以p：，的否定 :.
故选C.
6、D
【解析】
根据导数的定义进行求解即可．
【详解】
∵，
∴，
即，
则．
故选D．
本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．
7、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
8、D
【解析】
先根据函数的最小正周期求出，再求出图像变换后的解析式，利用其对称中心为求出的值即得解.
【详解】
因为函数的最小正周期是，所以，解得.
所以.
将该函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数解析为.
由题得.
因为函数的解析式.
故选 D.
本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、B
【解析】
茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为；等腰三角形的底边长为4，高为．
故侧面积为．
即需要的茅草面积至少为．选B．
10、B
【解析】
由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，
且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为，
故第1行的从右往左第一个数为：，
第2行的从右往左第一个数为：，
第3行的从右往左第一个数为：，
…
第行的从右往左第一个数为： ，
表中最后一行仅有一个数，则这个数是.
11、D
【解析】
根据选项利用判定定理、性质定理以及定义、举例逐项分析.
【详解】
①当都在平面内时，显然不成立，故错误；②因为，则过的平面与平面的交线必然与平行；又因为，所以垂直于平面内的所有直线，所以交线，又因为交线，则，故正确；③正方体上底面的两条对角线平行于下底面，但是两条对角线不平行，故错误；④因为垂直于同一平面的两条直线互相平行，故正确；
故选：D.
本题考查判断立体几何中的符号语言表述的命题的真假，难度一般.处理立体几何中符号语言问题，一般可采用以下方法：（1）根据判定、性质定理分析；（2）根据定义分析；（3）举例说明或者作图说明.
12、A
【解析】
试题分析：图中的阴影部分所表示的集合为,故选A．
考点：集合的运算

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
解出集合中的方程，然后直接求
【详解】
解：由已知，

故答案为：
本题考查集合的交集运算，是基础题.
14、
【解析】
取AB中点D，连结SD、CD，则SD⊥AB，CD⊥AB，从而∠SDC是二面角的平面角，由此能求出结果．
【详解】
解：取AB中点D，连结SD、CD，
∵三棱锥S﹣ABC是各棱长均相等的正三棱锥，
∴SD⊥AB，CD⊥AB，
∴∠SDC是二面角的平面角，
设棱长SC＝2，则SD＝CD，
∴cos∠SDC，
∴∠SDC＝arccos．
故各棱长均相等的正三棱锥任意两个相邻的面所成的二面角的大小
为arccos．
故答案为：arccos．

本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
15、3
【解析】
根据圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高）,可得,进而可求出的值
【详解】
解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知
,解得.
故答案为:3.
本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思,结合方程的思想即可求出结果.
16、
【解析】
首先画出正三棱柱，求出边长和，最后求面积.
【详解】
因为是正三棱柱，并且棱长都为1，

是腰长为，底边长为1的等腰三角形，
所以底边的高，
.
故答案为

本题考查几何体中几何量的求法，意在考查空间想象能力，属于基础题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（ⅰ）；（ⅱ）46.24
【解析】
（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，
∴=563-68×6.8=100.6.
∴关于的线性回归方程为，
∴关于的回归方程为.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值
=576.6，
.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当=，即时，取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.
18、（1），；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出 从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.
试题解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.
(2)，，，，，.
19、（1）;（2）
【解析】
（1）由一元二次不等式可解得集合．根据对数的真数大于0可得,将其转化为一元二次不等式可解得集合,从而可得．画数轴分析可得．（2）将是的必要条件转化为．分析可得关于的不等式组,从而可解得的范围．
【详解】
（1）集合，因为．
所以函数， 由，
可得集合．或，
故．
（2）因为是的必要条件等价于是的充分条件，即，
由，而集合应满足>0，
因为，故，
依题意就有：，即或，
所以实数的取值范围是．
考点：1集合的运算;2充分必要条件．
20、（Ⅰ）甲的方差为,乙的方差为，甲连锁店该项指标稳定（Ⅱ）见解析
【解析】
（I）先求得两者的平均数，再利用方差计算公式计算出方差，由此判断甲比较稳定.（II）利用二项分布的分布列计算公式和期望计算公式，计算出分布列和数学期望.
【详解】
解：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲连锁店的数据是6,7,9,10，
乙连锁店的数据是5,7,10,10
甲、乙数据的平均值为8.设甲的方差为,乙的方差为
则,,
因为,所以甲连锁店该项指标稳定.
（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各随机选一个，
甲的数据大于乙的数据概率为,
由已知，服从,
的分布列为：

0
1
2
3

数学期望.
本小题主要考查茎叶图计算平均数和方差，考查二项分布分布列和数学期望的计算，属于中档题.
21、（3）3；（2）2；（3）证明见解析.
【解析】
利用“乘3法”和基本不等式即可得出．
【详解】
解（3）∵a+b+c＝3，
∴y（a+b+c）323，
当且仅当a＝b＝c时取等号．即的最小值为3．
（2）30+2，
而，∴8，
当且仅当，即∈时取到等号，则y≥2，
∴函数y的最小值为2．
（3）∵a3+a2+a3+…+an＝3，
∴2S＝（）[（）+（+）+…+（+）]

（）3．
当且仅当时取到等号，则．
本题考查了“乘3法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
22、（1）列联表见解析；有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”；（2）
【解析】
（1）根据频数表可补充列联表，从而计算求得，得到有以上的把握；（2）首先确定所有可能的取值，分别计算每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望计算公式求得期望.
【详解】
（1）补充的列联表如下表：

传统教学
创新教学
总计
成绩优秀

成绩不优秀

总计

有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”
（2）由题意得：所有可能的取值为：
则；；
；
的分布列为：

数学期望
本题考查独立性检验的应用、服从超几何分布列的随机变量的分布列和数学期望的求解；关键是能够准确确定随机变量所服从的分布类型，进而运用对应的公式求解概率，属于常考题型.