2024-2025学年湖南省武冈二中高二数学第二学期期末考试试题含解析.doc

2024-2025学年湖南省武冈二中高二数学第二学期期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的，分别为63，98，则输出的（ ）

A．9 B．3 C．7 D．14
3．如图，在正四棱柱中， 是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为

A． B． C． D．
4．在等差数列中，已知，数列的前5项的和为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知命题：①函数的值域是；
②为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点向右平移个单位长度；
③当或时，幂函数的图象都是一条直线；
④已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是.
其中正确的命题个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．数列0，，，，…的一个通项公式是(　　)
A． B．
C． D．
8．一个空间几何体的三规图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
9．将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（ ）
A．0.25 B．0.1 C．0.125 D．0.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的部分数值如下表：
x

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

5

f（x）

－80

－24

0

4

0

0

16

60

144

则函数y＝lgf（x）的定义域为__________．
14．如图，在三棱柱中，底面，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．

15．设向量，且，则实数的值是_______；
16．某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）若存在常数（），使得对定义域内的任意，（），都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”.
（1）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（2）若函数（）是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；
（3）若（）是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数，，都有.
18．（12分）从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：

（1）求这1000件产品质量指标的样本平均数和样本方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ⅱ）已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品（质量指标值）的定价为16元；若为次品（质量指标值），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品，记表示这件产品的利润，求.
附：，若，则.
19．（12分）已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为.的参数方程为（为参数）.
（1）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；
（2）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围.
20．（12分）已知命题：函数在上是减函数，命题，.
(1)若为假命题，求实数的取值范围；
(2)若“或”为假命题，求实数的取值范围.
21．（12分）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，点，分别在棱，上，且满足，.

（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
22．（10分）已知数列的前项和，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
分析：直接利用特称命题的否定解答.
详解：由特称命题的否定得为：，，故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 特称命题,特称命题的否定.
2、C
【解析】
由，不满足，则变为，由，则变为，由，则，由，则，由，则，由，则，由，退出循环，则输出的值为，故选C.
3、B
【解析】
建立以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，设点，利用，转化为，得出，利用空间向量法求出的表达式，并将代入的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出的最大值．
【详解】
如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、，
设点，则，，，，
，则，得，

平面的一个法向量为，
所以，
，
当时，取最大值，此时，也取最大值，
且，此时，，
因此，，故选B．
本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解，考查运算求解能力，属于难题．
4、C
【解析】
由，可求出，结合，可求出及.
【详解】
设数列的前项和为，公差为，因为，所以，则，故.
故选C.
本题考查了等差数列的前项和，考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.
5、C
【解析】
：①根据指数函数的单调性进行判断；
②根据三角函数的图形关系进行判断；
③根据幂函数的定义和性质进行判断；
④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断.
【详解】
①因为是增函数，所以当时，函数的值域是，故①正确；
②函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图像，故②错误；
③当时，直线挖去一个点，当时，幂函数的图形是一条直线，故③错误；
④作出的图像如图所示：

所以在上递减，在上递增，在上递减，
又因为在上有两个，在上有一个，
不妨设，
则，即，则的范围即为的范围，
由，得，
则有，即的范围是，所以④正确；
所以正确的命题有2个，故选C.
该题考查的是有关真命题的个数问题，在结题的过程中，涉及到的知识点有指数函数的单调性，函数图像的平移变换，零指数幂的条件以及数形结合思想的应用，灵活掌握基础知识是解题的关键.
6、C
【解析】
分析：三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可.
详解：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，
三棱柱中，底面，,
，
的外接圆的半径为，
由题意可得：球心到底面的距离为.
球的半径为.
外接球的表面积为：.
故选：C.
点睛：考查空间想象能力，计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提.
7、A
【解析】
在四个选项中代n=2,选项B,D是正数，不符，A选项值为，符合,C选项值为，不符．所以选A.
对于选择题的选项是关于n的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．
8、B
【解析】
根据三视图得知该几何体是四棱锥，计算出四棱锥的底面积和高，再利用锥体体积公式可得出答案．
【详解】
由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面是矩形，其面积为，高为，
因此，该几何体的体积为，故选B．
本题考查三视图以及简单几何体体积的计算，要根据三视图确定几何体的形状，再根据体积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题．
9、B
【解析】
试题分析：采用分步计数原理来求解：分3步，每一步4种方法， 不同方法种数有种
考点：分步计数原理
10、D
【解析】
对进行变形，得到，令，，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案
【详解】

，即
设，
其中时，
时，
即符合要求
，所以时，，单调递减
，，单调递增，为极小值.
有三个整数解，则还有一个整数解为或者是
①当解集包含时，时，
所以需要满足即，解得
②当解集包含时，需要满足即
整理得，而，所以无解集，即该情况不成立.
综上所述，由①②得，的范围为
故选D项.
利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题.
11、C
【解析】
分别求解出集合和，根据交集的结果可确定的范围.
【详解】
，

本题正确选项：
本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，属于基础题.
12、C
【解析】
根据正态曲线的对称性求解即可得到所求概率．
【详解】
由题意得，区间关于对称，
所以，
即该生成绩高于115的概率为．
故选C．
本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所给区间用已知区间表示，并根据曲线的对称性进行求解，考查数形结合的应用，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】试题分析：由表格可知函数的图象的变化趋势如图所示，则的解为．

考点：函数的图象，函数的定义域．
14、
【解析】
分析：记中点为E，则，则直线与所成角即为与所成角，设
，从而即可计算.
详解：记中点为E，并连接，
是的中点，
则，
直线与所成角即为与所成角，
设，
，
.
故答案为.
点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．
15、2
【解析】
由条件利用两个向量共线的性质求得x的值．
【详解】
解：∵，，且，
∴2x＝，
即x＝2
故答案为2
本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
16、7.
【解析】
设开始有细胞a个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数，根据条件列式求解.
【详解】
设最初有细胞a个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以
经过1个小时细胞有，
经过2个小时细胞有=，
······
经过8个小时细胞有，又，
所以，，.
故答案为7.
本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）不是；详见解析（2）；（3）证明见解析.
【解析】
（1）利用特殊值,即可验证是不是“利普希兹条件函数”.
（2）分离参数,将不等式变为关于,的不等式,结合定义域即可求得常数的最小值;
（3）设出的最大值和最小值,根据一个周期内必有最大值与最小值,结合与1的大小关系,及“利普希兹条件函数”的性质即可证明式子成立.
【详解】
（1）函数不是“利普希兹条件函数”
证明: 函数的定义域为
令
则

所以
不满足
所以函数不是“利普希兹条件函数”
（2）若函数（）是“利普希兹条件函数”
则对定义域内任意,（）,均有
即
设
则,即
因为
所以
所以满足的的最小值为
（3）证明:设的最大值为,最小值为
在一个周期内,函数值必能取到最大值与最小值
设
因为函数（）是周期为2的“利普希兹条件函数”
则
若,则成立
若,可设,则
所以成立
综上可知,对任意实数,都成立
原式得证.
本题考查了函数新定义及抽象函数性质的应用,对题意正确理解并分析解决问题的方法是关键,属于难题.
18、（1）200,150；（2）（i）；（ⅱ）280.
【解析】
（1）直接利用样本平均数和样本方差公式计算得到答案.
（2）（i）先判断，则

（ⅱ）Ⅹ表示100件产品的正品数，题意得，计算，再计算
【详解】
（1）由题意得
.
∴
，
即样本平均数为200，样本方差为150.
（2）（i）由（1）可知，，
∴
（ⅱ）设Ⅹ表示100件产品的正品数，题意得，∴，
∴.
本题考查了数学期望，方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19、（Ⅰ）的直角坐标方程：，的普通方程：；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点到曲线距离的取值范围．
试题解析：（I）的直角坐标方程：，
的普通方程：． 5分
（II）由（I）知，为以为圆心，为半径的圆，
的圆心到的距离为，则与相交，
到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为
．
考点：（1）参数方程的应用；（2）两点间的距离公式．
20、 (1) .
（2）.
【解析】
分析：第一问利用命题的否定和命题本身是一真一假的，根据命题q是假命题，得到命题的否定是真命题，结合二次函数图像，得到相应的参数的取值范围；第二问利用“或”为假命题，则有两个命题都是假命题，所以先求命题p为真命题时参数的范围，之后求其补集，得到m的范围，之后将两个命题都假时参数的范围取交集，求得结果.
详解：（1）因为命题 ，
所以： ，，
当为假命题时，等价于为真命题，
即在上恒成立，
故，解得
所以为假命题时，实数的取值范围为.
（2）函数的对称轴方程为，
当函数在上是减函数时，则有
即为真时，实数的取值范围为
“或”为假命题，故与同时为假，
则 ，
综上可知，当 “或”为假命题时，实数的取值范围为
点睛：该题考查的是有关利用命题的真假判断来求有关参数的取值范围，在解题的过程中，需要明确复合命题的真值表，以及二次函数的图像和性质要非常熟悉.
21、（1）见解析； （2）.
【解析】
（1）在棱上取一点，使得，连接，，可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）以为坐标原点以为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】

（1）在棱上取一点，使得，连接，，
因为，，所以，
所以.又因为，，所以，，
所以是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）依题意，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，.
设平面的法向量为，则，即，取，
则.
又平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
22、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.
试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由①
当时，有②，①－②得：化简得：，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴.
（2）由（1）得：，∴
∴