匀变速直线运动的规律及其应用典型例题精讲精练(学生用).doc

匀变速直线运动的规律及其应用
一、匀变速直线运动的位移与时间的关系
匀变速直线运动位移—时间关系式:
匀变速直线运动的两个基本关系式: ①速度—时间关系式:v=v0+at ②位移—时间关系式:
(2) 公式中的x,v0,a都是矢量,应用时必须选取统一的方向为正方向.
二、匀变速直线运动的位移与速度的关系
匀变速直线运动的位移与速度的关系： (1)不含时间,应用很方便.(2)公式中四个矢量也要规定统一的正方向.
【活学活用】已知O,A,B,C为同一直线上的四点,AB间的距离为l1,BC间的距离为l2.一物体自O点由静止出发,沿此直线做匀加速运动,依次经过A,B,C三点.已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等.求O与A的距离.
解：

三、匀变速直线运动的规律
1.几个重要推论：①平均速度公式②任意两个相邻的相等的时间间隔T内的位移差相等，即Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=xN-xN-1=aT2.③中间时刻的瞬时速度.即匀变速直线运动的物体在一段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度，等于初速度、末速度和的一半. ④中点位置的瞬时速度.
2.初速度为零的匀加速直线运动的六个比例关系:(T为时间单位)
A、把一段过程分成相等的时间间隔
1）从运动始算起，在1T末、2T末、3T末、……….nT末的速度的比为：
V1：V2：V3：…：Vn = 1：2：3：…：n
2）从运动开始算起，在前1T内、前2T内、前3T内、………..nT内的位移的比为：
x1：x2：x3：…：xn = 12：22：32：…：n2
3）从运动开始算起，第1个T内、第2个T内、第3个T内…第n个T内位移的比为：
x1：x2：x3：…：xn = 1：3：5：…（2n-1）
B、把一段过程分成相等的位移间隔
1）从运动开始算起，前位移X、前位移2X、前位移3X……、前位移nX末的速度之比为：
V1：V2：V3：…：Vn = 1：： ：…：
2）从运动开始算起，前位移X所用时间、前位移2X所用时间、前位移3X所用时间……、前位移nX所用时间之比为：
t1：t2：t3：…：tn = 1：： ：…：
3）从运动开始算起，通过连续相等位移所用时间之比为：
t1：t2：t3:…：tn = 1 ：（-1）：（-）：…：（-）
【活学活用】从斜面上某一位置,每隔0.1s释放一个小球,在连续释放几个小球后,拍下在斜面上滚动的小球的照片,如图所示,测得sAB=15cm,sBC=20cm,求:
(1)小球的加速度；
(2)拍摄时B球的速度；
(3)拍摄时sCD的大小；
(4)A球上面滚动的小球还有几个。
解：

考点1．匀变速直线运动规律及应用
几个常用公式．速度公式：；位移公式：；速度位移公式：；位移平均速度公式：．以上五个物理量中，除时间t外，s、V0、Vt、a均为矢量．一般以V0的方向为正方向，以t=0时刻的位移为起点，这时s、Vt和a的正负就都有了确定的物理意义．
特别提示：
对于位移、速度和加速度等矢量要注意矢量的方向性，一般要先选取参考方向．对于有往返过程的匀变速直线运动问题，可以分阶段分析．特别注意汽车、飞机等机械设备做减速运动速度等于零后不会反向运动．
【例1】一物体以l0m／s的初速度，以2m／s2的加速度作匀减速直线运动，当速度大小变为16m／s时所需时间是多少?位移是多少？物体经过的路程是多少?
解：

【实战演练】（2011全国理综）甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
解：

【例2】飞机着陆后以6m/s2加速度做匀减速直线运动，若其着陆速度为60m/s，求：
（1）它着陆后12s内滑行的距离；
（2）静止前4s内飞机滑行的距离．
解：

【实战演练1】一个匀加速直线运动的物体，在前4 s内经过的位移为24 m，在第二个4 s内经过的位移是60 m．求这个物体的加速度和初速度各是多少？

【实战演练2】(2011年福州市模拟)一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动.开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m.则刹车后6 s内的位移是( )
A.20 m B.24 m C.25 m D.75 m

考点2．匀变速直线运动的几个有用的推论及应用
（一）匀变速直线运动的几个推论
（1）匀变速直线运动的物体相邻相等时间内的位移差，； ；
可以推广为：Sm-Sn=(m-n)aT 2
（2）某段时间的中间时刻的即时速度等于该段时间内的平均速度：
（3）某段位移的中间位置的即时速度公式（不等于该段位移内的平均速度） ．
无论匀加速还是匀减速，都有．
（二）初速度为零的匀变速直线运动特殊推论
做匀变速直线运动的物体，如果初速度为零，或者末速度为零，那么公式都可简化为：
， ， ，
以上各式都是单项式，因此可以方便地找到各物理量间的比例关系．
初速度为零的匀加速直线运动的六个比例关系:(T为时间单位)
A、把一段过程分成相等的时间间隔
1）从运动始算起，在1T末、2T末、3T末、……….nT末的速度的比为：
V1：V2：V3：…：Vn = 1：2：3：…：n
2）从运动开始算起，在前1T内、前2T内、前3T内、………..nT内的位移的比为：
x1：x2：x3：…：xn = 12：22：32：…：n2
3）从运动开始算起，第1个T内、第2个T内、第3个T内…第n个T内位移的比为：
x1：x2：x3：…：xn = 1：3：5：…（2n-1）
B、把一段过程分成相等的位移间隔
1）从运动开始算起，前位移X、前位移2X、前位移3X……、前位移nX末的速度之比为：
V1：V2：V3：…：Vn = 1：： ：…：
2）从运动开始算起，前位移X所用时间、前位移2X所用时间、前位移3X所用时间……、前位移nX所用时间之比为：
t1：t2：t3：…：tn = 1：： ：…：
3）从运动开始算起，通过连续相等位移所用时间之比为：
t1：t2：t3:…：tn = 1 ：（-1）：（-）：…：（-）
【例3】物体沿一直线运动，在t时间内通过的路程为S，它在中间位置处的速度为V1，在中间时刻时的速度为V2，则V1和V2的关系为（ ）
A．当物体作匀加速直线运动时，V1＞V2; B.当物体作匀减速直线运动时，V1＞V2;
C．当物体作匀速直线运动时，V1=V2; D.当物体作匀减速直线运动时，V1＜V2．
【实战演练】(2011·长治模拟)一个从静止开始做匀加速直线运动的物体，从开始运动起，连续通过三段位移的时间分别是1 s、2 s、3 s，这三段位移的长度之比和这三段位移上的平均速度之比分别是( )
A.1∶22∶32，1∶2∶3 B.1∶23∶33，1∶22∶32
C.1∶2∶3，1∶1∶1 D.1∶3∶5，1∶2∶3
【例4】地铁站台上，一工作人员在电车启动时，站在第一节车厢的最前端，4ｓ后，第一节车厢末端经过此人.若电车做匀加速直线运动，求电车开动多长时间，第四节车厢末端经过此人?(每节车厢长度相同)
解：

高考重点、热点题型探究
纸带问题、刹车问题、图象问题、逆向思维及初速度为零的匀加速直线运动的推论公式既是考试的重点，也是考试的热点．
热点1：图表信息题
[题1]（2011上海）要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏出车道．求摩托车在直道上行驶所用的最短时间．有关数据见表格．
启动加速度

制动加速度

直道最大速度

弯道最大速度

直道长度

某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v1＝40 m/s，然后再减速到 v2＝20m/s，t1 = v1/ a1 = …；t2 = （v1－v2）/ a2= …；t=t1 + t2
你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法算出正确结果．

重点1：力与运动的综合问题
[题2] 物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面,到达斜面最高点C时速度恰为零,如图.已知物体运动到斜面长度3/4处的B点时,所用时间为t,求物体从B滑到C所用的时间.

[新题导练]（原创题）一个有趣的问题----古希腊哲学家芝诺曾提出过许多佯谬．其中最著名的一个命题是“飞毛腿阿喀琉斯永远也追不上爬行缓慢的乌龟”．芝诺的论证是这样的：如图1-1-10所示，假定开始时阿喀琉斯离开乌龟的距离为，他的速度为，乌龟的速度为，且＞．当阿喀琉斯第一次跑到乌龟最初的位置A时，乌龟在此期间爬到了另一位置B，显然；当阿喀琉斯第二次追到位置B时，乌龟爬到了第三个位置C，且；当阿喀琉斯第三次追到位置C时，乌龟爬到了第四个位置D，且…如此等，尽管它们之间的距离会愈来愈近，但始终仍有一段距离．于是芝诺得到“结论”：既然阿喀琉斯跑到乌龟的上一个位置时，不管乌龟爬得多慢，但还是前进了一点点，因而阿喀琉斯也就永远追不上乌龟．
显然飞毛腿阿喀琉斯永远也追不上爬行缓慢的乌龟的命题是错误的，请分析探究究竟错在哪个地方？
图1-1-10
O
A
B
C
D
L
v1
v2

★课后精练★（20分钟）
１．电梯在启动过程中，若近似看作是匀加速直线运动，测得第1s内的位移是2m，第2s内的位移是2.5m．由此可知（ ）
A．这两秒内的平均速度是2.25m/s B．第3s末的瞬时速度是2.25m/s
C．电梯的加速度是0.125m/s2 D．电梯的加速度是0.5m/s2
t/s
v/ms-1
0
1
2
1
2
3
4
5

图1-2-16
图1-2-15
甲
乙
A
B
C
2．如图1-2-15所示，一个固定平面上的光滑物块，其左侧是斜面AB，右侧是曲面AC，已知AB和AC的长度相同，甲、乙两个小球同时从A点分别沿AB、CD由静止开始下滑，设甲在斜面上运动的时间为t1，乙在曲面上运动的时间为t2，则( )
A．t1＞t2
B．t1＜t2
C．t1＝t2
D．以上三种均可能
3．甲、乙两物体相距s，同时同向沿一直线运动，甲在前面做初速度为零，加速度为a1的匀加速直线运动，乙在后做初速度为v0，加速度为a2的匀加速直线运动，则( )
A．若a1=a2，则两物体相遇一次 B. 若a1>a2，则两物体相遇二次
C. 若a1<a2，则两物体相遇二次 D. 若a1>a2，则两物体也可能相遇一次或不相遇
4．一质点沿直线运动时的速度—时间图线如图1-2-16所示，则以下说法中正确的是（ ）
A．第1s末质点的位移和速度都改变方向．
B．第2s末质点的位移改变方向．
C．第4s末质点回到原位．
D．第3s末和第5s末质点的位置相同．
5．某一时刻、两物体以不同的速度经过某一点，并沿同一方向做匀加速直线运动，已知两物体的加速度相同，则在运动过程中 （ ）
A．、两物体速度之差保持不变 B．、两物体速度之差与时间成正比
C．、两物体位移之差与时间成正比 D．、两物体位移之差与时间平方成正比
6．让滑块沿倾斜的气垫导轨由静止开始做加速下滑，滑块上有一块很窄的挡光片，在它通过的路径中取AE并分成相等的四段，如图1-2-17所示，表示B点的瞬时速度，表示AE段的平均速度，则和的关系是( )
图1-2-17
B
C
A
D
E
A．＝ B．＞
C．＜ D．以上三个关系都有可能
7．汽车以20m/s的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做匀减速运动，加速度大小为5m/s2，则它关闭发动机后通过t=37.5m所需的时间为（ ）
A.3s; B.4s C.5s D.6s
8．一物体作匀变速直线运动,某时刻速度的大小为4m/s,1s后速度的大小变为10m/s.在这1s内该物体的( ).
(A)位移的大小可能小于4m (B)位移的大小可能大于10m
(C)加速度的大小可能小于4m/s2 (D)加速度的大小可能大于10m/s2.
9．几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点在同一竖直面上，一个物体从斜面上端由静止自由下滑到下端用时最短的斜面倾角为（ ）
A．300 B．450 C．600 D．750
10．a、b、c三个物体以相同初速度沿直线从A运动到B，若到达B点时，三个物体的速度仍相等，其中a做匀速直线运动所用时间ta，b先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，所用时间为tb，c先做匀减速直线运动，再做匀加速直线运动，所用时间为tc、tb、tc三者的关系（ ）
A．ta=tb=tc B． ta＞tb＞tc 　　　　C．ta＜tb＜tc 　　D．tb＜ta＜tc

◇基础提升训练
1．火车在平直轨道上做匀加速直线运动，车头通过某路标时的速度为v1，车尾通过该路标时的速度为v2，则火车的中点通过该路标时的速度为：
A、 B、 C、 D、
2. 某物体做初速度为零的匀加速直线运动，已知它第1s内的位移是2ｍ，那么它在前3s内的位移是多少？第3s内的平均速度大小是多大？

3．汽车以20m／s的速度作匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m／s2，刹车后6s内汽车的位移是(ｇ取10ｃm／s2)
A、30ｍ B、40ｍ C、10ｍ D、0ｍ
4．飞机的起飞过程是从静止出发，在直跑道上加速前进，等达到一定速度时离地．已知飞机加速前进的路程为1600m，所用的时间为40s．假设这段运动为匀加速运动，用表示加速度，表示离地时的速度，则：
A． B．
C． D．
5．一辆汽车关闭油门后，沿一斜坡由顶端以3m/s的初速度下滑，滑至底端速度恰好为零，如果汽车关闭油门后由顶端以大小为5m/s的初速度下滑，滑至底端速度大小将为（ ）
A．1m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s

图1-2-18
◇能力提升训练
1．为研究钢球在液体中运动时所受阻力的大小，让钢球从某一高度竖直落下进入液体中运动，用闪光照相方法拍摄钢球在不同时刻的位置，如图1-2-18所示．已知钢球在液体中运动时受到的阻力与速度大小成正比，即，闪光照相机的闪光频率为f，图中刻度尺的最小分度为s0，钢球的质量为m，则阻力常数k的表达式是
A． B． C． D．
2．一个物体在A、B两点的正中间由静止开始运动（设不会超越A、B），其加速度随时间的变化如图1-2-19所示．设向A的加速度为正方向，若从出发开始计时，则物体的运动情况是（ ）
图1-2-19
1
2
3
4
0
t/s
a/(ms-1)
A．先向A，后向B，再向A，又向B，4s末静止在原处
B．先向A，后向B，再向A，又向B，4s末静止在偏向A的某点
C．先向A，后向B，再向A，又向B，4s末静止在偏向B的某点
D．一直向A运动，4s末静止在偏向A的某点
3．如图1-2-20所示，在足够大的光滑水平面上放有两个质量相等的物块，其中物块A连接一个轻弹簧并处于静止状态，物块B以初速度向着物块A运动，当物块B与物块A上的弹簧发生相互作用时，两物块保持在一条直线上运动．若分别用实线和虚线表示物块B和物块A的图象，则两物块在相互作用过程中，正确的图象是图1-2-21中的（ ）
t
v0
t

v0
v0
v0
v
v
v
v
t
t
O
O

O
A
B

D
C
图1-2-21
图1-2-20
B
A
v0

4．如图1-2-22所示，有两个固定光滑斜面AB和BC，A和C在一水平面上，斜面BC比AB长，一个滑块自A点以速度vA上滑，到达B点时速度减小为零，紧接着沿BC滑下，设滑块从A点到C点的总时间为tC，那么图1-2-23中正确表示滑块速度v大小随时间t变化规律的是（ ）
图1-2-22
A
B
C
vA
图1-2-23
vA
v
t
tC
tC/2
O
A
vA
v
t
tC
tC/2
O
B
vA
v
t
tC
tC/2
O
C
vA
v
t
tC
tC/2
O
D

5．某同学为测量一沿笔直公路作匀加速运动的汽车的加速度，他发现汽车依次通过路面上A、B、C、D四个标志物的时间间隔相同，且均为t，并测得标志物间的距离间隔xAC=L1，xBD=L2，则汽车的加速度为_______．
6．某航空公司的一架客机，在正常航线上做水平飞行时，突然受到强大的垂直气流的作用，使飞机在10s内迅速下降高度为1800m，造成众多乘客和机组人员受伤，如果只研究在竖直方向上的运动，且假设这一运动是匀变速直线运动
（1）求飞机在竖直方向上产生的加速度为多大？
（2）试估算成年乘客（约45千克）所系安全带必须提供多大拉力才能使乘客不脱离坐椅？（g取10）

7．质点做匀变速直线运动，第2s和第7s内位移分别为2.4m和3.4m，则其运动加速率a=____________m/s2.
图1-2-4
B
A
8．如图1-2-4所示，一平直的传送带以速度V=2m/s做匀速运动，传送带把A处的工件运送到B处，A、B相距L=10m．从A处把工件无初速地放到传送带上，经过时间t=6s,能传送到B处，欲用最短的时间把工件从A处传送到B处，求传送带的运行速度至少多大？

10．（原创题）如图1-2-24所示，甲、乙两辆同型号的轿车，它们外形尺寸如下表所示．正在通过十字路口的甲车正常匀速行驶，车速=10 m／s，车头距中心O的距离为20 m，就在此时，乙车闯红灯匀速行驶，车头距中心O的距离为30 m．轿车外形尺寸及安全技术参数
长l/mm
宽b/mm
高h/mm
最大速度km/h
急刹车加速度m/s2
3896
1650
1465
144
－4～－6

图1-2-24
（1）求乙车的速度在什么范围之内，必定会造成撞车事故．
（2）若乙的速度=15 m/s，司机的反应时间为0.5s，为了防止撞车事故发生，乙车刹车的加速度至少要多大？会发生撞车事故吗？
某同学解答如下：
（1）甲车整车经过中心位置，乙车刚好到达中心位置，发生撞车事故的最小速度，抓住时间位移关系，有，，故当时，必定会造成撞车事故．
（2）当=15 m/s，为了不发生撞车事故，乙车的停车距离必须小于30m，即，故．
上述解答过程是否正确或完整？若正确，请说出理由，若不正确请写出正确的解法．

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